结构力学Ⅱ课件：结构动力学（一）

结构动力学研究对象求解杆系结构在动荷载作用下的变形和内力。本章重点单自由度体系的自振频率及在简谐荷载作用下的动力响应。2§10.1概述动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即研究结构的动力反应。动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构本身的动力特性直接相关。结构本身的动力特性是结构本身固有的，如自振频率及振型。动力计算的特点：动力计算不能忽略惯性力，这是动力计算与静力计算的本质区别。内力和变形都是时间的函数。

一、动力计算的特点返回输入input输出Output结构体系静力响应静荷载位移内力应力刚度、约束杆件尺寸截面特性大小方向作用点结构体系动力响应输入input输出Output动荷载动位移加速度速度动应力动力系数随时间变化质量、刚度阻尼、约束频率、振型大小方向作用点时间变化数值唯一时间函数

一、动力计算的特点与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：动荷载随时间而变化，结构在动力荷载作用下的响应，如任意截面的位移、变形、内力、速度、加速度等都是时间的函数，解不再是单一数值。结构的动力计算不但要考虑动力荷载的性质，还要考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响；

一、动力计算的特点（1）

计算中考虑惯性力（2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力5（3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。动力计算有时还要考虑阻尼的影响

一、动力计算的特点动荷载的定义荷载在大小、方向或作用点方面随时间变化，使得质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，则把这种荷载称为动荷载。问题：你知道有哪些动荷载？概念：动荷载是时间的函数！二、动力荷载的分类周期荷载7确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。非周期荷载冲击荷载突加荷载简谐荷载Ptp(t)tdtPp(t)td非确定性荷载：荷载随时间的变化是不确定的或具有偶然性，又称为随机荷载。例如：风荷载地震作用平均风脉动风动荷载分类动荷载确定荷载不确定荷载风荷载地震荷载其它无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其它确定规律的动荷载9二、动力荷载的分类10三、动力计算中体系的自由度质点（质量）的位移就是动力计算的基本未知数。确定运动过程中任一时刻所有质量的位置所需的独立几何参数的数目，称为该体系的自由度。基本假定：忽略梁式杆轴向变形，认为杆长不变。一、集中质量法。把连续分布的质量集中为几个质点，转化为有限自由度问题。二、广义坐标法。用有限个广义坐标参数及给定函数组合来描述无限自由度问题。结构动力计算模型的简化方法三、有限元法。把结构离散为若干单元和自由度计算。11三、动力计算中体系的自由度使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体系动力计算的自由度。质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法集中质量法——假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。平面内每个质点最多有两个线位移。三、动力计算中体系的自由度2个自由度1个自由度2个自由度4个自由度2个自由度结论：体系自由度数与集中质量数和超静定次数没有固定的关系。自由度数目与计算假定有关。单自由度13四、阻尼阻尼对结构的作用：一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼理论。即：R——阻尼力；方向与运动速度的方向相反。c——阻尼系数；v——质点运动的速度；返回五、动力方程的建立在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。动静法：将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡状态，按照静力学思路，直接写出运动方程。2.柔度法：以结构为分析对象，利用质点的变形协调条件1.刚度法：以质点为分析对象，利用质点的平衡条件单自由度体系计算模型：m动静法质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性自由度只有一个：水平位移y(t)无重弹簧，刚度为k，提供结构的约束力（恢复力）无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力随时间变化的动荷载F(t)或P(t)；16刚度法建立动力方程1）确定动力计算自由度；2）取质点为隔离体画平衡力系和加速度方向相反惯性力：结构约束作用，相当于弹簧，力与位移方向相反。约束力：阻尼力：动荷载：干扰力、受迫力、激励和速度方向相反17刚度法建立动力方程质点平衡方程：刚度法的运动方程：（2-1）惯性力：约束力（恢复力)：阻尼力：结论：结构的约束力、阻尼力、惯性力共同平衡外荷载的作用。为阻尼比系数

