高中数学函数图像考点解析和例题梳理

函数的图像

高考要求：

1.掌握描绘函数图象的两种基本方法一描点法和图象变换法.

2.会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题.

3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.

4.掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力.

知识点归纳：

1.作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定

义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变

化趋势)；④描点连线，画出函数的图象。

2.三种图象变换：平移变换、对称变换和仰缩变换等等；

3.识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面.

4.平移变换：(1)水平平移：函数y=/(x+a)的图像可以把函数)，=/")的图像沿x轴

方向向左(a>0)或向右(。<0)平移IaI个单位即可得到；

(2)竖直平移：函数y=/(x)+a的图像可以把函数y=/(x)的图像沿x轴方向向上

(a>0)或向下(a<0)平移IaI个单位即可得到.

左移力右移八

①y=f(x)—>y=f(x+h);②y=f(x)Ty=f(x-h);

上移，，下移

③y=f(x)—>y=f(x)+h;④y=f(x)—>y=f(x)-h.

5.对称变换：(1)函数y=/(-x)的图像可以将函数y=/(x)的图像关于y轴对称即可得

到；

(2)函数y=-/(x)的图像可以将函数y=/(x)的图像关于x轴对称即可得到；

(3)函数y=—/(—*)的图像可以将函数y=/(x)的图像关于原点对称即可得到；

(4)函数y=f-\x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称得至九

珊y轴

①y=f(x)-y=-f(x);②y=f(x)->y=f(-x);

直线x=a直线y=X

③y=f(x)—>y=f(2a-x);④y=f(x)Ty=fi(x);

原点

⑤y=f(x)->y=-f(-x).

6.翻折变换：(1)函数y=l/(x)l的图像可以将函数y=/(x)的图像的x轴下方部分沿x

轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y=/(x)的x轴上方部分即可得到；

(2)函数y=/(Ixl)的图像可以将函数y=/(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代

原y轴左边部分并保留y=/(x)在y轴右边部分即可得到.

7.伸缩变换：(1)函数y=4(x)(a>0)的图像可以将函数y=/(x)的图像中的每一点横

坐标不变纵坐标伸长(a>1)或压缩(0<。<1)为原来的。倍得到；

(2)函数y=/(ax)(a>0)的图像可以将函数y=/(x)的图像中的每一点纵坐标不变横

坐标伸长(a>1)或压缩(0<。<1)为原来的,倍得到.

a

xxo)Yyx©

①y=f(x)fy=f(—丫②y=f(x)->y=wf(x).

co

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方

法是本节的重点.

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线.要把表列在关

键处，要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一

个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点.用

图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变

换.这也是个难点.

题型讲解：

1.作函数图象的一个基本方法

例1函数y=/(x)与y=g(x)的图像如下图：则函数y=/(x>g(x)的图像可能是

(4)

解：：函数y=/(x),g(x)的定义域是函数y=/(x)与y=g(x)的定义域的交集

(-8,0)U(0,+8)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。

由于当x为很小的正数时/(x)>0Kg(x)<0,故/(x>g(x)<0。

.•.选A.

例2说明由函数y=2'的图像经过怎样的图像变换得到函数y=Tx-3+1的图像.

解：方法一：

(1)将函数y=2、的图像向右平移3个单位，得到函数y=253的图像；

(2)作出函数y=2'-3的图像关于y轴对称的图像，得到函数y=2-7的图像；

3

(3)把函数y=2-'-的图像向上平移1个单位，得到函数y=L+1的图像.

方法二：

(1)作出函数y=2’的图像关于y轴的对称图像，得到丁=2一、的图像；

(2)把函数丁=2一，的图像向左平移3个单位，得到y=的图像;

(3)把函数y=2*3的图像向上平移i个单位，得到函数y=2*3+i的图像.

例3设曲线C的方程是y=》3—x,将。沿x轴、y轴正方向分别平移入sQwO)个

单位长度后得到曲线G,

(1)写出曲线G的方程；

(2)证明曲线C与G关于点A(H)对称；

产

(3)如果曲线C与G有且仅有一个公共点，证明：s=i-"

解：(1)曲线G的方程为y=(x—f)3-(x—f)+s；

(2)证明：在曲线。上任意取一点片区，％),设当(々,内)是用关于点A的对称点，则

有七迎=;，弓&=、，...%=f—々，M=s一当代入曲线。的方程，得的方程:

3

s-y2=(^-x2)-(t-x2)

即y2=(》2T)3-(々一f)+s可知点当⑷,当)在曲线G上.

反过来，同样证明，在曲线G上的点A的对称点在曲线C上.

因此，曲线。与G关于点A对称.

(3)证明：因为曲线C与G有且仅有一个公共点，

3_

.•.方程组4v=xx,有且仅有一组解，

、y=(xT)-(%—/)+5

消去y,整理得3f/一3/％+(-一f—s)=o,这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根,

A=9t4-12t(t3-t-s)=0,即得t(t3-4t-4s)=0,

因为，wO,所以s=---1.

4

例4(1)试作出函数y=x+，的图像；

X

(2)对每一个实数X,三个数中最大者记为y,试判断y是否是x的函

数？若是，作出其图像，讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最值)；若不是，说明

为什么？

解：(I)：/(x)=x+4，.../(x)为奇函数，从而可以作出x>0时/(x)的图像，又•••x〉0

X

时，/W>2,

，x=l时，/(x)的最小值为2,图像最低点为(1,2),

又•••/(X)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上是增函数,

同时/(x)=x+，>x(x>0)即以y=x为渐近线，

x

于是x>0时;函数的图像应为下图①，/(x)图象为图②:

一》&。)=17

的图像可知，/(x)的图像是图③中实线部分.定义域为R；值域为[1,+8)；单调增区间为

[-l,0),[l,+oo)；单调减区间为(-00,-1),[0,1)；当了=±1时，函数有最小值1；函数无最大

值.

练习:

1.下列每组两个函数的图象中，正确的是()

2.已知函数f(x)=(x-l)/a(a>O,awl),在同一坐标系中,y=「i(x)与y=a*】i的图象只可能是()

3.在下列图象中，二次函数丫=2*2+6*与指数函数y=(2)*的图象只可能是

a

4.已知函数丫=2及与y=ax2+bx,则下列图象正确的是()

5.函数y=Jll—，I的图象是()

6.函数y=(3x-l)/(x+2)的图象()

A.关于点(-2,3)对称B.关于点(2,-3)对称

C.关于直线x=-2对称D.关于直线y=-3对称

7.若第一个函数y=f(x),它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象

关于直线x+y=O对称，那么第三个函数的图象是()

A.y=-rx(x)B.y=-r2(-x)C.y=-f(x)D.y=-f(-x)

8.设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数丫=«-1)与丫=-出1-刈的图象关于()对称

A.直线x=0B.直线x=lC.点(0,0)D.点(1,0)

9.在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不本砸的是()

B.y=2|x|D.y=|x-W

A.y=|log2x|C.y=log0.5x

10.已知函数月(x)的图象如图，则y=f(l-x)的图象是()

11.下列命题中：①函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线y=x对称；②若f(x)=-f(-x),

则f(x)的图象关于原点对称；③若f(x)=f(-x)则f(x)的图象关于y轴对称；④y=f(x)的图象与y=

-f(x)的图象关于y轴对称，其中真命题是()

(A)②③(B)②③④(C)①②③(D)全都是

12.把函数y=cosx的图象向右平移1/2个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的比，

所得图象的解析式为;

13.画出下列函数的图象：⑴y=lg|x+l|;(2)y=(x+2)/(x+3).

14.若函数y=log2|ax-l|图象的对称轴是x=2,则非零实数a的值为

15.函数y=f(|x-m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线对称.

16.将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位，再把图象上点的横坐标变为原来的必，所得图

象的解析式为.

17.如下图所示，向高为〃的水瓶

(A)

(5)(C)(0

A,B,C,O同时以等速注水，注满为止;

(1)若水深〃与注水时间/的函数图象是下图中的。，则水瓶的形状是一

(2)若水量v与水深力的函数图像是下图中的匕，则水瓶的形状是

(3)若水深〃与注水时间f的函数图象是下图中的c,则水瓶的形状是_；

(4)若注水时间f与水深〃的函数图象是下图中的d,则水瓶的形状是:

18.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则b