2019-2020年中考数学考点总动员系列33图形的相似含解析

2019-2020年中考数学考点总动员系列专题33图形的相似含解析

聚焦考点☆温习理解

1、比和比例的有关概念：

(1)表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.

(2)第四比例项：若@=£或a:b=c:d,那么d叫作a、b、c的第四比例项.

bd

ah

(3)比例中项：若一=—或a:b=b:c,b叫作a,c的比例中项.

bc

(4)黄金分割：把一条线段(AB)分割成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段AB

与较短线段(BC)的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB-BC,

AC=@^A3a0.618A8；一条线段的黄金分割点有两个.

2

2.比例的基本性质及定理

(1)—=—ad=be

bd

，八aca±bc±d

(2)-=——>----=-----

bdbd

，八acm,,八、a+c++ma

(3)---=—(b+d++nwO)f----------------=-

bdnb+d++nh

3.平行线分线段成比例定理

(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；

(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直

线平行于三角形的第三边；

(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形

的三边与原三角形三边对应成比例.

4.相似三角形.

相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形

相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比.

5.相似三角形的判定

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角

形相似；

(2)两角对应相等，两三角形相似；

(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

(4)三边对应成比.例，两三角形相似；

(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；

(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似.

6.相似三角形性质

相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相

似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

7.相似多边形的性质

(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例.

(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.

8.位似图形

(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位

似图形.这个点叫做位似中心.

(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、比例的基本性质、黄金分割

【例1】已知2则纥的值是()

a13a+b

“23八9c4

A.-nB.-C.一D.一

3249

【答案】D.

【解析】

试题分析：先设出b=5k,得出a=13k,再把a,b的值代入即可求出答案.

试题解析：令a,b分别等于13k和5k,

.a-b_13k-5k_4

a+b13左+5%9

故选D.

考点：比例的性质.

【点睛】此题考查了比例的性质.此题比较简单，解题的关键.是注意掌握比例的性质与比

例变形.

【举一反三】

V5-1

（安徽省宣城市第六中学等三校2017届九年级下学期第一次联考）宽与长的比是‘“（约

2

为0.618）的矩形叫做黄金矩形。我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,

分别取AD,BC的中点E,%连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线

与点G；作G”_LAD,交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形DCGHC.矩形EFGHD.矩形EFCD

【答案】B

［解析】设正方形的边长为2,则CD=2,CF=1,在RtACDF中，DF=y/l2+22=亚,：.FG=石，

.•.CG=A/5-1,=.•.矩形DCGH为黄金矩形，故选B.

CD2

考点典例二、三角形相似的性质及判定

【例2］（江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学2016届九年级下学期二模）如图,

在四边形46（/中，AD//BC,AA=ABDC.

（1）求证：XAB叼丛DCB；

（2）若49=12,4）=8,<2>15,求加的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）10.

【解析】试题分析：（1）由AD//BC可得/ADB=/DBC,又因为/片/助C,所以可以证明

4R4n

（2）由（1）得：=C上，将已知线段长度代入即可求出版

DCDB

试题解析:

解：（1）,：AD//BC,

:"ADB=/DBC,

XVNA=NBDC,

：.△%；

（2）由（1）得dABD^ADCB,

.ABAD

.•----,

DCDB

128

n即n一=——，

15DB

:.BgO.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算

的能力.

【举一反三】

（2017哈尔滨第9题）如图，在△ABC中，£>,E分别为A8,AC边上的点，DE〃BC,点、

F为BC边上一点，连接A尸交DE于点E,则下列结论中一定正确的是（）

上

ADB

ADAEACAEcBDCE

AnC.--------

ABECGFBDADAE

D生二生

AFEC

【答案】c

【解析】

.•.当=当，故A错误；

试题分析:Ax•/DE//BC,/.AADEC^AABC,

ABAC

4GJJ7

B.VDE//BC,故B错误；

GFEC

BDCE

C、*.DEIIBC,---=----，故C正确；

ADAE

4G当，故D错误；

D、\'DE//BC,.'.AAGEO>AAFC,--=-

AFJ4c

故选C

考点：相似三角形的判定与性质.

