宁夏长庆高级中学2021届高三年级上册第三次月考数学（理）试卷

宁夏长庆高级中学2020-2021学年第一学期

高三第三次月考数学（理科）试卷

一、选择题：

1.已知全集。=11,集合4={1,2,3,4,5},3=口€用％22},则图中阴影部分所表示的集

合为（）

C.{1,2}D.{0,1,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据图像判断出阴影部分表示A（。啰），由此求得正确选项.

【详解】根据图像可知，阴影部分表示A⑹为，Q£={x|x<2},所以A@3）={1}.

故选：A

【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.

2.一个圆锥的表面积为乃，它的侧面展开图是圆心角为120。的扇形，则该圆锥的高长为（）

13r-

A.-B.2C.-D..x/2

227

【答案】D

【解析】

【分析】

设出圆锥的底面半径以及母线长，由圆锥的表面积以及圆心角公式求出半径和母线，根据勾

股定理即可求出圆锥的高.

【详解】解：设圆锥底面半径是，母线长/,

/.兀『+兀rl=7i，

即产+〃=1①

根据圆心角公式得：一2万=2T二CY

3/

即/=3r②

13

由①②解得：「=5，/=|,

高/z=V/2-r2=（g）=立•

故选：D.

3.如图，在平行四边形A8CQ中,对角线AC与BO交于点0,且至至，贝11瓦）=（）

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

C.-AD--ABD.-AD+-AB

3333

【答案】c

【解析】

【分析】

画出图形，以A8国。为基底将向量EO进行分解后可得结果.

【详解】画出图形，如下图.

AB

选取钻,内£＞为基底，则AE=|AO=；AC=g（AB+AD）,

ED=AD-AE=AD--(AB+AD}=-AD--AB.

733

故选c.

【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题

(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体

问题时，合理选择基底会给解题带来方便.

(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加

减运算或数乘运算.

4.在等差数列｛a“｝中，已知a“+a'=16,则该数列前11项和S“=()

A.58B.88C.143D.176

【答案】B

【解析】

试题分析：等差数列前n项和公式5“=幽］

s+%)_11(4+%)_llxl6=gg

”—2—2-2一,

考点：数列前n项和公式.

5.已知平面向量a,人满足|a|=|〃|=l,若(2a—")•/?=()，则向量a,〃的夹角为()

D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量数量积公式知r=|Q=1代入(为一。＞。=0,化简可得=然后再代入

\a\=\h\=\f即可求出向量a,人的夹角.

、rrrrrr2rr1

【详解】Q(2a-b)-h=2a-b-h=:,a-b--

a-h_1

cos〈。,/?〉南开=5，故向量的夹角为60.

故选：C.

【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及向量夹角的计算，考查学生的运算求解能力，属

于基础题.

(兀、

6.若COS|——0=—,则sin26=()

(4)2

1D

A.——B-4c-iT

2-

【答案】A

【解析】

【分析】

|-2^,结合二倍角公式可求得结果.

利用sin2。=cos

【详解】由COS(£--0=，得：sin2^=cosf--26)=2cos2-

)2U)UJ22

故选：A.

2r3

7.函数y;在［-6,6］的图像大致为

2X+2

J

M

j£

F4

【答案】B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/(4)的近似值即可得出结果.

【详解】设y=〃x）=2必，则/（_“）=2（一幻3二一2x=所以/（力是

2"+2-*2T+2*2A+2-x

2X43

奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C.又/（4）=2：：；T〉。，排除选项D；

?x63

7（6）=；「7,排除选项A,故选B.

26+2-6

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本

题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

8.如图所示，四面体A8CO的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作

用），则四面体4BCO的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）

A①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D.③④⑤

【答案】B

【解析】

试题分析：经观察可得正视图为①、侧视图为②、俯视图为③，故选B.

考点：三视图.

【方法点晴】本题主要考查三视图，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图

与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯

视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本

题应注意掌握虚线和实线的正确使用，方能正确求解.

9.在A8C中，角A、8、C所对的边分别为a、b、c,且A金c嗑AAc=-,

3

COSB=R5，b=®，则ABC的面积为（）

5

A.-B.2C.6D.J5

22

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正弦定理边角互化，结合同角三角函数关系可求得a=X3c，利用余弦定理构造方程可

3

求得。，。，代入三角形面积公式即可求得结果.

