空间点线面位置关系

§8.2空间点、线、面的位置关系高考文数

(课标Ⅱ专用)考点空间点、线、面的位置关系五年高考A组

统一命题·课标卷题组1.(2019课标全国Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平

面ABCD,M是线段ED的中点,则

()

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案

B本题考查了两直线的位置关系,通过面面垂直考查了空间想象能力和数学运算能

力,体现的核心素养为直观想象.过E作EQ⊥CD于Q,连接BD,QN,BE,易知点N在BD上,∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,∴EQ⊥平面ABCD,∴EQ⊥QN,同理可知BC⊥CE,设CD=2,则EN=

=

=2,BE=

=

=2

,又在正方形ABCD中,BD=

=2

=BE,∴△EBD是等腰三角形,故在等腰△EBD中,M为DE的中点,∴BM=

=

=

,∴BM=

>2=EN,即BM≠EN.又∵点M、N、B、E均在平面BED内,∴BM,EN在平面BED内,又BM与EN不平行,∴BM,EN是相交直线,故选B.疑难突破过点E作CD的垂线,构造直角三角形是求BM的关键,也是解本题的突破口.2.(2018课标全国Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD

所成角的正切值为

()A.

B.

C.

D.

答案

C本题主要考查异面直线所成的角.因为CD∥AB,所以∠BAE(或其补角)即为异面直线AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2,则BE=

.因为AB⊥平面BB1C1C,所以AB⊥BE.在Rt△ABE中,tan∠BAE=

=

.故选C.

解题关键找到异面直线所成的角是求解关键.3.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面

ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为

()A.

B.

C.

D.

答案

A设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将正方体ABCD-A1B1C1D1补成棱长为2a的正方

体,如图所示.正六边形EFGPQR所在的平面即为平面α.点A为这个大正方体的中心,直线GR为

m,直线EP为n.显然m与n所成的角为60°.所以m,n所成角的正弦值为

.故选A.

思路分析将原正方体向前、向左、向上拓展为一个棱长为2a的大正方体,则直线m,n均可以

在新正方体中找到,所成角也就找出来了.评析本题考查了直线与平面的平行和平面与平面的平行的判定和性质,考查了空间想象能力.4.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,

D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:

(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=

=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为

.思路分析(1)由于AE=

=

<10,EB>10,知H不在AA1或BB1上,分别在AB,CD上取点H,G,使AH=DG=10,连接EH、FG,则四边形EFGH即为所求.(2)作EM⊥AB于M点,易得MH=

=6,则AH=10.所求两个几何体的体积之比即为两等高梯形的面积之比.考点空间点、线、面的位置关系B组

自主命题·省(区、市)卷题组1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则

()A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n答案

C∵α∩β=l,∴l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.思路分析利用直线与平面垂直的性质及平面交线的性质,判断C正确.2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平

面α和平面β相交”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β

内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能

相交、平行、异面.故选A.解题思路根据两平面相交的定义证明充分性.评析本题考查了线面的位置关系和充要条件的判断.3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,

则下列命题正确的是

()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案

D解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异

面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.

解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2都

不相交,则l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.4.(2015浙江,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β

()A.若l⊥β,则α⊥β

B.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥β

D.若α∥β,则l∥m答案

A对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,

则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l

∥β,但此时α与β相交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选

项D错误.故选A.考点空间点、线、面的位置关系C组

教师专用题组1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是

()A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥α

D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案

B若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α

或n⊂α,故C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.2.(2014广东,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一

定正确的是

()A.l1⊥l4

B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定答案

D

⇒

⇒l1∥l4或l1与l4相交或l1与l4异面.故l1与l4的位置关系不确定.故答案为D.评析本题考查空间两条直线的位置关系,考查空间想象能力及推理能力.3.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体

的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.

