2023中考数学08 一元二次方程的应用（动态几何问题）

专题08一元二次方程的应用(动态几何问题)

类型一三角形中的动态几何问题

1.ABC中，4=90°,AB=5cm,5C=6cm，点P从点A开始沿边A8向终点B以lc%/s

的速度移动，与此同时，点。从点8开始沿边BC向终点C以2c7Ms的速度移动.如果点P、

。分别从点A、8同时出发，当点。运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为f秒.

(1)填空：BQ=PB=(用含r的代数式表示)；

(2)是否存在f的值，使得△PBQ的面积等于4cm2?若存在，请求出此时f的值；若不存在，

请说明理由.

【答案】(1)2/,5-t

(2)存在，当r=l时，△P8Q的面积等于4cm2

【解析】

【分析】

(1)根据“路程=速度/时间”可表示出BQ、AP.再用A5-AP就可以求出PB即可；

(2)利用(1)的结论，根据三角形的面积公式建立方程求出/的值即可.

(1)

(1)由题意得：BQ=2t,AP=t,贝ijBP=5-AP=5-t.

故答案为:2/,5-t.

(2)

(3)存在.

由题意可得：△28。的面积为:8尸.8。=笑」,

laAPBQ的面积等于4c

团,解得：〃=i“=4(不符合题意，舍去)，

回当/=1时，0PBC的面积等于4cm2.

【点睛】

本题考查了行程问题的运用、一元二次方程的解法、三角形面积公式的运用等知识点.在解

答时要注意所求的解的实际问题有意义成为解答本题的关键.

2.如图，S48c是边长为6cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,8两点出发，分别沿

AB,BC匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点尸到达点B时，P,。两点都停止运动，

设点P的运动时间为rs,解答下列问题：

(1)求MBC的面积；

(2)当r为何值时，SPBQ是直角三角形？

(3)是否存在t,使四边形4PQC的面积是姐BC面积的!?若存在，求出r的值；若不存在，

请说明理由.

【答案】(1)9氐n?

⑵f=l或f=2

(3)不存在，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)过点A作/于点“，先根据等边三角形的性质可得A8=3C=6cm,BM=3cm,

再利用勾股定理可得AM=3&m,然后利用三角形的面积公式即可得；

(2)分々。3=90。或N8PQ=90。两种情况，分别利用直角三角形的性质建立方程，解方

程即可得；

(3)假设存在某一时刻f,使四边形APQC的面积是ABC面积的:,从而可得

SPBQ=3底底，过点。作Q"于点”，利用直角三角形的性质和勾股定理可得

HQ=6tcm,再利用三角形的面积公式建立方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行

分析即可得出答案.

(1)

解：如图，过点A作/W_L3C于点M,

MC为等边三角形，且边长为6cm,

AB=BC=6cm,BM=—BC=3cm

2

AM-yjAB2-BM2=3V3cm,

的面积为:8C-AM=gx6x3G=96(cm2).

⑵

解：由题意得：AP=2tcm,BQ=2tcm,

BP=AB-AP=(6-2r)cm,

ABC为等边三角形，

.-.ZB=60°,

当点尸到达点B时，”方=3(S),

贝Ijo<r«3,

①当NPQ8=90。时，△PBQ是直角三角形，

N8PQ=90°-NB=30°,

:.BP=2BQ,即6-2r=2x2f,

解得7=1,符合题意；

②当NBPQ=90。时，△尸8。是直角三角形，

ZPQB=90°-ZB=30°,

BQ=2BP,即〃=2(6-2，)，

解得t=2,符合题意，

综上，当f=l或f=2时，△PBQ是直角三角形.

(3)

解：不存在r,使四边形APQC的面积是ABC面积的2;,理由如下：

假设存在某一时刻r,使四边形APQC的面积是.ABC面积的;,

由(1)得：S"c=9&m2,

NHQB=90。-NB=30。,

BH=^BQ=tern,HQ=QBQ?-BH2=底cm,

:.SPBQ=^BP-HQ=^（6-2t）-y/3t=3y/3,

整理得：/-3f+3=0,

此方程根的判别式为A=9-4xlx3=-3<0,方程无解，

所以假设不成立，

即不存在，，使四边形APQC的面积是A8C面积的2;.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、含3"角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的

应用等知识点，较难的是题（3）,正确建立关于时间r的方程是解题关键.