考点典例三、相似三角形综合问题

【例3】(2017辽宁大连第25题)如图1,四边形A8CD的对角线AC,8。相交于点。，

OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,ZABD+ZADB=ZACB.

(1)填空：/BAO与ZACB的数量关系为；

(2)求竺的值；

n

(3)将A4C。沿CO翻折，得到A4'CD(如图2),连接与CO相交于点尸.若

8=好±1,求PC的长.

2

【答案】(1)ZBAD+ZACB=180°；(2)以二；(3)1.

2

【解析】

试题分析：(1)在4ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：ZBAD+Z^ACB=180°；

(2)如图1中，作DE//AB交AC于E.由△OAB9/XOED,可得AB=DE,OA=OE,设AB=DE=CE=CE=x,

pnAPnAx2v

OA=OE=y,由△EADsaABC,推出二-=--=--=—m,可得一工1二二，可得4y，2xy-

ACABCBnx+2yx

x2=0,BP+至7=0,求出空的值即可解决问题；

Vxyxx

(3)如图2中，作DE/7AB交AC于E「.想办法证明APA'D^APBC,可得色=丝=好二1,

BCPC2

可得空空=垦1,即竺=垦1,由此即可解决问题；

PC2PC2

试题解析：(1)如图1中,

在AABD中，VZBAD+ZABD+ZADB=180°,ZABD+ZADB=ZACB,

AZBAD+ZACB=180"，故答案为NBAD+NACB=180°.

(2)如图1中，作DEnAB交AC于E.

/.ZDEA=ZBAE,ZOBA=ZODE,

"."OB=OD,/.AOAB^AOED,

.,.AB=DE,OA=OE,设AB=DE=CE=CE=x,OA=OE=y,

,.,ZEDA+ZDAB=180O,ZBAD+ZACB=180°,

.,.ZEDA=ZACB,,.-ZDEA=ZCAB,/.AEAD^AABC,

.ED_AE_DA_m,x_2y

"AC=AB=CB=~n,"X+2J=T,

.,.4y:+2xy-x:=O,।—J+——1=0,

，空=与色(负根已经舍弃)，.•.2=与1.

x2n2

(3)如图2中，作DE〃AB交AC于E.

由(1)可知，DE=CE,ZDCA=ZDCA/,AZEDC=ZECD=ZDCAz,

.•.I)E〃CA'〃AB,AZABC+ZA,CB=180°,

VAEAD^AACB,AZDAE=ZABC=ZDAZC,

.•./DA'C+NA'CB=180°,AA,D〃BC,

.♦.△PA'D^APBC,

.A'DPDyf5-l

••--------------,

BCPC2

.PD+PCV5+10nPDx/5-1

PC2PC2

.\PC=1.

考点：相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；三角形的内角和定理.

【点睛】本题考查了解一元二次方程；三角形的内角和定理以及三角形相似的判定与性质等

知识的综合运用.

【举一反三】

（2017湖南株洲第25题）如图示AB为00的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB

上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.

①求证：CE/7BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：G，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知0C_LAB）.

【答案】①证明见解析；②4BCD的面积为：2.

【解析】

试题分析：①连接AC,BE,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出NF=』/AEB,由

2

圆周角定理得出NAEC=/BEC,证出NAEC=/F,即可得出结论；

②证明△ADEsaCBE,得出---=—f=>证明△CBEs/\CDB,得出----=---->求出CB=2yf5,

CBV5CBCE

得出AD=6,AB=8,由垂径定理得出0C±AB,AG=BG=-AB=4,由勾股定理求出

2

CG=dCB?-Bd1=2,即可得出ABCD的面积.

