2022年中考数学压轴题及答案

2022年中考数学压轴题

1.如图，抛物线L：(x-r)(x-/+4)(常数f>0)与x轴从左到右的交点为8,A,

过线段04的中点M作MPLx轴，交双曲线)=《(*>0,%>0)于点P.

(1)当，=1时，求AB长，并求直线与L对称轴之间的距离；

(2)当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求Z的值.

(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线”尸的交点)记为G,用f表示图象G

最高点的坐标；

(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为xo,且满足4WxoW6,通过L位置随f变化的过

程，直谈写出f的取值范围.

解：(1)当f=1时，令y=0,得：一*(x-1)(%-1+4)—0,解得：xi=1,X2—-3,

AA(1,0),B(-3,0),

."8=4；

为。4中点，

1

：.M(-,0)

2

•抛物线L：y=(x-1)(x+3)=—$(x+1)2+2,

.。.抛物线工的对称轴为直线》=-1,

3

二直线MP与L对称轴之间的距离为亍

(2),抛物线L：y=—/(x-f)(x-f+4)的对称轴为：直线x—t-2,抛物线L与x

轴交点为ACt,0),B(r-4,0)

二线段。4的中点M(1,0)

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由题意得：|1=1,解得：1=2或6,

.\t=2或6；

(3)Vy=(x-f)(x-f+4)=—^[x-(/-2)]2+2

...当「2，，即W4时，图象G最高点的坐标为顶点(L2,2)

当「2>今即f>4时，图象G最高点的坐标为直线与

抛物线L的交点(%-|t2+/)；

(4)如图，•.,4WxoW6,xo=—,

y。

•,-4<---<6,

y。

o3

.♦.iWyoW4即抛物线L与双曲线在C(4,-),。(6,1)之间的一段有一个交点

z2

31

①由y=--(4-力(4-7+4),解得：f=5或7,

②由1=一寺(6-力(67+4),解得：f=8-短或8+夜，

随着r的逐渐增加，抛物线L的位置随着A(60)向右平移，

当f=5时，L右侧过点C；

当r=8—VIV7时，乙右侧过点。，即5WW8—企；

当8-&Vf<7时，L右侧离开了点O,而左侧未到达点C,即乙与该段无交点，舍去;

当，=7时，L左侧过点C,

当f=8+&时，乙左侧过点。，即7WW8+a.

综上所述，f的取值范围为：5W/W8-e或7<忘8+夜.

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2.如图，抛物线y=a/+fov+4交y轴于点A,并经过8(4,4)和C(6,0)两点，点。

的坐标为(4,0),连接A。，BC,点F从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段

OC方向运动，到达点C后停止运动：点M同时从点。出发以每秒1个单位长度的速度

沿x轴正方向运动，当点尸停止时点M也停止运动.设点厂的运动时间为f秒，过点尸

作A8的垂线EF交直线AB于点E,交AQ于点从

(2)以线段EH为斜边向右作等腰直角aEHG,当点G落在第一象限内的抛物线上时,

求出，的值；

(3)设与四边形AOC8重合时的面积为5,请直接写出S与，的函数关系式与相

应的自变量/的取值范围.

解：(1)由题意得：函数的对称轴为：x=2,则函数与x轴的另外一个交点坐标为(-2,

0),

则函数的表达式为:y=a(x+2)(x-6)=a(x2-4x-12),

1

则-12a=4,解得：a=—右

故抛物线的表达式为：y=-#+#+4；

(2)将点A、。的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AD的表达式为：y=-x+4,

则点E、尸的坐标分别为："4)、C,0),

则点，(f,4-t),则点G(B，4—3),

113tr43t

将点G的坐标代入表达式得：4-1/=(―)2+~(―)+4,

23232

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解得：仁学；

(3)点M(z+4,0),点E(t,4)、点F(f,0),

S—S^EFM-S^FND—S—^X(4-t)2=-1+4f,

②2<W4时，

设直线EM交8c于点R,EF交4。于点KG,4-r),

同理可得：直线ME的表达式为：y=-x+t+4,

直线8c的表达式为：y=-2x+12,

联立上述两式并解得：x=8-t,

故点R(8-r,2r-4),

1II、、3、

S=S&EFM-SARCM-SAKFD=2x4X4-2(r+4-6)(2f-4)—々x(4-r)~=-^广+8-4；

③4VK6时，

同理可得：S=|(6-r)(6-r)X2=P-12什36；

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1

-2+4£

2(0<t<2)

3

故-2+8t

24,(2<t<4)

t2-12t+36,(4<t<6)

3.如图1,已知直线y=2x+2与)，轴，x轴分别交于A,B两点，以B为直角顶点在第二象

限作等腰RlAABC

(1)求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；

(2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点。，连接AD,若AO=4C,求

证：BE=DE.