3.如图所示，A,8,C,D为矩形的四个顶点，4B=16cm,AZ>8cm,动点P,Q分别从点

4，。同时出发，点尸以3cm/s的速度向8移动，一直到达8为止；点。以2cm/s的速度向

。移动.当尸，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm.（若一点到达终点，

另一点也随之停止运动）（）

A.2s或二sB.ls或一sC.—sD.2s或一s

5555

【答案】D

【解析】

【分析】

设当P、。两点从出发开始到x秒时点P和点0的距离是10cm此时AP=3xcm16-2%）

cm,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.

【详解】

解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点尸和点。的距离是10cm,此时4P=3xcm,DQ=

(16-2x)cm,

根据题意得:(16-2x-3x)2+82=102,

.22

解得:xi=2,x2=~,

22

答：当P、Q两点从出发开始到2s或5s时，点P和点。的距离是10cm.

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是

解题的关键.

4.上午8点，某台风中心在A岛正南方向100km处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方

向40加处有一艘补给船向4岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀

速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间f的图象.已知台风影响的半

径是100切？(包含边界)，请结合图象解答下列问题：

中点尸的实际意义是；

(2)从几点开始，补给船将受到台风的影响？

(3)设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为。小时，出于安全考虑，补

给船速度不超过100初?/〃、。＜1.求出图中补给船航行时间，”的正整数值及此时补给船在

驶入C港之前受台风影响的总时间.

【答案】(1)20,60,补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相

13

等；(2)8点12分；(3)根=3,补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为6小时.

【解析】

【分析】

(1)首先根据图像为台风中心、补给船与A岛的距离S和时间r的图象，台风在上午8点

距离A岛lOOfon,即可得出线段OE为台风中心距寓A岛的距离S和时间/的图象；补给船

上午8点距离八岛40km,即可得出线段尸G为补给船与A岛的距离S和时间/的图象，从

图像获取信息即可求得各自的速度；由题目可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时

与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际意义；

(2)由台风影响的半径是100的？(包含边界)，即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列

出方程，求解即可得出答案；

(3)根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程,

解出a,根据题目要求，补给船速度不超过100®〃/?且,列出不等式，再根据，〃为正

整数，即可求出〃？；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影

响的时间，即可求得答案.

【详解】

(1)由题分析得，线段。E为台风中心与A岛之间的距离S与时间/的图像，

13台风的速度v=F=20（加/〃）.

线段FG是补给船与A岛的距寓S与时间/的图像，

2

团补给船的速度v=40+§=60(痴/力，

回点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到4岛的距离相等；

(2)如图所示开始受影响，即BH=\00km,

C

B—________

船、':”

\

\

、Ii

\

)台风中心

n

设/小时后补给船开始受台风影响，

贝=40-607,A”=100-20/,

在府中,由勾股定理得，

AB2+AH2=BH；

(40-60f-+(100-20fy=1002,

解得，4=：出=2(不合题意，舍去)，

回补给船出发(x60=12(分钟)，开始受台风影响，

回从8点12分开始补给船开始受台风影响；

(3)由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时，

台风中心距离A岛的距离为：

100-20x1=80(M,

由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为\20km，时间为,

故补给船离开A岛驶向C港的速度为:一120(km/h),

回补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，

团卫4+80-20。=100,

m-\

egtn—1

解得,八k’

团。<1,

m-\<

0----<1,

1-m

由图可知，初<5,

去分母得，“一1<7一犯

解得：zn<4,

又回补给船速度不超过100切〃力,

自卫L100,

m-\

由图可知，机>1，

去分母得，120W100("L1),

解得：m22.2,

团2.2W"?<4,

团机为正整数,

0/n=3,

当机=3,.=2=U=2=_L

1-m7-342

即补给船驶出4岛到驶到C港之前受台风影响的时间为:〃，

在补给船出发驶向4岛的过程中，有§力没有受台风影响，

11B

回补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间/=1-1+]=6®.

【点睛】

本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键

是正确理解题意，能从函数图像中获取需要信息进行求解.

5.如图①，在矩形A8C。中，AB<AD,对角线AC,B3相交于点。，动点P由点A出

发，沿钻fBefCD向点。运动设点p的运动路程为x,AOP的面积为y,y与云的函

数关系图象如图②所示，则的长为.

AD

【答案】4

【解析】

【分析】

当P点在AB上运动时，.AQP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得AOP面

积最大为3,得到AB与8c的积为12;当尸点在8c上运动时，AOP面积逐渐减小，当P

点到达C点时，AOP面积为0,此时结合图象可知尸点运动路径长为7,得到48与8C的

和为7,构造关于A8的一元二方程可求解.