,1

【详解】由正弦定理得：sin-AcosC+sinCsinAcosA=-sinC,

3

/.sin2AcosC+sinCsinAcosA=sinA(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsin(A+C)

=sinAsinB=-sinC,

3

,cosB=~~J**-s^n=~~9

.•.@sinA=」sinC，由正弦定理得：^-a=—c>/.a=^-c-

53533

542

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=-c2+c2一一c?=-c2=2,解得：c=3,

939

a=逐，S诋=gacsinB=；x\^x3xV|_3

52

故选：A.

【点睛】思路点睛：本题考查解三角形中的正余弦定理和三角形面积公式的应用。求解此类

问题时，当所给边角关系式中边齐次时，通常采用正弦定理边化角，结合三角恒等变换公式

化简整理得到所需等量关系.

10.若将函数^=sin|+f[(/>())的图象向左平移$个单位长度后，与函数

I4J6

乃

>'=COSCOX+--的图象重合，则。的最小值为()

I4J

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】D

【解析】

【分析】

先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出。，即可得出结果.

【详解】将函数〉的图象向左平移聿个单位长度后,

y=sin[s+?(00)得到函数

6

.((071万、，，口~

y=sina)x+--+—的图象,

I64；

(

又平移后的图象与函数》=cosCOX+—的图象重合,

I4J

717l\

而cos«X+-=sin—+GX+-

I4j(24J

mjT7T

所以---1—=----卜2k/r(kwZ),则〃)=3+12ZcQkeZ),

644

又口＞0,所以为使力取得最小值，只需左=0,此时G=3.

故选：D.

11.在RtAABC中，已知NC=90,C4=3,C3=4,P为线段AB上的一点，且

11

则一+一的最小值为()

xy

77

A.-B.—D

612c3鸿

【答案】c

【解析】

【分析】

建立直角坐标系，确定尸坐标和线段AB方程，得出x,y的关系，利用基本不等式，即可求得结

果.

【详解】以CA,C8所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系,

则C(0,0),A(3,0),3(0,4),IC41=3,1AB|=4,

_CACB

rCpP^x-.向~~।+y同-i—।=x(l,0)+y(0,l)=(x,y)

p点坐标为尸(x,y),

线段AB方程为5+1=心＞0/＞0),

/+L（，+与以马，+上+二，+3,

XyXy34124x3y123

当且仅当x=3-G，等号成立.

【点睛】本题考查了平面向量坐标运算，以及基本不等式求最值，考查了推理能力和计算能力，

属于中档题，

12.己知函数/(x)=fe*-2.'+(a+l)e，—%在定义域内有2个零点，则实数。的取值范围

为

A.f-oo,-B.C.-,+oojD.(一,田)

【答案】B

【解析】

令-2xe'+(a+l)e"—x=0,

-a-l=x2-lx--,

e'

即直线y=-a—l与g(x)=f-2x-'的图象有两个不同的交点，

葭加2"一2一^^=(1)(2+5)，

二g(X)在(—8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

g(x)最小值为=

即a<—

e

故选B

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(D直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决：

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结

合求解.

二、填空题：

13.复平面内与复数z=所对应的点关于实轴对称的点为A,则A对应的复数为_______.

1+2

【答案】1一，

【解析】

试题分析：因为z=—L=i+i，在复平面内对应点的坐标为(L1),它关于实轴对称的点为A

i+i

为A对应的复数为1一九

考点：复数的运算及对称性.

14.一个三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积是.

【答案】504

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体，可知所求外接球即为长宽高分别为3,4,5的长方体的外接球，可知外接

球半径为长方体体对角线一半，结合球的表面积公式可求得结果.

【详解】由三视图还原几何体可得如下图所示三棱锥P-ABC,

则三棱锥的外接球即为如图所示的长方体的外接球，

又长方体外接球半径R=1XV32+42+52=逑，

22

25

三棱锥的外接球表面积S=4万火2=4%x」=50万.

2

故答案为：50万.

【点睛】思路点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，根据本题中的几何体特征，可补

全为长方体，利用长方体外接球半径为其体对角线长的一半可求得外接球半径.