(3)如图3,在(1)的条件下，直线AC交x轴于点M,P(-1,k)是线段8c上一

点，在x轴上是否存在一点N,使△8PN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出

点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=-2,则点A、8的坐标分别为：(0,2)、(-

1,0),

•：NHCB+NCBH=9G°,NCBH+NABO=90°,；.NABO=NBCH,

NCHB=NBOA=90°,BC=BA,：.ACHB^ABOA(AAS),

：.BH=OA=2,CH=OB,则点C(-3,1),

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]

m=3,

(b=2

故直线AC的表达式为：)=1A+2：

(2)同理可得直线CD的表达式为：尸一94…①，则点E(0,-1),

直线A。的表达式为：y=-3x+2…②，

联立①②并解得：x=l,即点。(1,-1),

点8、E、。的坐标分别为(-1,0)、(0,一分、(1,-1),

故点E是8。的中点，即8E=OE；

(3)将点8c的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y=-^A—p

将点P坐标代入直线BC的表达式得：k=l，

直线AC的表达式为：y=Jx+2,则点M(-6,0),

115

S^BMC=-x5X1=

15I3

S/\BPN=NBXk=dNB,

亍LS4ABC/M=7=亍o

解得：NB=¥，

故点N(一13芋0)或eg7,0).

3.如图，在中，NAC8=90°,。为AB边上的一点，以A。为直径的。0交8C

于点E,交AC于点凡过点C作CGLA8交A8于点G,交AE于点H,过点E的弦EP

交AB于点。(EP不是直径)，点。为弦EP的中点，连结BP,BP恰好为的切线.

(1)求证：BC是。。的切线.

(2)求证：EF=ED.

3

(3)若sin/ABC-g,AC=15,求四边形CHQE的面积.

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(1)证明：连接。£0P,

・・・AO为直径，点。为弦EP的中点，

・・・P£_LA8,点。为弦石尸的中点，

・・・A8垂直平分EP,

:・PB=BE,

•：OE=OP,OB=OB,

•••△BEOdBP。(SSS),

：・/BEO=/BPO,

〈BP为。。的切线，

：.ZBPO=90°,

：.ZBEO=90°,

：.OELBC,

・・・8C是OO的切线.

(2)证明：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZOEA,

•・・OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：YA。为的。。直径，点。为弦EP的中点,

J.EPLAB,

VCGLAB,

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.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEO9

•：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAOf

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：.AACE^AAQE(A4S),

：.CE=QEf

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：・NCEH=4AHG,

NAHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEHf

:・CH=CE,

:・CH=EQ,

・・・四边形CHQE是平行四边形，

•；CH=CE,

・•・四边形C"QE是菱形，

AG3

VsinZABC-sinZACG~—=一，

AC5

VAC=15,

・・・AG=9,

ACG=yjAC2-AG2=12,

VAACE^AA2E,

・・・AQ=4C=15,

JQG=6,

；HQ2=HG2+QG2,

.•.”Q2=(12-HQ)2+62,

解得：HQ=学,

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：.CH=HQ=寸，

1c

，四边形CHQE的面积=(7m6。=-yx6=45.

4.如图，ZvlBC中，AB=AC,O。是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D

(1)求证：NBAC=2NABD；

(2)当△8C£＞是等腰三角形时，求/BCQ的大小；

(3)当AO=2,CD=3时，求边BC的长.

(1)证明：连接0A.

图1

'：AB=AC,

：.AB=宿

J.OAVBC,

：.ZBAO^ZCAO,

•：OA=OB,

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ZABD=ZBAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如图2中，延长40交8C于〃.

•：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

:・/DBC=2/ABD,

VZDBC+ZC+ZBDC=180°,

・・・8NA5Q=180°,

・・・NC=3NABO=67.5°.

②若CD=CB,则NC8O=NCD8=3NABO,

：.ZC=4ZABD,

VZZ)BC+ZC+ZCDB=180°,

.'.10ZABD=180°,

:・/BCD=4/ABD=T2°.

③若O5=QC,则。与A重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°.

(3)如图3中，作AE〃8C交8。的延长线于E.

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A

图3

AEAD2

则—=—=

BCDC3

AOAE45

・•・一=—=设。8=04=4小OH=3a,

OHBH3

'：BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

，25-49。2=16/-9屋,

,225

"=防’

r万

：.BC=2BH=签.

6.已知，如图：/XABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,A8=10,。为AABC外一点,

连接A。、BD,过。作OHLAB,垂足为“，交AC于E.

(1)若△ABO是等边三角形，求OE的长;

(2)若且tan/4DB=I求。E的长.

BD=AB,4

【解答】解：(1)：△AB。是等边三角形，AB=10,

AZADB=60°,AD=AB^\Q,

"JDHYAB,

1

：.AH=^AB=5,

：.DH=>JAD2-AH2="02—52=5V3,

•••△ABC是等腰直角三角形,

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AZCAB=45°,即NAE4=45°,

/\AEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)'：DH±AB,且tan/H£>B=X，

可设引/=3鼠则QH=4吼

根据勾股定理得：DB=5k,

'：BD=AB=W,

.•.54=10解得：k=2,

：.DH=S,BH=6,A”=4,

又,：EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

7.如图，已知O。是△ABC的外接圆，AB是。。的直径，。是