2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）在2，﹣1.7，0，这四个数中，最小的数是（）A．2 B． C．0 D．﹣1.72．（4分）圆锥的俯视图是（）A． B． C． D．3．（4分）如图，学校志愿者中心绘制了2024年上半年每月拟征集志愿者人数的条形统计图，则下列说法错误的是（）A．2月份拟征集人数最少 B．4月份拟征集人数最多 C．1﹣4月份每月拟征集人数逐月增加 D．有3个月份拟征集人数相同4．（4分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠DFG可以表示为（）A．180°﹣x B．90°+x C．90°﹣x D．180°﹣2x5．（4分）因式分解：mx2﹣4m＝（）A．m（x2﹣4） B．m（x+2）（x﹣2） C．mx（x﹣4） D．m（x+4）（x﹣4）6．（4分）若点M（m，3），点N（﹣1，n）均在反比例函数的图象上．则m+n＝（）A．8 B．4 C．﹣2 D．﹣47．（4分）估计的值应在（）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间8．（4分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为（）A． B． C． D．9．（4分）如图，已知OB是⊙O的半径，弦CD⊥OB，垂足为点E，且tan∠BDC＝，OE＝，过点C作⊙O的切线，交OB的延长线于点P，则CP的长为（）A．7 B． C． D．810．（4分）已知两个实数a、b，可按如下规则进行运算：若a+b为奇数，则计算（a+1）（b+1）﹣1的结果：若a+b为偶数，则计算（a﹣1）（b﹣1）﹣1的结果．根据上述规则，每得到一个数叫做一次操作．对于给定的两个实数a、b，操作一次后得到的数记为c1；再从a、b、c1中任选两个数，操作一次得到的数记为c2；再从a、b、c1、c2中任选两个数，操作一次得到的数记为c3，依次进行下去…以下结论正确的个数为（）①若a＝3，b＝2，则c1＝11；②若a、b为方程x2﹣4x+1＝0的两根，则c1＝5；③若a、b均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的cn均不可能为偶数；④若a＝﹣2，b＝4，要使得|cn|＞343成立，则n至少为4．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：（﹣2）0+|1﹣π|＝．12．（4分）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第步开始出错．（填序号）解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…①2x＝﹣1…②x＝﹣…③13．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，AH⊥CD于点H，则∠EAH的度数为．14．（4分）如图，A、B、C是某景区的三个门，小南可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离开，则他选择不同的门进出的概率为．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝AB＝6，以B为圆心，先以AB为半径画弧，交BC于点E，再以BC为半径画弧，交AD于点F，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）16．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝2，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿直线CD折叠后，得到△B′CD，B′C交AB边于点E，若B′E＝ED，则ED的长为．18．（4分）各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，（s，t）是由两个好数组成的有序数对，将s的各位数字中最大的数作为千位数字，将t的各位数字中最小的数作为百位数字，将s的各位数字中最小的数作为十位数字，将t的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数M，称为（s，t）的衍生数，若此时M＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d为整数，1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，1≤d≤9），记F（M）＝2a+b+c﹣2d，则（47，50）的衍生数为；若（p，12）的衍生数为P，（98，q）的衍生数为Q，其中p＝10x+2，q＝30+y（1≤x≤9，4≤y≤8，x≠y），且F（P）﹣F（Q）＝2，则p+q＝．三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分．共78分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；（2）．20．（10分）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，BF，∠ABD是△ABC的一个外角．（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG．（只保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，若BE＝FE，证明：四边形AGBF是矩形．（请完成下面的填空）∵BG平分∠ABD，∴．∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴，∴∠DBG＝∠EGB，∴∠EGB＝∠ABG，∴．∵BE＝FE，∴，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴四边形AGBF是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵AB＝AE+BE，GF＝GE+FE，∴AB＝GF，∴四边形AGBF是矩形．