试题解析：①证明：连接AC,BE,作直线0C,如图所示：

；BE=EF,

/.ZF=ZEBF；

VZAEB=ZEBF+ZF,

.\ZF=-ZAEB,

2

是A8的中点，AC=BC,

ZAEC=ZBEC,

,?ZAEB=ZAEC+ZBEC,

，ZAEC=-ZAEB,

2

ZAEC=ZF,

，CE〃BF；

②解：VZDAE=ZDCB,ZAED=ZCEB,

/.△ADE^ACBE,

.ADAERnAD3

CBCECBx/5

VZCBD=ZCEB,ZBCD=ZECB,

ACBE^ACDB,

.BDBE21

••--=，即Rn=-7=，

CBCECB石

/.CB=2x/5,

AD=6,

AAB=8,

•・•点C为劣弧AB的中点，

.\OC±AB,AG=BG=-AB=4,

2

：.CG=yjCB2-BG2=2,

ABCD的面积=^BD・CG=LX2X2=2.

22

考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的外角性质；勾股定理.

考点典例四、相似多边形与位似图形

【例4】（2017甘肃兰州第17题）如图,四边形ABCD与四边形及G”相似，位似中心点

7G°‘乐"’则正--

—17

C

3

【答案】-

5

【解析】

试题解析：如图所示:

,/四边形ABCD与四边形EFGII位似,

AAOEF^AOAB,AOFG^AOBC,

OEOF3

———

OAOB5

FG_OF__3

~BC一砺一5

考点：位似变换.

【点睛】本题考查了位似的作图，熟练掌握位似作图的性质是解题的关键.

【举一反三】

（2017黑龙江绥化第6题）如图，zVl'B'C是在点。为位似中心经过位似变换得

到的，若M'B'C的面积与AA6C的面积比是4:9,则。8':03为（）

A.2:3B.3:2C.4:5D.4:9

【答案】A

【解析】

试题分析：由位似变换的性质可知，A，"AB,A，1//AC,

/.△A7B，C，COAABC.

WyC'与△丽的面积的比4:9,

.,.△A，FC，与△ABC的相似比为2:3,

.OB'2

"~0B"3

故选A.

考点：位似变换.

课时作业☆能力提升

1.（2017重庆A卷第8题）若aABC〜Z\DEF,相似比为3：2,则对应高的比为（）

A.3：2B.3：5C.9：4D,4：9

【答案】A.

【解析】

试题解析：:△ABC〜Z\DEF,相似比为3：2,

.•.对应高的比为：3：2.

故选A.

考点：相似三角形的性质.

2.（2016山东东营第8题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（—3,6）、B（一9,

一3）,以原点0为位似中心，相似比为:，把AABO缩小，则点A的对应点A'的座标是（）

A.（-1,2）B.（-9,18）

C.（-9,18）或（9,-18）D.（一1,2）或（1,—2）

【答案】D.

【解析】

试题分析：方法一：•••△ABO和AA'B'0关于原点位似，；.△ABOs^A，B'0且

UAo

：.h'E=|AD=2,OE=1OD=1.AA,.同理可得A''(1,-2).

AUUDooo

方法二：：点A(-3,6)且相似比为J,.•.点A的对应点A'的坐标是(-3x1,6xJ),

OJJ

.♦.A'(-1,2).

:点M'和点A'(—1,2)关于原点0对称，...A''(1,-2).

故答案选D.

考点：位似变换.

3.(2017年海南省定安县中考数学仿真)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别

是B、D。、F,且AB=4,CD=12,那么EF的长是()

A.2B.2.5C.3D.2.8

【答案】C

【解析】VABxCDsEF都与BD垂直，

/.AB//EFIICD,

/.ADEF<OADAB,ABFE<OABDC,

.EF_DFEF_BF

"AB~1D'CD~JD'

.EFEF

•.==]，

ABCD

\'AB=4,CD=12,

/.EF=3,

故选C.

4.（湖南省邵阳县黄亭市镇中学2017“2018学年九年级数学（上）期末）如图，Z1=Z2=Z3,

则下列结论不正确的是（）

A.XDECsXABCB.XADEsXBEA

C.XACEs[\BEAD.XACEsWCA

【答案】C

t解析】试题解析：A..../2=/3,ZC=ZC,/.ADECCOAABC,故A正确；

B\'Z2=Z3,.,.DE//AB,.\ZDEA=ZEAB,.".AADE^ABEA;故B正确；

c.\^1=/2,NBEA力Nc,「.△ACE与ABEA不相似；故C错误；

D.ZC=ZC,.,.△ACEsABCA;故D正确.

