2019年全国高中数学联赛A卷（后附答案解析）

2019年全国高中数学联赛A卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知正实数。满足a"=(9a产，则log„(3«)的值为.

2.若实数集合｛1,2,3,x｝的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，

则x的值为.

3.平面直角坐标系中，e已是单位向量，向量a满足a-e=2,且|a『,，5|a+re|对任

意实数r成立，则1。1的取值范围是.

4.设A、B为椭圆「的长轴顶点，E、F为『的两个焦点，|人例=4,|AF|=2+G，P

为上一点，满足|PE|-|PF|=2,则APEF的面积为.

5.在1,2,3,…，10中随机选出一个数。在一1,-2,一3,…，-10中随机选出一

个数%,则标+b被3整除的概率为.

6.用M表示函数、=sinX在区间/上的最大值，若正数。满足Mp“产2%国，则a的

取值范围为.

7.如图，正方体ABC。一EFG”的一个截面经过顶点A、C及棱EF上一点K,且将正

方体分成体积比为3：1的两部分，则E会K的值为.

8.将6个数2、0、1、9,20、19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0),

则产生的不同的8位数的个数为.

二、解答题

9.在AA8C中，BC=a,CA=b,AB=c.若6是a与c的等比中项，且sinA是sin(B-A)

与sinC的等差中项，求cosB的值.

10.在平面直角坐标系xOy中，圆。与抛物线「：V=4x恰有一个公共点，且圆C与x轴

相切于「的焦点F.求圆。的半径.

11.称一个复数数列｛z”｝为“有趣的"，若|z/|=l,且对任意正整数〃，均有

4z3+2Z“Z“M+z：=0.求最大的常数C,使得对一切有趣的数列｛z〃｝及任意正整数m,

均有％+z2++z,„|..C.

12.如图，在锐角aABC中，M是BC边的中点点P在△ABC内，使得AP平分NBAC

直线与△ABP、^ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点。、E.证明：若。E=MP,

则BC=2BP.

13.设整数4,小，，。刈9满足1=。融2?。刈9=99.记

./=("l+4++%)[9)—(44+。2“4+。3“5++”2017”2019).求/的最小值由并确定使

成立的数组(4,%，,%019)的个数.

14.设机为整数，|“|..2.整数数列4，%，满足：知出不全为零，且对任意正整数〃,

均有%+2=。"+1-机证明：若存在整数八S(r>s22)使得4=4=%，则rf.m.

15.设丫是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，

记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数〃，满足条件：若E至少有〃个元素，

则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两

个二元子集的交为空集.

试卷第2页，共2页

参考答案：

9

•布

【解析】将已知等式。"=(9。严，两边同取以e为底的对数，求出Ina,利用换底公式，即

可求解.

【详解】Inaa=ln(9a)8a,a\na=8tz(ln94-Ina),

>0,/.71n6/=—161n3,ln<z=——ln3,

7

....In3aIn319

..log”(3a)=--=-rr—+1=—

Ina.161n316.

7

9

故答案t为:二.

16

【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.

2.-3

2

【分析】不妨设x40,可得最大、最小元素之差不超过max{3,x},而所有元素之和大于

max{3,x},得到x<0,列出方程，即可求解.

【详解】不妨设xNO,可得最大、最小元素之差不超过max{3,x},

而所有元素之和大于max{3,x},不符合条件，所以x<0,即x为最小元素，

3

于是3—x=l+2+3+x,解得x=—.

2

【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用，着重考查了分析问题和解答

问题的能力.

3.[逐,26

【分析】不妨设e=(1，()),根据由9=2,可设a=(2,y),由题意得出4+y2M5J(2+抒+y?恒

成立，进而得到4+/453,解得|y|e[l,4],即可求解。

【详解】由题意，向量e已是单位向量，不妨设e=(L0),

由于a-e=2,可设a=(2,y),

可得|a|2=4+y2,5|a+re|=5j(2+f)2+y2

因为对任意实数，，|。|*5|a+fe|恒成立，即4+V45厄铲万恒成立，

整理得4+y2«5|y|,解得即[1,16],

答案第1页，共12页

于是|小曲+丁e［技2同

故答案为：［6,2石］

【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的模的运算及应用，其中解答

中熟练应用向量的坐标运算和向量的模的计算公式，得出不等式是解答的关键，着重考查了

转化思想，以及推理与计算能力。

4.1

【分析】设椭圆的标准方程为「靛+至=l（a>6>0）,根据题意，求得。也。的值,再结合

椭圆的定义和勾股定理，得到/EPF为直角，即可求解APEP的面积.