15.己知函数/(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<l时，/(x)=4\则

小|卜〃1)=一.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的周期性与奇偶性可得f(-1)=f(1)且f(-1)=-f(1),分析可得f

(1)的值，进而分析可得f(-1■)=-£(1■)=-£(]),由函数的解析式计算可得答案.

222

【详解】根据题意，函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,

则有f(-l)=f⑴且⑴,

即f(1)=-f(1),则f(1)=0,

5、5、1

f(--)=-f(­)=-f(­)=-（如）=-2,

222

则f(-3)+f(1)=-2+0=-2；

2

故答案为-2.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，注意求出f（1）的值,属于中档题.

16.已知数列｛〃"｝的前”项和为S"，若4=1,a“+|=；S“（〃21）,则a“=.

\,n=\

【答案】an=\i（4丫一2

3\3jn>2且〃eN*

【解析】

【分析】

当〃=1时求得生，当〃22时，利用为与5”的关系可证得数列｛a,,｝从第二项开始为等比数

列，由等比数列通项公式求得〃22时的通项公式，综合可得结果.

【详解】当〃=1时，a=—S=—«|=—；

2-3]33

当〃22时，«„+1-a„=1（5„-5）,_l）=^a„,二｝=:，

J3a”J

n-2

.・.数列｛«,,｝从第二项开始为等比数列，.•.an=-3n>2,neN,)：

5

[4丫-

经检验:n-1不满足an=-

1,7?=1

综上所述:

，九>2且〃GN*

1,H=1

故答案为：4=,

22且〃3.

【点睛】易错点睛：在利用%与S”关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足

时所求解的通项公式，若不满足，则通项公式为分段数列的形式.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知“X)是定义在R上的奇函数，当x〉0时，/(X)=T+3

(1)求的解析式；

y

(2)求不等式-万的解集

-x+3,x>0

【答案】⑴/(x)=<0,x=0；(2)[-8,0][4,400).

—x—3,x<0

【解析】

【分析】

(1)当x<0时，—x>0,利用/(x)=-/(-x)和"0)=0可得分段函数解析式;

(2)分别在x<0、x=0和x>0三种情况下解不等式求得结果.

【详解】(1)当x<0时，—x>0,则/(一x)=x+3,

/(x)为R上的奇函数，/(x)=-/(-x)=-X-3且〃())=0,

-x+3,x>0

/(x)=<0,x=0

-x—3,x<0

x

(2)当x>0时，—x+3«l,解得：x>4；

2

当元=0时，0W1成立；

x

当x<0时，，—x—31—,解得：x2—8,.二一84x<0；

2

综上所述：的解集为[-8,0][4,+⑹.

/\

X71X71

18.已知函数/(x)=2百cos2^-2sin一十一COS—d

(22(22)

(1)求/(x)的最小正周期；

⑵求/(x)在区间[0,句上的最小值及单调减区间.

【答案】⑴最小正周期为2万；⑵/(二,=—6/⑶的单调递减区间为%,兀

【解析】

【分析】

（1）利用降塞公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数/（X）化为一个角的正弦函数，再利

用周期公式，即可求出/（X）的最小正周期；

（2）先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.

【详解】（1）=2>/3x--------n2sin—cos-=Gcosx+sinx

1.V31°，乃）

=2—sinxd---cosx=2sinx+—\.

122yli3）

所以/（x）的最小正周期为2万.

ri7T7T47r

⑵因为尤£[0,乃],所以工+耳£—,

所以当x+?=手，即x=4时，函数f。）取得最小值—6.

7t7147r7171

由+工4丁，得二4》47，所以函数"X）的单调递减区间为-,71

23366

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据式子结构，将函数/（x）化为y=Asin（5+e）+Z的

形式.

19.在ABC中，角A、3、C的对边分别为a、b、c,已知b=acosC+'c.

2

（1）求角A；

（2）若A5-AC=1，求。最小值.

【答案】（1）（2）0.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可求得cosA,由此求得A；

（2）根据平面向量数量积的定义可构造方程求得6c,利用余弦定理构造方程，利用基本不等

式可求得最小值.

【详解】（1）由正弦定理得：sinB=sin/lcosC+-sinC,

2

A+8+C=乃，7.sin8=sin（A+C）,

/.sin(A+C)sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+—sinC,?.cosAsinC=—sinC,

22

Ce(O,zr),r.sinCrO,cosA=—

2

又Ae(O㈤,A=—71

3

(2)AB-AC=|/4B|-|AC|COSA=becosA=^bc=lf:.hc=2.

