数学-专项37 反比例函数有关面积问题（带答案）

专题37反比例函数有关面积问题【模型展示】特点过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值；设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为。结论矩形PMON的面积为【模型证明】解决方案1、在直角三角形ABO中，面积2、在直角三角形ACB中，面积为；推论：如果两个函数的图像都关于原点对称，且它们有交点，那么它们的交点坐标也关于原点对称。如图，正比例函数与反比例函数的图像都关于原点对称，那么它们的交点A、B也关于原点对称，即设，则

3、在三角形AMB中，面积为。4、三角形的两个顶点在同一象限的双曲线上，面积为两点与x轴的垂线围成的梯形的面积。【题型演练】一、单选题1．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校九年级阶段练习）如图，点A是函数y=图象上一点，AB垂直x轴于点B，若=4，则k的值为（

）A．4 B．8 C．－4 D．－8【答案】D【分析】根据的几何意义和三角形的面积进行计算即可．【详解】解：由题意得：，解得：；故选D．

【点睛】本题考查反比例函数的几何意义．熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．2．（2022·河北·邢台三中九年级期中）如图，点是反比例函数（，）的图像上任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积等于3，则的值等于（

）A． B．6 C． D．3【答案】A【分析】根据反比例函数的几何意义即可求出答案．【详解】解：∵的面积等于3，，即，∴，而，，∴又观察图象可得：，，∴，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握几何意义与图形面积以及坐标的关系是解题关键．3．（2022·辽宁·大连市第九中学九年级阶段练习）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（

）

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】由矩形的性质可得出轴、轴，再根据点在反比例函数的图象上利用反比例函数系数的几何意义即可得出矩形的面积．【详解】解：四边形是矩形，轴，轴，点在反比例函数的图象上，．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义以及矩形的性质，根据反比例函数系数的几何意义找出．4．（2022·吉林·长春博硕学校九年级阶段练习）如图，正方形和正方形的顶点B、E在双曲线上，连接，则的值为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】连接．只要证明，推出，即可解决问题．【详解】解：连接．∵四边形，四边形都是正方形，∴，

∴，∴，∵点B在的图象上，∴，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．（2022·山东烟台·九年级期中）如图，已知双曲线经过斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为，则的面积为（）A． B．6 C．9 D．10【答案】C【分析】的面积的面积的面积，由点A的坐标为，根据三角形的面积公式，可知的面积，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知的面积．只需根据的中点D的坐标，求出k值即可．【详解】解：∵的中点是D，点A的坐标为，∴，∵双曲线经过点D，∴，∴的面积．又∵的面积，

∴的面积的面积的面积．故选C．【点睛】本题考查了线段中点坐标的求法，反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握“反比例图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即”是解本题的关键．6．（2022·河南省实验中学九年级期中）如图，、是函数的图象上关于原点对称的任意两点，轴，轴，的面积记为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，设与轴交于点，与轴交于点，首先根据反比例函数的比例系数的几何意义，得出，，再根据、两点关于原点对称，轴，轴，得出轴，，，轴，，进而得出，，再根据面积之间的数量关系，即可得出答案．【详解】解：连接，设与轴交于点，与轴交于点，∵、是函数的图象上关于原点对称的任意两点，∴，，∵、两点关于原点对称，轴，轴，∴轴，，，轴，，∴，，

∴．故选：D【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义、三角形的面积、关于原点对称的点的特征，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．7．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）如图，A，B是函数y=（m＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，△ABC的面积记为S，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据A、B两点在曲线上可设A、B两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．【详解】设点A（x，y），则点B（-x，-y），∴xy=m，∴AC=2y，BC=2x，

∴，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．8．（2022·山东·临淄区淄江中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y＝（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为（）A．12 B．﹣12 C．24 D．﹣24【答案】B【分析】如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标为（a，b），先根据菱形面积公式求出CD的长，再利用勾股定理求出OD的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标为（a，b），∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5，∵四边形OABC是菱形，∴OA=OC=5，，∴CD=4，∴，在Rt△OCD中，，∴a=3，∴k=ab=-12，故选B．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键．9．（2022·山东·临淄区淄江中学九年级阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积差为（

）．A．32 B．16 C．8 D．4【答案】C【分析】已知反比例函数的解析式为，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可；【详解】解：如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数的图象上，所以设点B(m，)．∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)，由AD=BD，得n−=m−n，化简整理得m2−2mn=−16．∴S△OAC−S△BAD=n2−(m−n)2=−m2+mn=−(m2−2mn)，

即S△OAC−S△BAD=8．故选C【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义．10．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为、，比较它们的大小，可得（）A．＞ B．＝ C．＜ D．大小关系不能确定【答案】B【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再由，，利用等式的性质得到答案．【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义可得：；∵，，∴，即＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．11．（2022·河北保定师范附属学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一点，且点在第一象限，过点作轴于点，作轴于点．若四边形的面积为6，则的值为（

）

A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积是个定值，即．再由函数图象所在的象限确定的值即可．【详解】解：∵点是反比例函数图象上的一点，分别过点作轴于点，轴于点B．若四边形的面积为6，∴矩形的面积，解得．又∵反比例函数的图象在第一象限，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．12．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，点P为反比例函数上的一个动点，PD⊥x轴于点D．如果△POD的面积为1，则一次函数的图象为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数k的几何意义，求出m的值等于2，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过的点即可得解．【详解】解：设P点的坐标为，∵P点在第一象限且在函数的图象上，PD⊥x轴于点D．如果△POD的面积为1，∴，∴即，∴一次函数解析式为，∴一次函数的图象是经过点，的直线；故答案选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和一次函数的图象，准确分析判断是解题的关键．13．（2022·江苏·江阴市长泾第二中学九年级阶段练习）如图，双曲线经过斜边上的点，与直角边相交于点，已知，的面积为5，则的值是（）A．12 B．24 C．5 D．10【答案】A【分析】过点作轴于点，则，得出，设点坐标为，分别表示出点的坐标，点的坐标，根据已知条件，以及根据反比例数的的几何意义即可求解．【详解】如图，过点作轴于点，则，