［详解】设椭圆的标准方程为r：W+£=1（“>人>0）,

ab

由题意，可得2a=|AB|=4,|\=a+c=a+\]a2—b2=2+>/5,

解得a=2力=1,所以‘2"2-《=3,解得c=囚,所以|闭=26,

又由椭圆定义知|P£|+|PF|=2a=4,

因为IPEHP尸1=2,可得|PE『+|尸尸|2=(|PE|+|PF|)2-2|PEHPF|=12,

又由|EF『=I2,KP|P£|2+|PF|2=|£F|2,所以/EP尸为直角，

所以APEF的面积为SPEF=^-\PE\-\PF\=\.

故答案为：L

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，其中解答中根据椭圆定义和勾股定

理，得出三角形为直角三角形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力。

5.卫

100

【分析】题中条件/+6是3的倍数，考虑/被3除的余数分情况讨论.另外注意有/和b被

3除的余数相加是3的倍数.

【详解】数组（。,3共有102=100种等可能性的选法.

考虑其中使/+/,被3整除的选法数N.

若“被3整除，则b也被3整除.此时。力各有3种选法，这样的（4〃）有3?=9种.若。不被3整

除，则。=（3%±1）2=9公土6%+1=3（3左2±2%）+1,于是/被3除余1,那么匕被3除余2.此时

答案第2页，共12页

a有7种选法，匕有4种选法，这样的(",6)有7x4=28种.

因此N=9+28=37.于是所求概率为3言7.

【点睛】此题考查计数原理和概率的知识，属于中档题.

「54134

6。g巨

【分析】根据正弦定理在⑹内)上的单调性求解.

【详解】因为y=sinx在[0,自上单调递增，所以枭[0,0,若。苦，则存在3>0,使得

a+3e[a92a],且sin(a+b)>叫，不合题意，所以叫。川二1,

54

CL2—

所以由修。产珠回得叫加弓，所以累，解得*詈

2a<—7i

6

54137r

故答案为:

【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，

正确理解新定义是关键.

7.V3

【分析】记。为截面所在平面，延长AK、BF交于点P,则P在a上，故直线C尸是。与平面

BCGF的交线，设CP与FG交于点L,则四边形AKLC为截面，力ABC—"L为棱台，不妨设

正方体棱长为1,则正方体体积为1,设PF=h,则工=罢=二=3，由条件知棱台

ABBCPBh+l

ABC-K",的体积丫=1,列出方程可得力的值，可得答案.

【详解】解：如图，记a为截面所在平面.延长AK、BF交于点P,则P在a上，故直线CP

是a与平面BCGF的交线.设CP与FG交于点L,则四边形AKLC为截面.

K/i

因平面ABC平行于平面KFL,且AK、BF、CL共点P,故ABC—KFL为棱台.不妨设正方体

答案第3页，共12页

棱长为1,则正方体体积为1,结合条件知棱台A3C—KFL的体积

4

、几，皿KFFLPFh

设PF=h,则---=---=---=----.

ABBCPBh+l

注意到尸8、P尸分别是棱锥P—A8C与棱锥产一KFL的高，于是

l=v=v-V.AB-BC-PB--KF-FL-PF

Ar—p/ioAvRCr-PAFKI>Fx（

3力2+3/7+1

=-(/z+l)1

6(/7+1)2

化简得3〃2=i,故h=F-

【点睛】本题主要考查空间几何体体积的相关计算，关键是能够利用切割的方式，利用变量

表示出三棱台的体积，进而利用体积构造出方程求得变量的值.

8.498

【分析】先求得所有不以。开头的排列数，再由以2,0相邻，且2在左边，以1,9相邻,

且1在左边所对应的排列数有一部分是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.

【详解】2、0、1、9、20、19的首位不为。的排列的全体记为A.

易知|A|=5x5!=600（这里及以下，|X|表示有限集X的元素个数）.

将力中2的后一项是0,且1的后一项是9的排列的全体记为B；

A中2的后一项是0,但1的后一项不是9的排列的全体记为C；

A中1的后一项是9,但2的后一项不是0的排列的全体记为D.

易知网=4!,|B|+|C|=5!,|B|+|D|=4x4!,即|8|=24,©=96,|D|=72.

由B中排列产生的每个8位数，恰对应B中的2x2=4个排列（这样的排列中，20可与“2,0”

互换，19可与“1,9”互换）类似地，由C或。中排列产生的每个8位数，恰对应C或。中

的2个排列因此满足条件的8位数的个数为

3|B||C|\D\

=|--------------

422

=600-18-48-36=498.

【点睛】本题主要考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.

V5-1

9.

2

答案第4页，共12页

【分析】根据等比中项和等差中项，结合正弦和余弦定理，即可求得d,进而由余弦定理,

即可求得C”必.

【详解】因b是a、c的等比中项，故存在<7>0,满足b=qa,c=q2q.①

因sinA是sin(8—A),sinC的等差中项，故

2sinA=sin(8-A)+sinC=sin(8-A)+sin(8+A)=2sinBcosA.