【详解】

解：由图象与题意知可知，当尸点在A8上运动时，AOP面积逐渐增大，当尸点到达8点

时，AOP面积最大为3,

0-AB-BC=3,即AB-BC=12.

22

当尸点在BC上运动时，.AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，AOP面积为0,此时

结合图象可知尸点运动路径长为7,

EM8+8c=7.

贝ij3c=7-AB，代入AB^C=12,得AB?-7AB+12=0,

解得Afi=4或AB=3,

0AB</W,SPAB<BC,

13AB=3,8c=4,

SAD=BC=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程,

找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.

类型二四边形中的动态几何问题

6.如图，将边长为4的正方形A8C。沿对角线AC剪开，再把0ABe沿着A。方向平移得到

姐EC,若两个三角形重叠部分的面积为3,则它移动的距离A4等于一；移动的距离44

等于一时，两个三角形重叠部分面积最大.

【答案】1cm或3cm##3cm或1cm2cm

【解析】

【分析】

如图，设AC交A0于H,A'C交8于G,证明四边形A7/CG是平行四边形，证明△ATM是

等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，设A4'=xcm,则A"=x,A7)=4-x,再利

用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最大值时的平移距离.

【详解】

解：如图，设AC交A'8'于"，AC交8于G,

由平移的性质可得：AC//A'C',A'B'//CD,

四边形A'"CG是平行四边形，

由正方形ABC£＞可得：ZA=45°,ZD=ZAA'H=90°,

.1△ATM是等腰直角三角形，

同理：也是等腰直角三角形，

设44'=xcm,则A"=x,A'D-4-x,

.\x(4-x)=3,

—4x+3=0,

x

解得：\=^,x2=3,

A4f=lcm或A4'=3cm

重叠部分的面积为：X(4-X)=-X2+4X=-(X-2)2+4,

当x=2时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2

所以当A4'=2cm时，重叠部分的面积最大.

故答案为：1cm或3cm;2cm

【点睛】

本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次

方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关键.

7.如图，矩形A8C。中，A8=2cm,BC=3cm，点E从点B沿BC以2cm/s的速度向点C

移动，同时点尸从点C沿CO以lcm/s的速度向点。移动，当E,尸两点中有一点到达终

点时，另一点也停止运动.当她EF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运动的时间.

AD

【解析】

【分析】

设点E运动的时间是r秒.根据题意可得方程，解方程即可得到结论.

【详解】

解：设点E运动的时间是KS.

根据题意可得22+(2x)2=(3-2x)2+/,解这个方程得

XI=6-VaT,X2=6+y/n,

034-2=1.5(s),2+1=2(s),

回两点运动了1.5s后停止运动.

=6-而.

答：当是以A厂为底边的等腰三角形时，点E运动的时间是(6-731)s.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理

的运用.

8.如图，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=\2cm，点P从点A出发沿边AB以lcm/s的

速度向点8移动；同时，点Q从点B出发沿边8c以2cm/s的速度向点C移动，当点P运

动到点B后，运动停止，设运动时间为x(s).

(1)BP=cm,CQ=cm(用含x的式子表示);

⑵若PQ=4&cm时，求x的值；

(3)当x为何值时，VOPQ将成为以。尸为斜边的直角三角形.

【答案】(1)(6-%),(12-2x)

(2)③=0.4或&=2

(3)当x为1.5或6时，VOPQ是以DP为斜边的直角三角形

【解析】

【分析】

(1)直接根据P、。点运动方向和运动速度表示出答案；

(2)在放一尸3。中，根据勾股定理即可求出答案；

(3)表示出PQ2、和。尸，由勾股定理即可求出答案.

(1)

由题可得：AP=xcm,BQ=2xcm,

[?]BP=AB-AP=6-x(cm),CQ=BC-BQ=12-2x(crn)

故答案为:(6-x),(12-2x)；

(2)

在RtPBQ中,BP2+BQ2=尸。，即(6-x)2+(2x)2=(4立>,

解得：X=04或%=2；

(3)

Pg2=(6-x)2+(2x)2,DQ2=62+(12-2x)2,DP2=x2+122,

lavop。是以。尸为斜边的直角三角形，

2(

0(6-x)+(2x)2+6?+12_2x>=X2+122,

解得：再=1.5或々=6,

回当x为1.5或6时，VOPQ是以。尸为斜边的直角三角形.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的

关键.

三、解答题(共。分)

9.如图，长方形A8CO中(长方形的对边平行且相等，每个角都是90。)，A8=6cm,AD

=2cm,动点尸，Q分别从点A，。同时出发，点尸以2cm/s的速度向终点8移动，点。以

lcm/s的速度向点。移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为《s),

问：

(1)当f=ls时，四边形BCQP面积是多少？

(2)当f为何值时，点P和点Q距离是3cm?

(3)当t=s时，以点尸，。，。为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)

「人安土\[5/a\3+y/1t3->/1-6T—64-2\/33

【答案】(1)5cm-;(2)——；(3)F-或或4或——-——.

【解析】

【分析】

(I)当日时，可以得出CQ=\cm,AP=2cm,就有PB=6-2=4(cm),由梯形的面积就可以

得出四边形8CQP的面积；

(2)如图l,作Q£HAB于E,在Rt回尸E。中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2,

作PE^CD于E,在RtSPEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；

(3)分情况讨论，如图3,当PQ=DQ时，如图4,当PD=PQ时，如图5,当PD=QD时，

由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论.

【详解】

解：(I)如图，回四边形ABCD是矩形，

EL4B=CD=6,AD=BC=2,EL4=0B=HC=0D=90°.

0C(2=\cm,AP=2cm,

SAB=6.2=4(cm).

E1S=(+4)x2=5cm2

2

答：四边形BCQP面积是5cm2;

(2)如图1,作。的48于E,

团团8=回。=90°,

团四边形8CQE是矩形，

团QE=BC-2cm,BE=CQ=t(cm).

^AP=2t(cm)t

团PE=6.2〃=(6.3r)an.

在RSPQE中，由勾股定理，得

(63/)2+4=9,

解得：r=注£,

3

如图2,作P£QCD于E,

图2

EGPEQ=90°.

00B=0C=9O",

回四边形BCQE是矩形，

0PE=BC=2cm,BP=CE=6-2/.

&CQ=t,

团QE=/.(6-2/)=3/-6

在RIAPE。中，由勾股定理，得

(3r-6)2+4=9,

解得：：=处好.

3

综上所述：/=三5或七5；

33

(3)如图3,当尸。=。。时，作QEa48于E,

团团尸EQ=90°,

团团8=团C=90°,

回四边形8CQE是矩形，

^\QE=BC=2cm,BE=CQ=t(cm).

EL4P=2t,

0PE=6-2/.r=6.3r.DQ=6./.

^PQ=DQ,

团PQ=6-t.

在RtZkPQE中，由勾股定理，得

(6.31)2+4=(6])2,

解得：,=在也.

2

如图4,当P£>=P。时，作PESDQ于E,

00A=0D=90°,

团四边形APE。是矩形,

团尸石=AD=1cm.DE-AP=It,

回£)Q=6-t,

解得:r=|;

如图5,当PO=QD时，

图5

勖P=2f,CQ=t,

团。Q=6-t,

团尸。=6J.

在RtAAPD中，由勾股定理，得

4+4产=(6J)2,

解得〃=-6+2后»=-6-2相(舍去).

33

综上所述：或三立或5或金汉11.

2253

故答案为：士!L或”-或*或-6+2底

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面

积公式的运用，一元二次方程的解法的运用.解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键.

10.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm，动点P、Q分别从点A、

C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向

D移动.

(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？

(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2;

(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm.

【答案】⑴P,Q两点从出发开始到3.2秒时，四边形APQD为长方形；⑵P,Q两点从

出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2;(3)P,Q两点从出发开始到1.6秒或4.8

秒时，点P和点Q的距离是10cm.

【解析】

【分析】

(I)当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，依此建立方程求出即可；

(2)设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,则PB=(16-3x)cm,

QC=2xcm,根据梯形的面积公式可列方程：；(16-3x+2x)x6=33,解方程可得解；

(3)作、£团人8，垂足为E,设运动时间为x秒，用x表示线段长，用勾股定理列方程求解.

【详解】

(I)设P,Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，

根据题意得：16.3x=2x,

答：P,Q两点从出发开始到二秒时，四边形APQD为长方形.

(2)设P,Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2,

根据题意得：5/6(16.3x+2x)=33,

解得：x=5.

答：P,Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2.

(3)过点Q作QE0AB于点E,如图所示.

设P,Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm,

根据题意得：(16.3x.2x)2+62=102,

整理得:(16■理产=82,

回824

解得