故选C.

5.（2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模拟）如图，在4ABC中，NC=90°,

BC=3,D,E分别在AB、AC±,将AADE沿DE翻折后，点A落在点A'处，若A'为CE的中

A.-B.3C.2D.1

2

【答案】D

【解析】由题意得：DEVAC,

〃口=90°,

■:ZONDEA,

•/ZA=ZA,

：./\AED^f\ACB,

,DEAE

"BC-7C'

'.'A'为〃的中点，

：.CA'=EA',

：.CA'=EA'=AE,

.AEDEI

•・，

ACBC3

:.D序L

故选D.

6.（陕西省西安铁一中2017届九年级下学期模拟）如图所示，在平行四边形A8CO中，

AC与BD相交于点。，E为。。的中点，连接AE并延长交于点尸，则”的值

DC

为（）.

【答案】B

【解析】：E为。。的中点,

.,.DE=-OD,

2

•.•平行四边形ABCD,

.\OD=-BD,

2

.,.DE=-BD,即匹，

4BD4

.DE1

••=—.

BE3

：DF〃AB,

.DFDE\

,,茄一定-3'

AB^DC,

：.DF:DC=-.

3

故选B.

7.（2017甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度回（顶端A到水平地面BD

的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（£>E=3C=Q5米，A,B,C

三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后

退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得CG=3米，小明身高瓦'=1.6米,

则凉亭的高度回约为（）

,4

D

A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米

【答案】A.

【解析】

试题解析：由题意NAGC=/FGE,,ZACG=ZFEG=90°,

.,.△ACG^AFEG,

''~EF~~GD

.AC15

•・-----------

1.53

；.AC=8,

；.AB=AC+BC=8+0.5=8.5米.

故选A.

点：相似三角形的应用.

8.（2017山东东营）如图，在正方形ABCD中，ABPC是等边三角形，BP、CP的延长线分

别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①BE=2AE；②△DFPs^BPH；

③△PFDs/iPDB；④DP2=PH・PC

其中正确的是（）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】试题分析：•••△BPC是等边三角形，

；.BP=PC=BC,ZPBC=ZPCB=ZBPC=60°,

在正方形ABCD中，

VAB=BC=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90°

AZABE=ZDCF=30°,

；.BE=2AE；故①正确；

VPC<D,ZPCD=30°,

AZPDC=75",

.".ZFDP=15",

VZDBA=45°,

...NPBD=15°,

AZFDP=ZPBD,

・.・NDFP=4翼=60°，

.,.△DFP^ABPII；故②正确；

VZFDP=ZPBD=15°,NADB=45°,

AZPDB=30°,而NDFP=60°,

・・・NPFDKNPDB,

・・・APFD与4PDB不会相似；故③错误;

VZPDH=ZPCD=30°,ZI)PH=ZDPC,

AADPH^ACPD,

DP_PH

・••正一方,

...DPJPHPC,故④正确;

故选C.

考点：1、正方形的性质，2、等边三角形的性质，3、相似三角形的判定和性质

9.（2016辽宁沈阳第16题）如图，在RtZSABC中，ZA=90",AB=AC,BC=20,DE是AABC

的中位线，点M是边BC上一点，BM=3,点N是线段MC上的一个动点，连接DN,ME,DN与

ME相交于点0.若AOMN是直角三角形，则D0的长是.

613

【解析】

试题分析：如图作EF1BC于F,DN，1BC于V交EM于点1,此时/MN,0,=90°,

：DE是△ABC中位线，...DE“BC,DE=；BC=1OJ/DN，/EF,...四边形DEFN，是平行四边形=90°

.,•四边形DEFN'是矩形，「.EaDN',DE=FN'=10,：AB=AC,ZA=90°,/.ZB=ZC=45°,/.BN7=DN'

£DDO'joD(y乂

=EP=FC=5,.'--7^7=7777/即二一解得DO'=3.当/M0N=90°时，•.'△DOECOAEEM,/.

