高等数学6-定积分的应用

第六章定积分的应用

一、平面图形的面积(介绍元素法〕二、立体的体积三、定积分在经济中的简单应用1解两曲线的交点选为积分变量先求曲线交点2解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积3解两曲线的交点4由对称性知总面积等于4倍第一象限局部面积．所求面积为解求椭圆的面积.例4令x=asint,那么x=0时,t=0;x=a时t=л/2,因此5.得两切线的斜率为故两切线为其交点的横坐标为S=

xyo3l1l2–36例6假设曲线y=1-x2,x轴与y轴在第一象限所围成的图形被曲线y=ax2分为面积相等的两局部，其中a为大于零的常数，试确定常数a的值。解求二曲线的交点：由7例7计算由两条抛物线所围成的平面图形的面积。例8计算由平面图形的面积所围成的8元素法一、什么问题可以用定积分解决?(what?)二、如何应用定积分解决问题?(how?)9回忆曲边梯形求面积的问题abxyo一、什么问题可以用定积分解决?101化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整yxoy=f(x)ab..分法越细，越接近精确值

曲边梯形的面积f(

i).114取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整

曲边梯形的面积.f(

i)124取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整

曲边梯形的面积.f(

i)S

=.S.ab13若用表示任一小曲边梯形面积

用来表示任意小区间

则，

则上的小曲边梯形的面积：

用左端点x来代替如果表示面积函数则

或

14abxyo面积元素

15这种分析方法称为元素法(或微元分析法)16元素法的一般步骤：二、如何应用元素法解决问题?17这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；经济总量；生产者剩余；消费者剩余。18解两曲线的交点面积元素选为积分变量191、平行截面面积求立体的体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),

那么对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,二、立体的体积20xA(x)dV=A(x)dxx.aV以下是几个例子b21例9.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成

角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。R

oxy22oyRx–RR.例9.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成

角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。23oyRxxy–RR....ytan

问题：还有别的方法吗？(x,y),截面积A(x)..底圆方程为24oyRx–RR

方法2.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成

角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。25oyRx–RR

方法2ABCD

BCDC....截面积S(y)

(x,y)=2x=ytan

.S(y).半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成

角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。26

hRxoy–R例10求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。27hRxoxA(x)A(x)V=....–Ry.y底圆方程为28

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积29xyo旋转体的体积为30解直线方程为113132-3334x=g(y)yx0cd曲边梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴旋转体体积x=g(y)yx0cd.曲边梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴旋转体体积x=g(y)yx0cdy....曲边梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d

绕y轴旋转体体积38abf(x)yx0求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y

轴xdx39xabyx0内外表积.dx.dV=2

xf(x)dxf(x)求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y

轴40byx0a.f(x)求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y

轴dV=2

xf(x)dx41byx0a.dV=2

xf(x)dxf(x)求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y

轴420y0xbxadx.dV=2

xf(x)dxf(x)求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y

轴43f(x)Yx0bdx0yz.a.dV=2

xf(x)dx4445例13求由抛物线所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转一周而成的立体的体积。自己思考！46解体积元素为1447例1548解491650

极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间那么对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为51几个常见极坐曲线

a

52xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线(圆外旋轮线)53xyoa来看动点的慢动作.a一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线(圆外旋轮线)54xyoaa2a来看动点的慢动作.一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线(圆外旋轮线)55xyo2ar=a(1+cos

)0

20

r2aP

r.一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线(圆外旋轮线)56例.计算心形线所围图形的面积.

解:(利用对称性)57那么该产品的总产量函数为1.总产量变化率求总产量某产品的总产量Q的变化率是时间t的连续函数f(t),即这时Q〔0〕=0，即刚投产时产量为零。三、定积分在经济中的简单应用582.由边际函数求总函数总本钱函数C=C(Q),总收益函数R=R(Q),由微分学可得边际本钱函数MC=边际收益函数MR=因此，总本钱函数可以表示为

总收益函数总利润函数(其中C0为固定本钱)59〔1〕假设固定本钱C〔0〕=1，求总本钱函数，总收益函数，总利润函数；〔2〕当产量从100台增加到500台时，求总本钱与总收益；例1生产某产品x单位〔百台〕的边际本钱函数和边际收益分别为〔3〕产量为多少时，总利润最大，最大利润是多少？60解〔1〕总本钱为固定本钱与可变本钱之和，即总收益函数注：产量为零时，总收益为零总利润函数为61〔2〕当产量从100台增加到500台时，求总本钱与总收益分别为C〔5〕-C〔1〕=16R〔5〕-R〔1〕=16〔3〕因故x=3时，总利润取极大值，也是最大值，最大利润为L〔3〕=5。62例2生产某产品的固定本钱为50万元，边际本钱与边际收益分别为MC=Q2–14Q+111(万元/单位〕MR=100–2Q〔万元/单位〕试确定厂商的最大利润。解先确定获得最大利润的产出Q0.由极值存在的必要条件MC=MR,即Q2–14Q+111=100–2Q解方程可得Q1=1,Q2=