（）21．（10分）某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都含10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10．A、B两款软件每段短文中识别正确的字数的统计表软件平均数众数中位数识别正确9字及以上的段数所占百分比A款7.7a850%B款7.78bc根据以上信息，解答下列问题：（1）上述表中的a＝，b＝，c＝；（2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了800段短文，每段短文有10个文字，请估计两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？22．（10分）博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；（2）该博物馆的参观路线全长3.6千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？23．（10分）如图1，在△ABC中，，BC＝4，AD为BC边上的中线，点P为AD的中点，PQ∥BC交AC于点Q，动点M以每秒1个单位长度的速度沿A→P→Q的路径运动（包含起点和终点），过点M作MN∥BC交AB于点N，设运动时间为t秒，记y＝MP+MN，请回答下列问题：（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的图象，并根据图象写出函数y的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当时t的取值范围．24．（10分）我市为满足广大市民的锻炼需求，拟将郊区的一座山打造为健身公园，山体的横截面示意图如图1，计划修建两段登山步道AB、CD和两段平台BC、DE．其中，平台BC．DE均与水平地面AF平行，平台BC长75米，在点B处观察点D的仰角为45°（即∠DBC＝45°），步道CD的坡角为53°，平台DE距离地面AF的竖直高度为900米，步道AB的坡度i＝1：．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）（1）求步道CD的长度；（2）为方便市民徒步登山，市规划局预备将步道AB全部修建成石梯，石梯的修建方式及尺寸（包括踏步高和踏步宽）均如图2所示，每一步石梯的安全标准是路步高不小于150mm，不大于175mm，且踏步宽不小于260mm，不大于300mm．若计划修建3600个相同尺寸的连续石梯，请你通过计算说明这样修建的石梯是否符合安全标准？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（8，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，直线CD交x轴于点D（2，0），点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线CD于点H，在直线CD上取点Q，连接PQ，使得HQ＝PQ，求的最大值及此时P点的坐标；（3）连接BC，把原抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M作MN垂直x轴于点N，连接AM，直接写出所有使得△AMN∽△ABC的点M的横坐标．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB边上一点，连接CD．（1）如图1，当∠B＝67.5°且CD⊥AB时，将线段DC绕着点D逆时针旋转到DC′，连接AC′，CC′，若∠CDC′+∠CAC′＝45°，求∠ADC′的度数；（2）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，线段BD的垂直平分线交DE于点F，点G为线段CD的中点，连接AG，FG，AF，BF，求证：AG⊥FG；（3）如图3，∠A＝45°，AD＝4，过点D作DM⊥AB，交AC于点M，点N是直线AB上一动点，点H是平面内一动点，连接MN，MH，NH，DH，当MH⊥MN且S△MNH＝24时，请直接写出DH的最小值．

2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）在2，﹣1.7，0，这四个数中，最小的数是（）A．2 B． C．0 D．﹣1.7【解答】解：四个数中，2、是正数，大于0，﹣1.7是负数，小于0，∴﹣1.7是最小的数，故选：D．2．（4分）圆锥的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上边看是一个有圆心圆，故选：B．3．（4分）如图，学校志愿者中心绘制了2024年上半年每月拟征集志愿者人数的条形统计图，则下列说法错误的是（）A．2月份拟征集人数最少 B．4月份拟征集人数最多 C．1﹣4月份每月拟征集人数逐月增加 D．有3个月份拟征集人数相同【解答】解：A．2月份拟征集人数最少，此选项正确，不符合题意；B．4月份拟征集人数最多，此选项正确，不符合题意；C．1﹣4月份每月拟征集人数逐月增加，此选项错误，符合题意；D．有3个月份拟征集人数相同，分别为1、5、6月，此选项正确，不符合题意；故选：C．4．（4分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠DFG可以表示为（）A．180°﹣x B．90°+x C．90°﹣x D．180°﹣2x【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示：∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，∴∠EGF＝∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG，∵∠EGF＝90°，∠BEG＝x，∵90°＝x+∠DFG，∴∠DFG＝90°﹣x．故选：C．5．（4分）因式分解：mx2﹣4m＝（）A．m（x2﹣4） B．m（x+2）（x﹣2） C．mx（x﹣4） D．m（x+4）（x﹣4）【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2）；故选：B．