第五章(第五节,第五章习题课)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页定理1设随机变量的二阶矩存在，则成立不等式。（此不等式称为Cauchy-Schwarz不等式.）证实对随意实数,恒有,当时，取，代入上式，则有；,即得；（或直接由判别式，得，即得,于是。）当时，因为对随意实数,恒有，从而必有，于是天然有，综上所述结论得证。由此结果，即得成立不等式。定理2设随机变量的二阶矩存在，则成立不等式；。证实因为，所以，成立。相关系数的性质:定理设随机变量的二阶矩存在，则有。证实对随意实数,恒有,当时，取，则有；,即得,；当时，对随意实数,恒有，必有，天然有，综上所述，结论得证。定理设随机变量的二阶矩存在，且对相关系数,则有（1）成立;（2）的充要条件是,其中是常数.证实对随意实数,恒有,因为，取，代入则有；,即得,；故;在中，令,则有,从而有,令，,其中是常数.若，则有，，，，此时与相关.所以有些书上把作为与不相关的定义是不妥的.例设为随意事件,则成立证实若或或或,则不等式显然成立;不妨设,,定义随机变量;,则有,,,,,,由,得成立.事件与互相自立充足须要条件是随机变量和不相关.矩、协方差矩阵矩的概念矩是一些数字特征的泛称或总称.在概率论和数理统计中,矩占有重要的地位.前面研究的数学期待、方差、协方差等数字特征都是某种矩.在理论和实际中,这些数字特征还不够用,还需要更多的其它矩.定义9设和是随机变量,对正整数，若存在,称它为的阶原点矩;若存在,称它为的阶中央矩.显然,的数学期待就是一阶原点矩,方差就是二阶中央矩.此外,还可以定义阶原点混合矩,阶中央混合矩,阶原点绝对矩,阶中央绝对矩,等等.我们知道，物理学中有转动矩的概念和计算公式。在计算，中用多项式逼近，天然产生计算单项式，的情形；在随机变量的特征函数的泰勒展开式中，也将浮上需要计算，的情形。例设,求,为正整数。解由，知；的概率密度为,,，此积分对随意正整数收敛，当为奇数时，被积函数为奇函数，此时；当为偶数时，，于是，（为偶数）。异常地，，。定理设，则，，，，。例设互相自立，且都顺从，求随机变量的数学期待和方差。解由条件知，；故，。设随机变量,求。解的概率密度为,,。二.协方差矩阵定义对于维随机向量，若存在，矩阵称为维随机向量的协方差矩阵.显然,协方差矩阵是一个对称矩阵.利用协方差矩阵,我们可以把二维正态随机变量的概率密度改写成较容易的形式,从而很容易地把它推广到维正态随机向量的情形.二维正态随机变量的概率密度为,若令,,的协方差矩阵为,它的行列式,的逆矩阵为;则有;,于是的概率密度可写成由次推广得到维正态随机变量的定义。设是维随机变量,倘若其概率密度为其中,,是对称正定矩阵。则称是维正态随机变量，或称顺从维正态分布。可以证实是的协方差矩阵.维正态分布在多元统计分析和随机过程中要用到。第五章习题课例1设,则(1),;,;(2);(3)顺从正态分布,(为常数,且不全为0),;(4)与自立 与不相关.例2设随机变量与互相自立同顺从正态分布,求(1)的概率密度;(2)的概率密度;(3);(4),.解依题设条件,知, 与互相自立,从而有,;(1) 顺从正态分布,,,得, 的概率密度,;(2),当时,;当时,, 的概率密度 ;(3);或;或(作坐标变换,);(4)注重到,,,.例3某项实验,胜利的概率为,失败的概率为,自立重复该项实验直至第2次胜利为止.设为所举行的实验次数,试求:(1)随机变量的分布律;(2)计算取偶数的概率;(3)解(1)设“实验次数”,依题意 实验举行了次,第次实验胜利,在前次实验中恰好胜利一次, 随机变量的分布律为,;(2)设“恰举行了偶数次实验”,.这里用到了如下公式,.(3);这里用到了如下公式,例4、有5个自立的电子装置,它们的寿命顺从同一指数分布,其分布函数为:(1)将5个电子装置串联组成整机,求整机寿命的数学期待.将5个电子装置并联组成整机,求整机寿命的数学期待.解(1)按照题意,自立同分布，的分布函数为，的概率密度为，，（2）按照题意,自立同分布，的分布函数为，的概率密度为.例5将一颗匀称的骰子重复投掷次,记为浮上点数小于3的次数,为浮上点数大于2的次数,求与的相关系数.解按照题意知,从而,,,于是.例6.将4个有区别的球随机放入编号为的4个盒内,设为盒内球的最多个数,求随机变量的分布律,并求.解依题意恰好每盒中各有一个球,;恰有一盒中各有两个球,其它两盒中各有一球+恰有两盒中各有两个球,,(将4个球平均分成两组,考虑到对称性,不同的分组数是;而不是);恰有一盒中有3个球,其它一盒中有一个球,;,即随机