高考数学习题及含答案 (一)

普通高等学校招生全国统一考试

数学试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中任意抽取一张，则四人

所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是（）

A.-B、3C>—D>—

4824256

2、从100张卡片（1号到100号）中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率是（）

A>—B>—C.—D>—

5010048100

3、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形

的第三边的位置关系是（）

A.垂直B.平行C.相交不垂直D.不确定

4、右图是正方体平面展开图，在这个正方体中（）

A.BM与沏平行；B.CV与应'是异面直线；

C.CN与成45°角；D.DM与氏V垂直.

5、等比数列伍〃}中，S”为其前〃项和，5,:S2=3:2,公比q的值是（）

A1B--C1或D-1或工

222

6.已知F（x）=3i（2WxW4,6为常数）的图象经过点（2,1）,则己力=[尸Yx）]

2一r1（9）的值域为（）

A.[2,5]B.[1,+8）C.[2,10]D.[2,13]

7、已知集合A={x|a-14x4a+2},B={x|3<x<5},则能使A卫3成立的实数”的取值范

围是（）

A.13<«<4}B.{a\3<a<4]C.{a\3<a<4]D.0

8.设全集为R,集合A={x|0<xV2},B={x|x21},贝！JAG（CRB）=（）

A.{x|O<xWl}B.{x|O<x<l}C.{x|lWx<2}D.{x|0<x<2}

'x+yC5

9、设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）

.y》0

A.6B.19C.21D.45

10、阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则输出T的值

为（）

C^T）

C结束)

A.1B.2C.3D.4

11.在复平面中，已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),0(0,0).给

出下面的结论：

①直线0C与直线BA平行；^AB+BC=CA^

③8+走”宓.@AC=OB-2QA

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1：3,

则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）

A.1：8B.1：9C.1：D.1：◎1）

二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）

1.在等比数列6｝中9+。8=124,。必=-512,且公比4是整数，则%。等于.

x>2

<>22

2.若卜+><6,则目标函数z=»3y的取值范围是.

2+cot23_]

3,已知1+sin,—'那么（1+sin6）（2+cos。）=.

4.取棱长为。的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次

进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成

一个多面体.则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为

3a2；⑤体积为铲’.以上结论正确的是.（要求填上的有正确结论的序号）

三、大题：（满分70分）

1.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分别是BC,BB1,AID的中点.

（1）证明：MN〃平面C1DE；

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

2.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为5的直线1与C的交点为A,B,与x轴

的交点为P.

(1)若|AF|+|BF|=4,求1的方程;

(2)若AP=3P8,求|AB|.

3.已知函数"x)=sinx-ln(l+x),广⑴为了⑴的导数.证明:

(-1-)

(1)/'⑴在区间’2存在唯一极大值点；

(2)/⑶有且仅有2个零点.

4.设直线/、m,平面a、0,下列条件能得出口///的是().

A.Iua,mcia,且/〃6，mH/3B.Iua,mu0，且/〃加

C./_La,mX./3,且〃/机D.Illa>mH[3,且/〃加

5.设平面a_L平面y,平面，_L平面y,且a、夕分别与了相交于a、b,a//b.求

证：平面a〃平面£.

分析：要证明两平面平行，只要设法在平面a上找到两条相交直线，或作出

相交直线，它们分别与月平行(如图).

证明：在平面a内作直线PQ1直线a,在平面力内作直线MNJ.直线b.

6.如图所示，平面a〃平面/?,点A、Cwa,点B、DG/3,A8=a是a、夕的公垂

线，CD是斜线.若AC=8£>=。，CD=c,M、N分别是4?和的中点，

(1)求证：MN///3;

⑵求MN的长.

参考答案：

一、选择题：

1-5题答案:BAADC

6-10题答案:ACBCB

11-12题答案:CD

8.设全集为R,集合A={x|0VxV2},B={x|x21},则AG(CRB)=()

A.{x|0VxWl}B.{x|O<x<l}C.{x|lWxV2}D.{x|0<x<2}

【解答】解：♦.•A={X|0VXV2},B={X|X21},

CRB={X|X<1},

.,.An(CRB)={X|O<X<I}.

故选：B.

'x+y^5

9、设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为()

y)0

A.6B.19C.21D.45

x+y<5

【解答】解：由变量X,y满足约束条件

y》0

得如图所示的可行域，由付尸5解得人(2,3).

I-x+y=l

当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大,

z取得最大值.

将其代入得z的值为21,

10、阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则输出T的值

为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：若输入N=20,

则i=2,T=0,旦=&=10是整数，满足条件.T=O+1=1,i=2+1=3,i25不成立,

i2

循环，回=圆不是整数，不满足条件.，i=3+l=4,i25不成立，

i3

循环，旦=型=5是整数，满足条件，T=l+1=2,i=4+l=5,i25成立，

i4

输出T=2,

故选：B.

二、填空题：

1、-1或512

2、[8,14]

3、4

4、①②⑤

三、大题：

1.解：(1)连结BIC,ME.

因为M,E分别为BB1,BC的中点，

所以ME〃B1C,且ME=5B1C.