6．（4分）若点M（m，3），点N（﹣1，n）均在反比例函数的图象上．则m+n＝（）A．8 B．4 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：∵点M（m，3），点N（﹣1，n）均在反比例函数的图象上，∴3＝，n＝，∴m＝2，n＝﹣6，∴m+n＝﹣4，故选：D．7．（4分）估计的值应在（）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间【解答】解：＝+2＝+2＝3，∵49＜54＜64，∴7＜＜8，∴7＜3＜8，∴估计的值应在7和8之间，故选：B．8．（4分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：∵好酒和薄酒一共饮了17升，∴x+y＝17；∵好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，且共醉了19位客人，∴3x+y＝19．∴根据题意可列方程组．故选：A．9．（4分）如图，已知OB是⊙O的半径，弦CD⊥OB，垂足为点E，且tan∠BDC＝，OE＝，过点C作⊙O的切线，交OB的延长线于点P，则CP的长为（）A．7 B． C． D．8【解答】解：连接OC，∵PC切圆于C，∴OC⊥PC，∵弦CD⊥OB，∴CE＝DE，∵tan∠BDC＝＝，∴令BE＝2x，DE＝3x，∴OC＝OB＝+2x，CE＝3x，∵OC2＝CE2+OE2，∴＝（（3x）2+，∴x＝1，∴BE＝2，CE＝3，∴OC＝，∵∠OCE+∠PCE＝∠P+∠PCE，∴∠P＝∠OCE，∴sinP＝sin∠OCE，∴＝，∴＝，∴PC＝．故选：C．10．（4分）已知两个实数a、b，可按如下规则进行运算：若a+b为奇数，则计算（a+1）（b+1）﹣1的结果：若a+b为偶数，则计算（a﹣1）（b﹣1）﹣1的结果．根据上述规则，每得到一个数叫做一次操作．对于给定的两个实数a、b，操作一次后得到的数记为c1；再从a、b、c1中任选两个数，操作一次得到的数记为c2；再从a、b、c1、c2中任选两个数，操作一次得到的数记为c3，依次进行下去…以下结论正确的个数为（）①若a＝3，b＝2，则c1＝11；②若a、b为方程x2﹣4x+1＝0的两根，则c1＝5；③若a、b均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的cn均不可能为偶数；④若a＝﹣2，b＝4，要使得|cn|＞343成立，则n至少为4．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若a＝3，b＝2，则c1＝（3+1）×（2+1）﹣1＝11，故①正确；②若a、b为方程x2﹣4x+1＝0的两根，则a+b＝4，ab＝1，则c1＝（a﹣1）（b﹣1）﹣1＝ab﹣a﹣b+1﹣1＝1﹣4+1﹣1＝﹣3，故②错误；③若a、b均为奇数，则a+b为偶数，则无论进行多少次操作，得到的cn均不可能为偶数，故③正确；④若a＝﹣2，b＝4，则c1＝（﹣2﹣1）×（4﹣1）﹣1＝﹣10，再从a、b、c1中任选两个数，选两个绝对值较大的b、c1，操作一次得到的数记为c2，则c2＝（4﹣1）×（﹣10﹣1）﹣1＝﹣34，同理c3＝（﹣34﹣1）×（﹣10﹣1）﹣1＝384，|c3|＞343，故④错误；∴结论正确的个数为2个．故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：（﹣2）0+|1﹣π|＝π．【解答】解：原式＝1+π﹣1＝π，故答案为：π．12．（4分）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错．（填序号）解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…①2x＝﹣1…②x＝﹣…③【解答】解：如上图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0，故答案为：②．13．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，AH⊥CD于点H，则∠EAH的度数为54°．【解答】解：四边形AHDE的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠D＝∠E＝540°÷5＝108°，∵AH⊥CD，∴∠AHD＝90°，∴∠EAH＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°，故答案为：54°．14．（4分）如图，A、B、C是某景区的三个门，小南可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离开，则他选择不同的门进出的概率为．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中他选择不同的门进出的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，∴他选择不同的门进出的概率为＝．故答案为：．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝AB＝6，以B为圆心，先以AB为半径画弧，交BC于点E，再以BC为半径画弧，交AD于点F，则图中阴影部分的面积为π+3.（结果保留π）【解答】解：连接BF，作FG⊥BC于点G，作BH⊥DA，交DA的延长线于点H，如图所示，∵∠B＝60°，BC＝AB＝6，∴AB＝2，BF＝6，∠ABH＝30°，∴BH＝3，AH＝，∴FG＝BH＝3，∴＝，∴∠FBG＝30°，∵BH＝3，∠BHF＝90°，BH＝6，∴FH＝＝3，∴AF＝FH﹣AH＝3﹣＝2，∴S阴影＝（S扇形BFC﹣S扇形BEM）+（S△BAF﹣S扇形BAM）＝[]+[]＝3π﹣π+3﹣π＝π+3，故答案为：π+3．16．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为﹣19．