。动力方程标准型：其中：加速度的系数项为1，动位移的系数项：——无阻尼振动；动力方程:——自由振动；——无阻尼自由振动；速度的系数项：刚度法建立动力方程阻尼力：动荷载：阻尼力和动荷载：——受迫振动；刚度法的运动方程：（2-1）约束力（恢复力)：描述结构对质量的约束作用，相当于弹簧，弹簧的刚度系数K如何确定？这是刚度法的关键！刚度系数K：使质点发生单位位移需要施加的力，对应于基本结构中附加约束的反力。刚度法建立动力方程例1。用刚度法建立图示刚架的运动方程1）横梁刚性，柱子无轴向变形，体系只有一个水平位移2）求刚度系数k：3）列动平衡方程：21例2。刚度法列动力方程。忽略阻尼影响。梁的水平投影方程：自振圆频率：化为标准型：解：未知量是梁的水平位移，因而动力方程是梁的水平投影方程。荷载等效到两端结点上刚度系数：质点发生单位位移，基本结构附加约束的反力：22先设定所有矢量（位移、速度、加速度、力）的正方向。利用达朗伯原理，在质量上施加一个假想的惯性力，利用力的平衡条件（质点的投影方程或刚体的力矩方程），即在惯性力、结构约束力、阻尼力、动荷载共同作用下的平衡条件即动力方程。惯性力：阻尼力：约束力：强迫力：刚度法建立动力方程——投影方程——绕O点力矩方程23柔度法以结构整体为研究对象，根据变形（位移）协调条件，即利用叠加原理，质点的动位移等于惯性力FI、阻尼力FD、动荷载F(t)三类外力分别作用下产生的位移叠加。关键是计算柔度系数δ：单位力作用引起的质点位移。利用单位荷载法（或位移法）分别求出惯性力、阻尼力、荷载为1时（单位力作用），质点产生的位移，即柔度系数δ11、δ1D、δ1P。叠加原理：柔度法建立动力方程柔度法就更具有一般性。单自由度体系，刚度系数和柔度系数互为倒数。例3。柔度法列动力方程。各杆EI=常量。24解：先利用单位荷载法求柔度系数。动力方程：25§10.2无阻尼自由振动mmkyy质点m受力：约束力：-ky，与位移方向相反；惯性力：，与加速度方向相反；根据达朗伯原理：2.柔度法：根据体系变形协调条件体系受惯性力：m的位移：

其中：k—

刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力；

—

柔度系数；单位力作用下m产生的位移：

一、无阻尼自由振动微分方程的建立1.刚度法：根据质量（质点）平衡条件26§10.2无阻尼自由振动二、自由振动微分方程的解自由振动的组成：一部分由初始位移y0引起的；

另一部分由初始速度v0引起的。方程的解也可以写成：

微分方程：令：方程改为：

方程通解：根据初始条件：t=0时，y=y0,v=v0可确定方程的解：根据初始条件可解得：27§10.2无阻尼自由振动三、结构的自振周期圆频率或频率

：2

时间内的振动次数,单位:“弧度/s”

；

自振频率f：单位时间的振动次数；单位:“Hz（赫兹）”从微分方程的解：位移是周期函数；自振周期T：振动一周需要的时间；单位:“s（秒）”自振周期的性质：自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。质量越大，周期越大；刚度越大，周期越小。自振周期是结构动力性能的一个重要指标。返回例4：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，刚度EI，杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期。解：柔度法列动力方程：柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移,用单位荷载法计算。M图化为标准形：例5：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KN，试计算结构的自振周期。EI1=3.528

107Nm2.AB结构的自振圆频率：刚度系数K11即使柱顶发生单位位移时，附加约束上的反力解：刚度法列动力方程：化为标准形：结构的自振周期：30§10.3有阻尼自由振动mykyP(t)单自由度体系有阻尼振动的微分方程：有阻尼自由振动：小阻尼时微分方程的解为：由初始条件确定。其中：为阻尼比,是结构阻尼的重要参数

。化为标准型：其中：为无阻尼振动的圆频率。结果分析:①

低阻尼振动是一个衰减的简谐振动——振幅衰减函数；——周期函数动力方程的解：31②振幅按等比级数衰减相隔一个周期的振幅比值不变③建筑结构阻尼对自振频率的影响很小，可以忽略动力方程的解：32④测定阻尼比若两个振幅相隔n个周期，则动力方程的解：若两个振幅相隔一个周期，则33阻尼过大，由于外界干扰积累的能量都用来克服阻尼，没有多余的能量引起结构振动。对于临界阻尼和强阻尼，位移都不会发生周期性的振动。34实际工程都属于小阻尼问题。§10.3有阻尼自由振动例6：解：取整数n=5，经过5个周期（1.5s)以后，振幅可降到初始位移的5%以下35EI=∞m9.8kN解：==wxk2=wxmc2=wwxm22例7

：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。3637§10.4无阻尼强迫振动mykyP(t)P(t)单自由度体系无阻尼强迫振动的微分方程：化为标准型：微分方程的解为：m受力图自由振动的通解：按荷载频率振动的特解：即：自由振动的通解+按荷载频率振动的特解:由初始条件：，可以求得：按自振频率振动部分由于阻尼的作用很快消失，振动达到稳定状态，稳态振动的解：381.简谐荷载作用下结构无阻尼振动的解加载初期的瞬态振动，两种振动共存，受迫振动的解：需要计算的往往都是稳态振动的解，只需直接设定稳态的解，然后代入动力方程求解振幅A。10.4无阻尼强迫振动再求惯性力，然后把动荷载和惯性力作用下求动内力。考虑稳态振动的解：——位移的动力系数——最大动位移把荷载幅值F视为静荷载产生的位移。39动力系数讨论：①，接近于静力作用；②④③动力系数40减小振幅的方法：（刚性方案）（柔性方案）动力系数动力系数讨论：——共振现象，振幅会趋近于无穷大4142动力系数位移动力系数:

动力系数包括了惯性力的作用，可以将动荷载幅值当作静荷载按静力方法计算出相应的位移yst，再乘以动力系数

，就可以求出最大动位移。

只有当惯性力和动荷载的作用线重合时，内力和位移的动力系数才会相等，否则内力没有统一的动力系数。将惯性力及动载幅值作为静载作用计算内力幅值。内力动力系数：43最大动位移和最大动内力的计算体系的最大动位移为简谐振动的振幅A，是动荷载和惯性力共同作用产生的动位移幅值；可以将动荷载幅值当作静荷载按静力方法计算出相应的位移yst，再乘以动力系数

，就可以求出最大动位移。动力系数包括了惯性力的作用。可直接设定稳态的解，代入动力方程求解振幅A。根据动位移算出质点的惯性力，再将惯性力及动荷载幅值作用于结构上，然后按静力计算内力幅值。例8：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1

求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。2)求β3)求ydmax,Mdmax解：1)求ω2mEImkPsinθt2m44l/4M11/21例9：图示梁l=4m，惯性矩I=7480cm4，弹模E=2.1

104KN/cm2。在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心力P=10KN，离心力的竖向分力为Psinqt。不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。体系自由振动的频率：动力系数：为动力位移和动力应力的放大倍数。荷载频率：最大动位移（振幅）：4594.3kN.m例9：图示梁l=4m，惯性矩I=7480cm4，弹模E=2.1

104KN/cm2。在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心力P=10KN，离心力的竖向分力为Psinqt。不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。体系自由振动的频率：动力系数：最大动位移（振幅）：最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。最大动弯矩：最大弯矩：59.3kN.m46ak例10.求图示体系中及梁的最大动位移和弹簧的最大动反力。已知梁EI=∞，弹簧刚度k，θ2=k/2m。忽略阻尼影响。解：梁是刚体，只能绕B点转动，动力方程是B点的力矩方程。

结构的动力及位移图：化为标准型：设方程稳态的解：代入动力方程得：弹簧支座的最大动反力:梁的最大动位移：48例11.列动力方程，求最大动弯矩幅值。解：1）刚度法列动力方程：2）设稳定状态下方程的解：化为标准型：49例11.列动力方程，求最大动弯矩幅值。4）最大动弯矩幅值：3)把解代入动力方程得最大动位移（振幅）：例12.作结构动弯矩幅值图。各杆EI=常量，50解：先利用单位荷载法求柔度系数。动力方程：51设稳定状态下方程的解：代入动力方程例12.作结构动弯矩幅值图。各杆EI=常量，惯性力：将惯性力及荷载幅值作用于结构上，计算内力幅值。§10.5有阻尼受迫振动动力方程的解：按荷载频率振动的特解为：动力方程标准型：52有阻尼自由振动的通解:mykyP(t)简谐荷载作用有阻尼振动方程：其中：简谐荷载作用下的无阻尼强迫振动的解：按自振频率振动（瞬态振动），由于阻尼