解析(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V=

×

×2×2×1=

.(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,BC⊂平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.考点空间点、线、面的位置关系三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2018宁夏银川一中二模)已知P是△ABC所在平面外的一点,M、N分别是AB、PC的中点,若

MN=BC=4,PA=4

,则异面直线PA与MN所成角的大小是

()A.30°

B.45°

C.60°

D.90°答案

A如图,取AC中点D,连接DN,DM,

由已知条件可得DN=2

,DM=2,在△MND中,∠DNM(或其补角)为异面直线PA与MN所成的角,则cos∠DNM=

=

,∴∠DNM=30°,故选A.2.(2019内蒙古集宁一中四模,7)如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若CD=2AB=

4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为

()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°答案

A取CB的中点G,连接EG,FG.则EG∥AB,FG∥CD,∴EF与CD所成的角为∠EFG(或其

补角),∵EF⊥AB,∴EF⊥EG.

EG=

AB=1,FG=

CD=2,∴在Rt△EFG中,sin∠EFG=

,∴EF与CD所成的角为30°.故选A.3.(2019辽宁辽南协作体一模,5)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则异面直线A1D与B1D1所成的角为

()

A.

B.

C.

D.

答案

C不妨设正方体的棱长为1.连接BD,BA1,

因为B1D1∥DB,所以∠A1DB(或其补角)为异面直线A1D与B1D1所成的角,在△A1DB中,A1D=

,DB=

,A1B=

,所以∠A1DB=

,即异面直线A1D与B1D1所成的角为

.故选C.方法总结求异面直线所成的角,常用平移法将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角.

作平行线时,一般是过两条异面直线中一条上的某点作另一条直线的平行线.在有中点时,要注

意中位线的应用.4.(2017内蒙古包头十校联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线

CP与BA1所成角θ的取值范围是

()A.0<θ<

B.0<θ≤

C.0≤θ≤

D.0<θ≤

答案

D如图,因为A1B∥CD1,所以∠D1CP(或其补角)即为异面直线CP与BA1所成的角,由题

意知点P不能与D1重合,当点P无限与D1靠近时,∠D1CP无限接近于0,当点P由点D1向点A移动

时,∠D1CP变大,当点P与点A重合时,∠D1CP最大,为

,故∠D1CP的取值范围是

,所以异面直线CP与BA1所成角θ的取值范围是

,选D.

5.(2019陕西榆林一模,6)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为BC的中点,点F为B1C1的

中点,则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为

()

A.

B.

C.

D.

答案

B不妨设正方体的棱长为1.取A1D1的中点G,连接AG,易知GA∥C1E,则∠FAG(或其补

角)为异面直线AF与C1E所成的角.连接FG,在△AFG中,AG=

=

,AF=

=

,FG=1,于是cos∠FAG=

=

,故选B.6.(2019东北三省三校一模,4)已知α,β是不重合的平面,m,n是不重合的直线,则m⊥α的一个充分

条件是

()A.m⊥n,n⊂α

B.m∥β,α⊥βC.n⊥α,n⊥β,m⊥β

D.α∩β=n,α⊥β,m⊥n答案

C

m⊥n,n⊂α,得出m与α斜交或垂直,故A不符合题意;m∥β,α⊥β,得出m与α相交或平

行,故B不符合题意;n⊥α,n⊥β,得出α∥β,又m⊥β,所以m⊥α,故C符合题意;α∩β=n,α⊥β,m⊥n,

得出m与α相交或垂直,故D不符合题意.故选C.7.(2019陕西咸阳模拟检测(二),4)设a,b为两条不同直线,α,β为两个不同平面,则下列命题正确

的是

()A.若a∥α,b∥α,则a∥b

B.若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.若a∥α,a∥β,则α∥β

D.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β答案

D平行于同一平面的两条直线的位置关系可以是平行、相交或异面,所以A项不正

确;分别位于两个互相平行的平面内的两条直线可以是平行或异面,所以B项不正确;平行于同

一条直线的两个平面可以是相交的,也可以是平行的,所以C项不正确;根据两个平面的法向量

垂直时,两个平面是垂直的,可以得出若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β,所以D项是正确的.故选D.8.(2018吉林第三次调研)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若m⊂α,n⊄α,且m,n是异面直线,则n与α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.其中正确的命题是