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣1，解不等式②得，x≥a﹣3，∵关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，∴a﹣3≤﹣1，解得a≤2，，方程可化为，方程两边同乘3﹣y得，y+a﹣2＝﹣4（3﹣y），解得y＝，∵关于y的分式方程有非负整数解，∴且解得a≥﹣10且a≠﹣1，∴﹣10≤a≤2且a≠﹣1，又∵分式方程有非负整数解且a为整数，∴a＝﹣10，﹣7，﹣4，2，∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣10﹣7﹣4+2＝﹣19，故答案为：﹣19．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝2，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿直线CD折叠后，得到△B′CD，B′C交AB边于点E，若B′E＝ED，则ED的长为．【解答】解：取AB的中点F，连接CF，∵∠ACB＝90°，，BC＝2，∴AB＝＝＝3，∴CF＝AB＝，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠CFE＝180°﹣∠ABC﹣∠FCB＝180°﹣2∠ABC，由折叠的性质得∠DB′C＝∠ABC，B′C＝BC＝2，∵B′E＝ED，∴∠DB′C＝∠EDB′＝∠ABC，∴∠CEF＝∠B′ED＝180°﹣∠DB′C﹣∠EDB′＝180°﹣2∠ABC，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF＝，∴B′E＝B′C﹣CE＝2﹣＝，∴ED＝，故答案为：．18．（4分）各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，（s，t）是由两个好数组成的有序数对，将s的各位数字中最大的数作为千位数字，将t的各位数字中最小的数作为百位数字，将s的各位数字中最小的数作为十位数字，将t的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数M，称为（s，t）的衍生数，若此时M＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d为整数，1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，1≤d≤9），记F（M）＝2a+b+c﹣2d，则（47，50）的衍生数为7045；若（p，12）的衍生数为P，（98，q）的衍生数为Q，其中p＝10x+2，q＝30+y（1≤x≤9，4≤y≤8，x≠y），且F（P）﹣F（Q）＝2，则p+q＝129．【解答】解：根据好数、衍生数，得（47，50）的衍生数为7×1000+0×100+4×10+5＝7045．∵P＝10x+2，∴（p，12）为（10x+2，12）的衍生数为2000+100+10+2＝2112，当x＝1时，（10x+2，12）的衍生数为2000+100+10+2＝2112，∴F（P）＝2×2+1+1﹣2×2＝2．∵q＝30+y，∴（98，30+y）的衍生数为9000+300+80+y＝9380+y，∴F（Q）＝2×9+3+8﹣2y＝29﹣2y．∵F（P）﹣F（Q）＝2，∴2﹣（29﹣2y）＝2，∴y＝14.5，舍去．当2＜x≤9时，（10x+2，12）的衍生数为1000x+100+20+2＝1000x+112，∴F（P）＝2x+1+2﹣2×2＝2x﹣1．∴2x﹣1﹣（29﹣2y）＝2，∴x+y＝16．∴7≤y≤8，8≤x≤9，∵x≠y，∴x＝9，y＝8，∴p＝9×10+2＝92，q＝30+7＝37，∴p+q＝92+37＝129．故答案为：7045，129．三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分．共78分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2＝2x2+y2；（2）原式＝÷＝•＝．20．（10分）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，BF，∠ABD是△ABC的一个外角．（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG．（只保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，若BE＝FE，证明：四边形AGBF是矩形．（请完成下面的填空）∵BG平分∠ABD，∴∠ABG＝∠DBG．∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠DBG＝∠EGB，∴∠EGB＝∠ABG，∴EG＝EB．∵BE＝FE，∴EG＝EF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴四边形AGBF是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵AB＝AE+BE，GF＝GE+FE，∴AB＝GF，∴四边形AGBF是矩形．（对角线相等的平行四边形为矩形）【解答】（1）解：如图，BG、AG为所作；（2）证明：∵BG平分∠ABD，∴∠ABG＝∠DBG，∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠DBG＝∠EGB，∴∠EGB＝∠ABG，∴EG＝EB，∵BE＝FE，∴EG＝EF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴四边形AGBF是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵AB＝AE+BE，GF＝GE+FE，∴AB＝GF，∴四边形AGBF是矩形．（对角线相等的平行四边形为矩形）故答案为：∠ABG＝∠DBG，EF∥BC，EG＝EB，EG＝EF，对角线相等的平行四边形为矩形．21．（10分）某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都含10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10．