结合正、余弦定理，得q=.=cosA=J±C,^h2+c2-a2=2ac.

bsinB2bc

将①代入并化简，可知q2+gJl=2",即/=q?+l,所以夕?=垦1.

42

进而cos8，+a2-/q+l-q1也-1

2acW=4丁

【点睛】本题考查等差中项、等比中项的应用，涉及正余弦定理，属综合中档题.

10.逋

9

【分析】设圆。的半径为「，可表示出圆C的方程，与抛物线「的方程联立消去X,利用“恰

有一个公共点”等价于“方程只有一个根''可求解.

【详解】易知的焦点F的坐标为。，0).设圆的半径为r(r>0).

由对称性，不妨设。在x轴上方与x轴相切于点尸，

故。的方程为3-1)2+()-»=产。

将代入①并化简，得+/-2^=0.

显然丫>0,故(片一11+/+勺.②

2y[l4J-J32y

根据条件，②恰有一个正数解y,该y值对应。与r的唯一公共点.

2

考虑"y)=(>+4)⑶>0)的最小值.

答案第5页，共12页

当且仅当V=g,即》=半时，/（y）取到最小值呼.

由②有解可知r…生叵.

9

又假如r＞竽，因/（〉）随y连续变化，且yfO+及yf”0时，〃y）均可任意大,

上均有解，与解的唯一性矛盾.

综上，仅有r=竽满足条件（此时［\半）是。与「的唯一公共点）.

【点睛】本题考查解析几何中圆与抛物线的综合问题，解题的关键是把“恰有一个公共点”

转化为“方程只有一个根解题过程中涉及图形的对称性、平均值不等式（或导数）求最值等变

形技巧.

11,3

3

【分析】根据有趣的复数数列的定义，对参数机进行分类讨论，结合数列的极限，即可求得

结果.

【详解】考虑有趣的复数数列{z〃},归纳可知z/O（〃GM）.

+1=0(GN),解得区=

由条件得4W+T乎(〃”).

z”4

■1

此-

㈤=2-

故同=1讣①

记Z“=|z|+Z2++zm|(/neN+).

当tn-2s(s£N+)时,利用②可得

叫…卜力"+Z”|＞等一力2卜也|=咚一之蛊邛.

k=2乙1=2Z太=2Z0

当相=2s+l（sGN+）时，由①、②可知区+卜焉〈兄与=£嘉=Slzzi+z21,

乙,'乙k=s+\乙k=s+\

答案第6页，共12页

故2.k+Z人/21+Z2*I-人I>*-力Z2J+Z2bg.

14=27，k=23

当m=1时，工=㈤=1>¥，

以上表明。=在满足要求.

3

另一方面，当Z1=1,Z〃=专巨,22皿==潦(攵cNj时，易验证知回7｝为有趣的数列.

,।n.r丁ri\ri（-3-1—3+y/3\4y/3

此时！则刈=!*+盲区+2刈）=阳1+盲三k=i+--.-=T

V3

这表明c不能大于

73

综上，所求的c为

【点睛】本题考查新定义问题，涉及数列的极限、数列的新定义，复数的运算，属综合困难

题.

12.证明见解析

【详解】如图，延长到点F,使得MF=ME.连结BF、BD、CE.

由条件可知/8。尸=ZBAP=ZCAP=ZCEP=ZCEM.

因为BM=CM且EM=FM,所以BF=CE且BF//CE.

于是NF=NCEM=NBDP,进而8D=BF.

又DE=MP,Vi.DP=EM=FM.

于是在等腰△BDF中，由对称性得BP=BM.从而BC=2B=2BP.

13.4=7400；C温个.

【分析】根据题设条件，化简得至U2/2a2oi7+a2oi8+(a2oi9-%oi7y+doi8+a；oi9，在结合二次

函数的性质，即可求得/最小值，再由对每个网隆后49),设《,见，，的“8等于我的项数为

答案第7页，共12页

1+4，结合方程的正整数解（心%，，%））的组数，即可求解.

【详解】由题总，/=（〃；+&++々2019）—（"l03++。3。5++“2017a2019），

20172

可得2/=谱+耐+々短+。短+Z（%2一《•）"①

i=l

由于%，生及4+2-49=1，2,,2016）均为非负整数，故有片之4㈤

且（4+2-4）224+2-4"=1，2,,2016），

201622016

于是a\+4+Z3+2—4）••4+。2+Z（%+2-4）="2017+“2018，②

/=1i=l

由①,②得21>%017+%018+（。2019—。2017）+%018+。2019，

结合。2019=99及/018—胃017>。，

可知f组2喙+（99f7）2+4.7+991=（%-49）2+740027400,③

另一方面，令4=%==4划=1，/20+2*-1=《920+2*=%（火=1，2,,49）,々019=99,

此时验证，知上述所有不等式均取到等号，从而/的最小值/）=7400.