由余弦定理得：a2=〃+/—2bccosA=b24-c2—be>2bc—bc=bc=2(当且仅当力二c时

取等号），

.-.a>y[2（当且仅当b=c时取等号），即。的最小值为&-

【点睛】方法点睛：解三角形中与边长有关的最值问题，通常利用余弦定理构造等量关系，

利用b2+c2>2历或庆<（3可得到不等关系求得最值.

20.已知数列｛为｝的前〃项和是S,，且S“+g%=I〃wNj.数列｛a｝是公差d不等于0的

3

等差数列，且满足：瓦=3%,b2,b5,伪4成等比数列.

（1）求数列｛叫、也｝的通项公式；

（2）设c“=a„也，求数列£｝的前〃项和却

【答案】⑴4=2（；）"；⑵2-券2

【解析】

分析：第一间利用题中的条件，类比着写出S“T+ga,i=l（〃N2）,两式相减求得相邻两项

的关系，从而确定出数列｛凡｝是等比数列，再令”=1求得首项，利用等比数列的通项公式求

得结果，对于｛勿｝，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而求得结果，

第二问涉及到等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法——错位相减法.

1.2

详解：（1）〃=1时，，a-^-a=1,q=一

]2]3

S,=l11

时，,],Sn-an=-an_,（«>2）

｛为｝是以|■为首项，；为公比的等比数列,

b1=1

又区=b2b14得:(l+4J)2=(l+(/)(l+13J),

〃2_2d=0，因为dwO解得d=2,

bn=2n-l

4〃一2

⑵cn=—^~

T2610

北=§+?+三+3〃

_26104〃一64〃一2

+-----1

升=?+?+/3"-----3"

22111)4«-2

-T=-+4------1-------1-d------

3"n332333")

11

229~F4〃一2

-T=-+4x

3n"3

1--

3

2471—2

|33"3'm

2n+2

3"

点睛：该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式

的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法，第二问应用错位相减法求和，在求

和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有"-1项.

21.已知函数/(幻=此心(女了0).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(。))处的切线方程；

(2)讨论了(%)的单调性；

(3)设g(x)=f一力X+4,当&=1时，对任意的存在[1,2],使得

f5)Ng⑵，求实数b的取值范围

【答案】（I））=x；（II）见解析；（IID2+4-,+00I.

L4e）

【解析】

【分析】

（1）由题意可得/'（》）=（1+日）*;,据此确定切线的斜率，结合切点坐标确定切线方程即可;

（II）由/'（X）=（1+依）＞0可得1+所＞0,据此分类讨论确定函数的单调性即可；

（III）由题意可得/（m）./（—1）=一则原问题等价于一.送（々），々€[1，2]，据此求解实数

人的取值范围即可.

【详解】（I）/"（x）=（l+日）*,

因为/（0）=0，且/'（0）=1,

所以曲线y=/（X）在点（0,/（0））处的切线方程为：y=X.

（II）令/'（犬）=（1+卮）6辰＞0,所以1+点＞0,

当女＞0时,x＞-1，

k

此时/（X）在上单调递减，在（一｝+8）上单调递增；

当女＜0时,x＜——,

此时“X）在卜肛-上单调递增，在1-g+s]上单调递减.

（III）当攵=1时,/（X）在（TO,T）上单调递减，在（-1,+00）上单调递增，

所以对任意玉eR,有/&）../（—1）=—,

又已知存在々[1,2],

使/（3）.送（*2）,所以一（..8（工2），工2e[l,2],

即存在xG[1,2]，使g（x）=x2-2bx+4„--,

4+e"

即2A.X+竺J,

x

4+e11

即因为当X£[1,2],Xd------G4H---,5H—>

xl_2ee_

所以20..4+1-,即实数〃取值范围是A.2+'-.

2e4e

所以实数〃的取值范围是2+1-,+81.

L4eJ

【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，利用导数求解切线方程，分类讨论的数学思

想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

fa色

x=3------1

2

22.在直角坐标系中，直线/的参数方程为JL（/为参数），在极坐标系（与

y=君+当

I2

直角坐标系X。），取相同的长度单位，且以原点。为极点，以％轴正半轴为极轴）中