A、B两款软件每段短文中识别正确的字数的统计表软件平均数众数中位数识别正确9字及以上的段数所占百分比A款7.7a850%B款7.78bc根据以上信息，解答下列问题：（1）上述表中的a＝6，b＝8，c＝30%；（2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了800段短文，每段短文有10个文字，请估计两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？【解答】解：（1）A款语音识别输入软件每次识别正确的字数出现最多的是6，有7次，故众数为6，即a＝6，由折线图可得，将B款语音识别输入软件每次识别正确的字数从小到大排列，第10，11个数都是8，故中位数为8，即b＝8，B款语音识别输入软件识别正确9字及以上的段数所占百分比为：×100%＝30%．故答案为：6，8，30%；（2）A两款语音识别输入软件中更准确，因为在9字及以上次数所占百分比中，A款是50%，大于B款30%，说明A款识别准确率更高，∴会向公司推荐A款软件；（3）A款语音识别完全正确的百分比是：×100%＝25%，B款语音识别完全正确的百分比是：×100%＝10%，估计这800段话中输入完全正确的有：800×25%+800×10%＝280（段），答：估计两款软件一字不差地识别正确的短文共有280段．22．（10分）博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；（2）该博物馆的参观路线全长3.6千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？【解答】解：（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学有x人，根据题意得：＝×，解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，答：该学习小组实际参观博物馆的同学有15人；（2）设“经典讲解”部分参观路线的长度为y千米，1米/秒＝36千米/小时，根据题意得：++＝，解得y＝3，答：“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米．23．（10分）如图1，在△ABC中，，BC＝4，AD为BC边上的中线，点P为AD的中点，PQ∥BC交AC于点Q，动点M以每秒1个单位长度的速度沿A→P→Q的路径运动（包含起点和终点），过点M作MN∥BC交AB于点N，设运动时间为t秒，记y＝MP+MN，请回答下列问题：（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的图象，并根据图象写出函数y的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当时t的取值范围．【解答】解：∵，BC＝4，AD为BC边上的中线，点P为AD的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝2，∴AD＝＝6，∵PQ∥BC，∴Q为AC的中点，∴PQ＝，当动点M在AP上时，0≤t≤3，AM＝t，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB，∴，∴，∴MN＝，∵MP＝3﹣t，∴y＝MN+MP＝＝3﹣；当动点M在PQ上时，3＜t≤4，MP＝t﹣3，MN＝t﹣3+1＝t﹣2，∴y＝MN+MP＝t﹣2+t﹣3＝2t﹣5，∴y关于t的函数关系式为y＝；（2）画出y的函数图象如下，函数y的最小值为1．（3）观察图象可得：当时，t的取值范围是．24．（10分）我市为满足广大市民的锻炼需求，拟将郊区的一座山打造为健身公园，山体的横截面示意图如图1，计划修建两段登山步道AB、CD和两段平台BC、DE．其中，平台BC．DE均与水平地面AF平行，平台BC长75米，在点B处观察点D的仰角为45°（即∠DBC＝45°），步道CD的坡角为53°，平台DE距离地面AF的竖直高度为900米，步道AB的坡度i＝1：．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）（1）求步道CD的长度；（2）为方便市民徒步登山，市规划局预备将步道AB全部修建成石梯，石梯的修建方式及尺寸（包括踏步高和踏步宽）均如图2所示，每一步石梯的安全标准是路步高不小于150mm，不大于175mm，且踏步宽不小于260mm，不大于300mm．若计划修建3600个相同尺寸的连续石梯，请你通过计算说明这样修建的石梯是否符合安全标准？【解答】解：（1）如图1，由题意得，DN＝900米，∠DBC＝45°，∠DCM＝53°，BC＝75米，步道AB的坡度为1：，在Rt△DBM中，∠DBM＝45°，∴BM＝DM，在Rt△DCM中，∠DCM＝53°，tan53°≈，∴＝，即CM＝DM，∵BC＝75＝BM﹣CM，∴DM﹣DM＝75，解得DM＝300（米），∴MN＝BP＝900﹣300＝600（米），sin53°≈＝＝，∴CD＝375（米），答：步道CD的长约为375米；（2）这样修建的石梯不符合安全标准，理由如下：如图2，BP＝600米＝600000mm，∵步道AB的坡度为1：，即＝，∴＝，即AP＝600≈846（米）＝846000mm，600000÷3600≈167（mm），846000÷3600≈235（mm），∵235＜260，∴这样修建的石梯不符合安全标准．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（8，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，直线CD交x轴于点D（2，0），点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线CD于点H，在直线CD上取点Q，连接PQ，使得HQ＝PQ，求的最大值及此时P点的坐标；（3）连接BC，把原抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M作MN垂直x轴于点N，连接AM，直接写出所有使得△AMN∽△ABC的点M的横坐标．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（8，0），B（﹣2，0），∴，解得，∴抛物线的表达式为；（2）作QE⊥PH于点E，∵HQ＝PQ，∴PH＝2PE，当x＝0时，，∴C（0，﹣4），∴