又因为N为AID的中点，所以ND=5A1D.

由题设知AlBl^DC,可得B1C/A1D,故ME&ND,

因此四边形MNDE为平行四边形，MN/7ED.

又MNU平面EDC1,所以MN〃平面C1DE.

(2)由已知可得DE_LDA.

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则

A(2,0,0),AI(2,0,4),Q(1，6,2),N(l,0,2),AA=(O,OT),4加=(-1,百2),AN=(—1,0,—2)

MN=g,-瓜。)

=0

Vm^M

设机=(x,y,z)为平面AIMA的法向量，则=0,

—x+y/3y-2z=0,

<"

所以[-4z=0.可取机=(6,1,0).

nMN=3

<

设〃=(pqr)为平面A1MN的法向量，则AN=0.

—y/3q=0,

<

所以l—P—2y0.可取"=(2,0,-1).

/、mn2>/3VT5

cos(/n,ti)=——-——=----==----

于是|加1〃|2x755,

回

所以二面角A-%-N的正弦值为亏.

3

2.解：设直线八亍+必(…)，叫M

,,F\AF\+\BF\=x+x+—x+=—

(1)由题设得14人故]2-2,由题设可得i-2.

3

y=—x+t

<2_12(1)

由1丁=3%,可得9/+12。-1)元+4产=0,则1+々_9一.

_12(£-1)_57

I---

从而—一厂=5,得8

37

y———x—

所以/的方程为.28

(2)由AP=3P3可得必=-3%.

3

y=­x+t

2

23x

由1y=,可得__2y+2f=0.

所以乂+必=2.从而-3%+%=2,故%=Ty=3.

x,=3,%)=—

代入C的方程得一3.

故

1，/、^1

3.解：（］）设g（x）=/'（x）,则g（x）=cosx_J77,g"rn"%+x）2.

当"小七）时，g'（x）单调递减，而，⑼＞°叫）＜。，可得g'3在卜'I有唯一零点，

设为a.

（兀］

XGa,一

则当％£（T,a）时，g'（x）＞0；当I2J时，g\x）＜0

（a—叫（—1［—叫

所以g（x）在（T，。）单调递增，在I'2）单调递减，故g（x）在I'2J存在唯一极大值点，

即广⑴在〔Til存在唯一极大值点.

（2）f（x）的定义域为（TK°）.

（i）当为e（-L0］时,由（1）知，尸⑴在（T，。）单调递增,而尸（0）=0,所以当xe（T，0）

时，尸3＜0,故「X）在（T，。）单调递减,又八。）=0,从而x=0是/（X）在（-L0］的唯一零

点.

XS0,-a,-\

（ii）当I2」时，由（1）知，/（x）在（0,a）单调递增，在I2J单调递减，而尸（0）=0,

⑵,所以存在〃I2人使得尸（尸）=0,且当XG（0,⑶时，尸⑸＞0；当I2

时，/（x）＜°.故/⑴在（°，0单调递增，在I2J单调递减.

/⑶=1一疝+工］＞0xefo,-lfo,-

又"0)=0,12j,所以当I2」时，/(x)＞0.从而，f(x)在I2」没

有零点.

71、

xeI—,7t/f-Ko

(iii)当(2」时,/(x)<0,所以/(x)在单调递减.而12),/5)<0,

所以/（X）在12」有唯一零点.

（iv）当xe（兀，+8）时-，ln（x+l）＞l,所以/（幻＜0,从而了⑴在（兀，+刃）没有零点.

综上，/⑴有且仅有2个零点.

4.设直线/、m,平面a、卜列条件能得出a///?的是（）.

A.Iua,mua，且/〃Q,mHpB./ua,mu/3,且/〃/n

C.I_La,，〃_!_/?,且/〃wD.Illamilp,且〃/加

分析：选项A是错误的，因为当///加时，a与£可能相交.选项B是错误的，

理由同A.选项C是正确的，因为/_Lc,mill＞所以〃?_La,又,：：.all0.选

项D也是错误的，满足条件的a可能与£相交.

答案：C

说明：此题极易选A,原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致.

本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定

理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况.

5.设平面e_L平面平面£_1_平面y,且a、夕分别与/相交于a、b,allb.求

证：平面c〃平面

分析：要证明两平面平行，只要设法在平面a上找到两条相交直线，或作出

相交直线，它们分别与月平行（如图）.

证明：在平面a内作直线PQL直线a,在平面△内作直线MN_L直线6.

1平面a_L平面7，

，PQJ_平面y,MN_L平面/，

/.PQ//MN.

XVallp,PQna=Q，MNCb=N,

，平面a〃平面p.

说明：如果在a、13内分别作PQ”,MN”,这样就走了弯路，还需证明P0、

MN在a、B内，如果直接在a、尸内作a、。的垂线，就可推出PQ//MN.

由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，

最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”.其核心是要形成应用性质定理

的意识，在立体几何证明中非常重要.

6.如图所示，平面a〃平面口，点A、Cwa,点B、DG/3,A8=a是a