ON25-DO6

1

■^77==7,根据勾股定理可得EM=JEF+A/F2=139・,D。=77-

EFEM13

考点：三角形综合题.

10..（2017贵州六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,在

BA的延长线上取一点E,连接0E交AD于点F,若CD=5,BC=8,AE=2,则

AF=____________________.

【答案】—

9

【解析】如图，过点。作OG//AB,

•.•平行四边形ABCD中，

.,.AB=CD=5,BC=AD=8,B0=D0,

VOG//AB,

AAODG^ABDA且相似比为1:2,△OFGSAEFA,

0G=-AB=2.5,AG=-AD=4,

22

.\AF:FG=AE:0G=4：5,

•••AF亭喈,

故答案为：—.

9

八G

D

----------------

11.（2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角

形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么

把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段CO是AA8C的“和谐分割线”，

A4CD为等腰三角形，ACBO和AA8C相似，NA=46。，则乙包的度数为.

试题分析：VABCD^ABAC,；.NBCD=NA=46°,

「△ACD是等腰三角形，VZADOZBCD,AZADOZA,即ACWCD,

①当AC=AD时，ZACD=ZADC=-=67°，；./ACB=67°+46°=113°,

2

②当DA=DC时，ZACD=ZA=46°，：,ZACB=460+46°=92°,

考点：1.相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质.

12.（2017四川自贡第14题）在AABC中，MN〃BC分别交AB,AC于点M,N；若AM=1,MB=2,

BC=3,则MN的长为.

【解析】

试题解析：

.".△AMN^AABC,

AMMN1WN

，一=—,即an-----=—

ABBC1+23

；.MN=L

考点：相似三角形的判定与性质.

13.（2017山东烟台第16题）如图,在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.AAOB

与08是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为3:2,点A,3都在格点上，则

点B'的坐标是.

4

【答案】（-2,-）

3

【解析】

试题解析:由题意得：ANOB'与aAOB的相似比为2：3,

又.北（3,-2)

•••B'的坐标是［3X（—2）,-2X（—2）］,即二的坐标是（-2,

33

考点：位似变换；坐标与图形性质.

14.（2017年重庆市合川中学中考数学模拟）如图，oABCD中，M、N是BD的三等分点，连

接CM并延长交AB于点E,连接EN并延长交CD于点F,以下结论:

①E为AB的中点;

②FC=4DF；

9

③SAEC产5sEMN；

④当CELBD时，△DFN是等腰三角形.

其中一定正确的是

DtC

XL

【答案】①③④

【解析】欣N是血的三等分点,

由题意可得而勺恸引如，/\DFN^/\BEN,丛DMCs4BME,

:.DRB片DN：A®=1：2,BE：DOBM-.盼1：2,

又,：AB=DC,

可得〃凡4庐1：4.②错误.

DFDN1

---=----=—,少为力4的中点，①正确.

BENB2

=

SAB£»FSA.VEV—5BCF，SAF比：S△此W：2,

Sae|S,

EMN③正确.

垂直平分线性质有EB=EN,根据等腰直角三角形性质有NE愉

所以NCZ沪怵；△勿芥是等腰三角形.④正确.

15.（江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学2018届九年级上学期第二次月考）如图,

梯形ABCD中，AD〃BC,对角线AC、BD交于点0,BE〃CD交CA延长线于E求证:

(1)—=—■(2)OC2=OAOE

OCOB

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（D通过AD〃BC可得丝=”.

OCOB

（2）根据BE〃CD可得堡=型，从而可证得答案.

OEOB

试题解析：

(1)VBC/7AD

，AAOD^ACOB

.OAOD

"~OC~~OB

(2)VBE/7CD

.".△BOE^ADOC

.PCOP

"^E~7)B

.OA_OC

"^C~^E

：.OC2=OAOE

16.（2017湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜

边EF上，EF与BC相交于点G,连接CF.

①求证：ZXDAE丝Z\DCF；

②求证：Z\ABGsZ\CFG.

【答案】①.证明见解析；②证明见解析.

【解析】

试题分析：①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF,得到两对边相等，一对直角相等，利

用SAS即可得证；②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到/BAG=NBCF,

再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证.