(只填序号).答案①④解析对于①,由面面垂直的判定定理可得α⊥β,故①正确.对于②,由题意知,满足条件的平面

α,β的位置关系为α∥β或α,β相交,故②不正确.对于③,由题意知,当满足条件时有n与α相交或n

∥α,故③不正确.对于④,由线面平行的判定方法可得n∥α且n∥β,故④正确.综上可得①④正

确.9.(2017辽宁大连3月测试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过正方体ABCD-A1B1C1D1的

体对角线BD1的截面面积为S,则S的取值范围是

.答案

解析如图所示,易知当M、N分别为AA1、CC1的中点时,截面MBND1的面积最小,此时,截面

MBND1为菱形,所以最小面积为

×MN×BD1=

×

×

=

;当截面为ABC1D1时,截面面积最大,最大面积为1×

=

.∴S的取值范围是

.

B组

2017—2019年高考模拟·专题综合题组(时间:25分钟分值:40分）一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下

列命题中正确的是

()A.若α⊥β,m⊥β,则m∥αB.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥βC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥n,n⊥α,则m⊥α答案

D对于A,若α⊥β,m⊥β,则除了m∥α,还可以m⊂α,故错误;对于B,若三点不在平面β的同侧,则α与β相交,故错误;对于C,若m⊥α,m⊥n,则有可能n⊂α,故错误;对于D,两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于平面,故正确.故选D.2.(2019宁夏银川质量检测,4)已知平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,则a⊥l是a⊥b的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案

A平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,当a⊥l时,利用面面垂直的性质定理,可得a⊥b成立;当a⊥b时,a与l不一定是垂直的,所以a⊥l是a⊥b的充分不必要条件,故选A.3.(2019陕西榆林二模,6)已知正四面体A-BCD中,M为AB的中点,则CM与AD所成角的余弦值为

()A.

B.

C.

D.

答案

C如图,设正四面体A-BCD的棱长为2,取BD的中点N,连接MN,CN,∵M是AB的中点,∴MN∥AD,∴∠CMN(或其补角)是CM与AD所成的角,取MN的中点E,则CE⊥MN,在△CME中,ME=

,CM=

,∴直线CM与AD所成角的余弦值为cos∠CME=

=

=

.故选C.

方法总结求异面直线所成的角,要先利用三角形中位线定理或平行四边形的性质等找到异

面直线所成的角,然后利用直角三角形的性质或余弦定理求解,如果利用余弦定理求余弦,最后

结果一定要取绝对值,因为异面直线所成的角是直角或锐角.4.(2019甘肃、青海、宁夏3月联考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

=3

,则异面直线AC1与BE所成角的余弦值为

()A.

B.

C.

D.

答案

D取BB1上靠近B1的四等分点F,连接C1F,则C1F∥BE,连接AF,∴∠AC1F(或其补角)为

异面直线AC1与BE所成的角,设正方体的棱长为4,则AC1=4

,C1F=

,AF=5,∴cos∠AC1F=

=

.故选D.5.(2017辽宁五市八校第二次联考)设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的

点,若点P到平面ABC,平面ABA1,平面ADA1的距离相等,则符合条件的点P

()A.仅有一个

B.有有限多个C.有无限多个

D.不存在答案

A与平面ABC,平面ABA1距离相等的点位于平面ABC1D1上;与平面ABC,平面ADA1距离相等的点位于平面AB1C1D上;与平面ABA1,平面ADA1距离相等的点位于平面ACC1A1上.据此可知,满足题意的点位于平面ABC1D1,平面AB1C1D,平面ACC1A1的公共点处,满足题意的点

仅有一个,为正方体的中心.选A.6.(2018陕西榆林二模)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面

ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是

()

A.B,C,A1

B.B1,C1,AC.A1,B1,C

D.A1,B,C1

答案

D当α为平面A1BC1时,因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1BC1∩平面ABC=l,平面A1BC1

∩平面A1B1C1=A1C1,所以l∥A1C1,故选D.7.(2018内蒙古包头一模)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC