2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 第27章 相似 单元同步测试

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页2023-2024学年人教版初中数学九年级下册第27章相似单元同步测试班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、单选题1．手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A． B．C． D．2．下列说法不一定正确的是（）A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（）A．5B．3C．25D．54．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交A．DHB．GEC．AFD．FH5．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，过点A作AF⊥CD于点F，交DE于点G，连接BG并延长交CD于点H，恰好使DH：HC=2：A．185 B．4 C．225 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（）A．3 B．10 C．4 D．27．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）．A．5m B．6m C．125m D．4m8．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（）A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(2，2)，B(4，2)，C(4，4)，以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为1：2，则线段DF的长度为（）A．2 B．2 C．22 10．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，﹣5），B（6，0），0（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A′B′O′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（8，﹣10） B．（﹣8，10）C．（8，﹣10）或（﹣8，10） D．（8，﹣10）或（4，5）二、填空题11．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么ABAD=．

12．如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是cm.13．如图，在矩形ABCD中，AB=15，AD=20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E和F，则PE·PF的最大值为14．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=cm15．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，已知点A（﹣1，0），点C（12三、解答题16．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分.问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并写出相应的点C的坐标）．

17．如果一个图形经过分割，能成为若干个与自身相似的图形，我们称它为“相似分割的图形”，如图所示的等腰直角三角形和矩形就是能相似分割的图形.

(1)你能否再各举出一个“能相似分割”的三角形和四边形？

(2)一般的三角形是否是“能相似分割的图形”？如果是请给出一种分割方案并画出图形，否则说明理由.18．如图，点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG=FC．19．如图，在△ABC中，已知AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2=BD•CE，求证：△ABD∽△ECA．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE2＝FG•FD.21．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上.已知EA=3m，AC=9m，求这棵树的高度CD.22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，2）、B（4，0）、C（4，﹣4）．①请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；②以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C223．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，（2）点C1的坐标是；（3）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，（4）使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．

答案解析部分1．答案：D解析：解答：解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；故答案为：D．分析：根据相似图形的判定方法逐项判定即可。2．答案：C解析：解答：A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．故选C．分析：利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．3．答案：C解析：解答：解：如图，过点O作OH⊥AB交AD于点H，

∵AB=10，

∴AO=BO=CO=5，

∵BE=2，

∴OE=3，

∵CD⊥AB，

∴CE=DE，

在Rt△OEC中，CE=52−32=4，

∴CD=2CE=8，

∵OH∥CD，

∴OFFC=OHCD，即OFOF+5=5284．答案：D解析：解答：解：∵AB∥CD，∴，∴A选项不符合题意，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴GEDH∴EGCG∵AB∥CD，∴CHCB∴DHCH∴GECG∴GEDF∴B选项不符合题意，不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴DECE∴；∴C选项不符合题意，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴FHAG∵AB＞FA，∴FH∴D选项符合题意，符合题目要求．故答案为：D．

分析：利用相似三角形的判定和性质逐项判断或者直接利用平行线分线段成比例的性质求解即可。5．答案：B解析：解答：解：延长DE、AB，交于一点M，连接CG，如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD=5，∴∠M=∠EDC，∵点E为BC的中点，∴BE=CE，∵在△BEM和△CED中∠M=∠EDC∠BEM=∠CED∴△BEM≌△CED(AAS)，∴MB=CD=AB=5，S△BEM∵△BEG与△GEC等底同高，∴S∵DH：HC=2：3，∴DH=2，HC=3，设S△DGH=2x，则∴S△BME则S△BGM∵∠M=∠EDC，∠BGM=∠HGD，∴△BMG∽△HDG，∴S即5x+62x解得：x=4∴S△CED=5x+3=7，∴GF=2∵S∴AF=S∴AG=AF−FG=28故答案为：B.分析：延长DE、AB，交于一点M，连接CG，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD=5，根据平行线的性质可得∠M=∠EDC，证明△BEM≌△CED，得到MB=CD=AB=5，S△BEM=S△CED，根据等低同高的三角形面积相等可得S△BEG=S△GEC=3，设S△DGH=2x，则S△GHC=3x，则S△BME=S△CED=3+5x，S△BGM=5x+6，证明△BMG∽△HDG，根据相似三角形的性质可得x的值，然后求出GF、AF，再根据AG=AF-FG进行计算.6．答案：B解析：解答：解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD=∠B又∠A=∠A∴△ACD∽△ABC∴ACAB=∵AD＝2，BD＝3∴AB=AD+BD=2+3=5∴AC＝10.故答案为：B.分析：根据角平分线的概念可得∠ACB＝2∠ACD，结合已知条件可得∠ACD=∠B，又∠A=∠A，利用有两组角相等的两个三角形相似证明△ACD∽△ABC，接下来根据相似三角形的性质进行计算.7．答案：A解析：解答：解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，则AM=70cm=0.7m，AN=25m，BC=14cm=0.14m，∵BC∥EF，∴△ABC∽△AEF，∴BCEF∴EF=BC×ANAM答：电线杆的高度为5m．故答案为：A．分析：先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高。8．答案：C解析：解答：解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，设树高x米，则ACAB=1.6即0.80.8+3.2=∴x=8故选：C．分析：利用相似三角形对应线段成比例解题．9．答案：A解析：解答：解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），∴AB＝2，BC＝2，由勾股定理得：AC＝AB2+B∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，∴线段DF的长度为12AC＝2故答案为：A.

分析：根据点A、B、C的坐标可得AB、BC的值，由勾股定理求出AC，根据相似比为1：2可得DF=1210．答案：C解析：解答：解：∵△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，﹣5），B（6，0），0（0，0），以原点为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，∴点A的对应点A′的坐标为：（8，﹣10）或（﹣8，10）.故答案为：C.分析：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，据此可求出点A的对应点A′的坐标.11．答案：解析：解答：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，

∵各种开本的矩形都相似，

∴（）2=，

∴．

故答案为：．分析：根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出ABAD12．答案：20解析：解答：解：如图所示：由题意可知：AC=10∵即2解得：BC=20故答案为：20分析：由题意易得比例式AEAC13．答案：36解析：解答：解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，

∴BD=AB2+AD2=152+202=25，

∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠AEP=∠PFD=∠ADC=90°，

∵∠PAE=∠CAD，∠PDF=∠BDA，

∴△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，

∴PEAP=DCAC=35，PFDP=ABBD=35，

设AP=x，则PD=20-x，

∴PE=35x，PF=35（20-x）=12-35x，

∴PE·PF=35x（12-3514．答案：3解析：解答：解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，过点O作ON⊥AB于点N，

∵AB∥CD，

∴△COD∽△AOB，

∴CDAB=OMON，

∴6AB=15−711−7，

∴15．答案：13解析：解答：解：过点C'作C'D⊥x轴于点D，

∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，OAOA'=12

∴点C是OC'的中点，点A是OA'的中点

∵点A（﹣1，0），点C（12，1）

∴点A'（-2，0），点C'（1，2）

∴OA'=2，DC'=2，OD=1，

∴A'D=OA'+OD=2+1=3，

∴A'C'=A'D2+C'D216．答案：过P作PC1⊥OA，垂足是C1，

则△OC1P∽△OAB．

点C1坐标是（3，0）．

过P作PC2⊥AB，垂足是C2，

则△PC2B∽△OAB．

点C2坐标是（6，4）．

过P作PC3⊥OB，垂足是P（如图），

则△C3PB∽△OAB，

∴．

易知OB=10，BP=5，BA=8，

∴．

∴C3（6，）．

符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2，PC3（如图）．解析：分析：按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．17．答案：解：（1）“能相似分割”的三角形为直角三角形，

“能相似分割”的四边形为一组底角是60°，腰与一底相等的等腰梯形．

（2）如图，任意三角形都是“能相似分割的图形”，

分割方案：顺次连接三角形三边中点，将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似．

解析：分析：（1）根据相似的性质，即相似比相等，对应角相等，可找出直角三角形，从直角顶点向斜边作高，则把三角形分成了二个与原三角形相似的三角形．四边形为一组底角是60°、腰与一底相等的等腰梯形；

（2）能，因为顺次连接三角形三边中点，将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似．18．答案：证明：四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，∵FC∥BC，∵FG∥AD，∴FGAD=∴FG∴FG=FC解析：分析：由菱形的性质可知对边平行，四条边相等，然后利用平行线分线段成比例，列出比例式，等量代换即可.19．答案：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB2=BD•CE，∴ABCE=BDAB，即ABCE∴△ABD∽△ECA解析：分析：由条件可得到∠ABD=∠ACE，结合AB2=BD•CE和AB=AC，可得到ABCE=BD20．答案：证明：连结BF、BG.∵在△AEO和△BFO中，EO=FO∠AOE=∠BOF∴△AEO≌△BFO（SAS），∴AE＝BF.又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，∴