试题解析：①；正方形ABCD,等腰直角三角形EDF,...NADC=NEDF9O°,AD=CD,DE=DF,

/.ZADE+ZADF=ZADF+ZCDF,/.ZADE=ZCDF,

DE=DF

在AADE和ACDF中，＜ZADE=ZCDF,

DA—DC

/.△ADE^ACDF；

②延长BA到M,交ED于点M,

VAADE^ACDF,AZEAD=ZFCD,即/EAM+/MAD=/BCD+/BCF,

VZMAD=ZBCD=90°,AZEAM=ZBCF,VZEAM=ZBAG,AZBAG=ZBCF,

VZAGB=ZCGF,AABG^ACFG.

考点：相似三角形的判定；.全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质.

17.（2017湖南常德第26题）如图，直角中，NBAO90：〃在比1上，连接4?,作

跖〃分别交/〃于反/C于£

（1）如图1,若BD=BA,求证：国△颂

（2）如图2若BD=4DC,取48的中点G,连接CG交4。于M,求证：①色加21心②］我仍必

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论;

<2）①过G作用IIAD交比于H,由妗咐得到B年西根据已知条件设况X,a4,得到游好2,根

据平行线分线段成比例定理得到黑Cr\f=能HD=：2,求得在2前；

MCDC1

4GG\f

②过c作愈交AD的延长线于N,则训AG,根据相似三角形的性质得到,由①知掰2版,

得到2岭川，根据相似三角形的性质得到其=兰，等量代换得到翌=丝，于是得到结论.

CNACCNAC

试题解析：（1）在RtZU断和Rt△。应'中，"：BA=BD,BE=BE,:.△ABE^XDBE：

(2)①过61作GH〃AD交BC于H,'：AG=BG,：.B4DH,'：BD=4DC,设屐1,劭=4,.•.娇娇2,

.GMHD_2

■：GH//AD,G忙2MG

'~MCDC-T

AQGM

②过C作0CL然交加的延长线于N,则CN//AG,:,△AGMXNCM,：.——,由①

NC~MC

知GM=2MC,：.2NOAG,,:NBAC=/AEB=90°,，跖=/。胪90°-ABAE,：.XACM/\

ApAgAp2AG

BAFy.**---=---->Af^AGt----=----->•*.2CN*A(^AF*AC)/.A(i—AF*AC.

CNACCNAC

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；和差倍分.

18.（2017青海西宁第26题）如图，在AA3C中，AB=AC,以A8为直径作O交BC

于点。，过点。作O的切线OE交AC于点E，交AB延长线于点F.

（1）求证：DE1AC；

(2)若AB=10,AE=8,求的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）BF=—.

3

【解析】

试题分析：（1）连接OD、AI）,由AB=AC且NADB=90°知D是BC的中点，由0是AB中点知

OD〃AC,根据OD_LDE可得;

（2）证△ODFSAAEF,根据相似的性质即可得答案.

试题解析：（1）连接OD、AD,

「DE切。0于点D,，OD_LDE,：AB是直径，.\ZADB=90o，VAB=AC,，D是BC的中点,

.\DE±AC；

ODOFBF+OB

(2)•「AB=10,.".0B=0D=5,由(1)得OD"AC,.".AODFCOAAEF,——=——=--------

AEAFBF+AB

5x+510,经检蛉x=g是原分式方程的根，且符合题意,

设BF=x,AE=8,,解彳寸：x=—

8x+103

10

3

考点：1.切线的性质；2.等腰三角形的性质；3.相似三角形的判定与性质.

2019-2020年中考数学考点总动员系列专题34四边形含解析

聚焦考点☆温习理解

一、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（〃-2）・180°.；

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°•

二、平行四边形

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线

的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

.（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

三、矩形

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等

（4）矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

四、菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质

(2)菱形的四条边相等

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

(4)菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形

(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S财产底边长义高=两条对角线乘积的一半

五、正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形

分成四个全等的小等腰直角三角形

(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

六、梯形

1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

4、梯形中位线定理

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、四边形的内角和及外角和

【例1】（2017新疆乌鲁木齐第5题）如果”边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则

n的值是（J

A.4B.5C.6D.7

【答案】C.