以下考虑③的取等条件.此时“237="238=49,且②中的不等式均取等，

即4=%=1,4+2-4e{0,1）（/=1,2,,2016）.

因此1=4到2?“2018=49,且对每个M1W后49）,a,,a2,，出。曲中至少有两项等于上易验

证，知这也是③取等的充分条件.

对每个项架49）,设4，的，，/018等于&的项数为1+”*，

则成为正整数，且（1+4）+（1+均）+…+（1+%）=2018,

即ny+%++九49=1969,

该方程的正整数解（4,%，，%9）的组数为C：K，

且每组解唯一对应一个使④取等的数组（4,%,,%019），

故使/=%成立的数组（4,生，，。刈9）有c：之个.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及组合数公式的综合应用，其中解答中

认真审题，合理化简，应用组合数的性质和计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问

答案第8页，共12页

题和解答问题的能力，属于中档试题.

14.证明见解析

【分析】首先假设4,出互素，根据题目所给递推关系得到生三4三4三(mod|/"|),然后

利用数学归纳法证得对任意整数»>3,有/=%-(4+5-3)/)“(mod，/)成立，通过证明

(一s)出三0(mod|闻)成立,得到r—从而证得结论成立.

【详解】不妨设qg互素(否则，若(知出)=">1,则之与与互素,并且用3,今争，…代

aaaaa

替条件与结论均不改变).

由数列递推关系知“2三”3三4三(mod|w|)①

以下证明：对任意整数论3,有三生-(4+("-3)a2>〃(mod;叫②

事实上，当〃=3时②显然成立.假设〃=k时②成立(其中k为某个大于2的整数)，注意到①,

2

有mak^=相％(modm),结合归纳假设知

2

ak+l=ak-mak_t三出一(q+{k-7>)a2)m-ma2=a2-(a,+(k-2)a2)(modm),

即n=k+\时②也成立.因此②对任意整数n>3均成立.

注意，当q="2时，②对〃=2也成立.

设整数八s(r>s>2),满足%=as=a,.

若4=生，由②对均成立，可知

2

”2-(6+(r-3)a2)m=ar=a3=a2-(a,+(5-3)生)团(modm),

即q+(r-3)a2=q+(s-3)a,(mod|m|),即(r-s)a2=0(modI，〃|)③

若。产生，则可=a,=qw/，故r>5>3.

此时由于②对»>3均成立，故类似可知③仍成立.

再证明。2,互素：

事实上，假如“2与机存在一个公共素因子p,则由①得p为4，为，。4，的公因子，而q，4互

素，故。国I，这与4=4=q矛盾.

因此，由③得r-s三0(mod|m|).又所以一

答案第9页，共12页

【点睛】本小题主要考查利用数学归纳法进行证明，考查化归与转化的数学思想方法，属于

难题.

15.最小的”是2795

【分析】先证明一个引理：设G=(匕£)是一个简单图，且G是连通的，则G含有号个

两两无公共边的角.再利用引理和反证法，结合组合数的凸性即可求得结果.

【详解】为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个"角”，先证明一个引理：

设G=(匕E)是一个简单图，且G是连通的，

则G含有［号］个两两无公共边的角(这里⑷表示实数a的整数部分).

引理的证明：对E的元素个数|£|归纳证明.

当|£1=0,1,2,3时，结论显然成立.

下面假设因羽，并且结论在因较小时均成立.

只需证明，在G中可以选取两条边。、6构成一个角，在G中删去服人这两条边后，剩下

的图含有一个连通分支包含田一2条边.

对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立.

考虑G中的最长路产：匕为匕，其中入%，，匕是互不相同的顶点.

因为G连通，故Q3.

情形1：deg(vt)..2.

由于P是最长路，刃的邻点均在岭，，匕中，设匕匕eE,其中3与必.

则“也，匕匕｝是一个角，在E中删去这两条边.

若刃处还有第三条边，则剩下的图是连通的；

若V，处仅有被删去的两条边，则刃成为孤立点，其余顶点仍互相连通.总之在剩下的图中有

一个连通分支含有同一2条边.

情形2：deg(v1)=l,deg(v2)=2.

则｛M0%为｝是一个角，在G中删去这两条边后，小匕都成为孤立点，其余的点互相连通,

因此有一个连通分支含有I©-2条边.

情形3：deg(vl)=l,deg(v2)..3,且也与匕，，匕中某个点相邻.

答案第10页，共12页

则｛W丫2#2匕｝是一个角，在G中删去这两条边后，刃成为孤立点，其余点互相连通，

因此有一个连通分支含有IEI-2条边.

情形4：deg(vl)=l,deg(v2).