【解析】

试题解析：设外角为x,则相邻的内角为2x,

由题意得，2x+x=180°,

解得，x=60°,

3604-600=6,

故选C.

考点：多边形内角与外角.

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键.

【举一反三】

（2017广西百色第2题）多边形的外角和等于（）

A.180°B.360°C.720°D.（八一2）•180°

【答案】B

【解析】

试题分析：多边形的外角和是360。，故选B.

考点：多边形内角与外角.

考点典例二、平行四边形的性质与判定

【例2】（2017内蒙古通辽第15题）在平行四边形43C。中，AE平分N5A。交边3c于

E,。尸平分NAOC交边8C于尸.若AO=11,EF=5,则A3=.

【答案】8或3

【解析】

试题分析：

根据平行线的性质得到NAD『/DFC,由DF平分NADC,得到NADF/CDF,等量代换得到NDFC二NFPC,根

据等腰三角形的判定得到CF^CD,同理BE=AB,根据平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,得出AB=BE=CF^CD,

分两种情况：①如图1,在AuBCD中J・BC=AD=11>BC//AD,CD=AB,CD//AB,

.'.ZDAE=ZAEB,ZADP=ZDFC,

.「AE平分/BAD交BC于点E,DF平分/ADC交BC于点F,

.\ZBAE=ZDAE,ZADF=ZCDF,

AZBAE=ZAEB,NCFD=NCDF,

AAB=BE,CF=CD,

JAB二BE二CF二CD

VEF=5,

，BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,

・・・AB=8；

②在QABCD中,VBC=AD=11,BC/7AD,CD=AB,CD//AB,

...NDAE=NAEB,ZADF=ZDFC,

VAE平分/BAD交BC于点E,DF平分NADC交BC于点F,

.\ZBAE=ZDAE,ZADF=ZCDF,

AZBAE=ZAEB,ZCFD=ZCDF,

AAB=BE,CF=CD,

AAB=BE=CF=CD

YEF=5,

BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11,

.,.AB=3；

综上所述：AB的长为8或3.

考点：平行四边形的性质

【点睛】本题考查了"平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

【举一反三】

（2017黑龙江绥化第10题）如图，在YA3CD中，AC,8。相交于点。，点£是。4的

中点，连接3E并延长交A£）于点/，已知50房=4,则下列结论：

Ap1

①一=-,②％点=36,③%叱=12,④AAEESAACD,其中正确的是（）

FD2

A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③

【答案】D

1解析】

试题分析：,在=ABCD中，AO=；AC,

]4F4E1

...点E是OA的中点，...杷=；CE,VAD//BC,/.AAFE^ACBE,=^-=-,

3BCCE3

1AF1

VAD=BC,/.AF^-AD,.'.—=-5故①正确；

3FD2

S—HAF、1

二2“产明飞=—=(--)*=-,.*.SA-C:=36J故②正确；

BCEBC9

..EF_AE_1.S*F1

..1x1=12,故③正确;

,'BE~~CE一"•'％£一§

：BF不平行于CD,.•.△AEF与aADC只有一个角相等，.•.△AEF与△ACD不一定相似，故④

错误,

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质.

考点典例三、矩形的性质与判定

【例3】（2017上海第6题）已知平行四边形ABCD,AC、BD是它的两条对角线，那么下列

条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）

A.ZBAC=ZDCAB.ZBAC=ZDACC.ZBAC=ZABDD.ZBAC=ZADB

【答案】C

【解析】

试题分析：A、ZBAC=ZDCA,不能判断四边形ABCD是矩形；

B、ZBAC=ZDAC,能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；

C、ZBAC=ZABD,能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；

1）、ZBAC=ZADB,不能判断四边形ABCD是矩形：

故选C.

考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻

的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键.

【举一反三】

（2017青海西宁第7题）如图，点。是矩形ABCD的对角线4c的中点,//AB交4）

于点/，若OM=3,8C=10,则03的长为（）