∴又∵．设点坐标为，则．∴，．∴点坐标为∴点的横坐标为，设点的纵坐标为，∵点与点都在图象上，．∴，∴点坐标为()．∵的面积为，∴的面积为．∴的面积为．∴，即．∴．∴．故选A【点睛】本题考查了已知三角形的面积求反比例函数系数，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．

二、填空题14．（2022·湖南邵阳·九年级期中）如图，点M是反比例函数图象上的一点，轴于点N，若，那么k的值是____________．【答案】【分析】根据点是反比例函数（）的图像上一点，设，然后表示出，再通过的面积建立等式，即可计算得到答案．【详解】∵是反比例函数（）的图像上一点设∵轴，垂足为点N∴∴∴故答案为：．【点睛】本题考察了反比例函数、直角坐标系、直角三角形的知识；求解的关键的熟练掌握反比例函数、直角三角形性质，结合直角坐标系，从而计算得到答案．15．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B，C两点，若的面积是3，则k的值为___________；

【答案】5【分析】连接，如图，由于轴，根据三角形面积公式得到，再利用反比例函数系数k的几何意义得到，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．【详解】解：连接OC、OB，如图，∵轴，，∴，∵，，解得∵，∴．故答案为：5．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保持不变．16．（2022·山西·临县第四中学校九年级阶段练习）如图，为反比例函数上一点，延长至

，使得，过作轴垂线交反比例函数图象于点，若，则___________；【答案】##0.75【分析】连接，过点作轴于点，延长交轴于点，证得，设，可用含的代数式表示各边，，再由，即可解得的值．【详解】解：连接，过点作轴于点，延长交轴于点，在和中，，∴，又∵，∴，∴，∵点、都在反比例函数上，设，则∴，，，，，，∴，∵，

∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与三角形的综合问题，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，通过添加辅助线求解．17．（2022·山东济南·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴上，顶点在轴上，矩形的边在上，，反比例函数的图象经过点，若阴影部分面积为，则的值为______．【答案】8【分析】设，证明，根据，等量代换后得出，从而求出．【详解】解：如图：与交于点，

设，，在矩形和矩形中，，，，∴，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数比例系数的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标根据反比例函数比例系数的几何意义列出算式是解题的关键．18．（2022·浙江·诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图所示，点是x轴正半轴上一动点，以为斜边作等腰，直角顶点A在第一象限．反比例函数图象交于点C，交于D，若，求_______．

【答案】【分析】利用证明，推出，设，得到，由，得到，先后求得a和b的值，据此即可求解．【详解】解：作于点N，作于点H，作于点G，作于点K，连接，如图，∵是等腰直角三角形，且，∴、、都是等腰直角三角形，∵，∴，∴，设，∴，∵，∴，即，

解得(舍去)或，∴，∴点C的坐标为，∵反比例函数图象经过点C，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数和几何的综合，作出辅助线，设出点坐标，利用“”是解答本题的关键．19．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处一模）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为___________．【答案】【分析】根据三角形的面积公式可得，进而求出答案．【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为D，

，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的前提，求出的面积是正确解答的关键．三、解答题20．（2022·湖南·新田县云梯学校九年级阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：(3)求的面积．【答案】(1)，(2)或(3)8【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；

（2）根据图象可得结论；（3）求出点的坐标，根据即可求解．【详解】（1），在的图象上，，反比例函数的解析式是．．，在函数的图象上，，解得：．则一次函数的解析式是．所以一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是；（2）由图象得：当或时，；（3）直线与轴相交于点，的坐标是．．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键．21．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，已知双曲线与直线相交于A、B两点，AC⊥x轴，垂足为C，直线与x轴交于点D．若的面积为1，．(1)求k的值；(2)若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式；(3)在（2）条件下，直接写出当x为何值时？

【答案】(1)(2)直线的函数表达式为(3)当或时，【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得；（2）利用三角形面积求得A的坐标，把代入反比例函数的解析式求得B的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据图象即可求得．【详解】（1）解：∵，∴；（2）∵的面积为1，．∴，∴，∴，∴，把代入得，，∴，∴，∵直线过A、B两点，∴，解得，∴直线的函数表达式为；（3）解：观察图象，当或时，．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．22．（2022·湖南·新田县教研室九年级期中）如图，一次函数与反比例函数，的图象交于，两点，轴于点，轴于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出>时的的取值范围；(3)求的面积．【答案】(1)，(2)(3)8【分析】（1）把代入可求出的值，即可得出反比例函数的解析式，根据、两点坐标，把代入可求出值，利用待定系数法即可得出一次函数解析式；（2）根据、坐标，利用图像找出一次函数图像在反比例函数图形上方时的取值范围即可得答案；（3）设直线交轴于，根据一次函数解析式可求出点坐标，根据即可得答案．【详解】（1）解：将代入得，∴反比例函数为，把代入的，，∴将和代入得解得，∴一次函数的表达式是．

（2）∵，∴观察图象得：>时的的取值范围为．（3）设直线交轴于，∴时，，解得：，∴点，∴．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图像求不等式的解集，待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，分割法求三角形面积，熟练掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键．23．（2022·湖南·湘潭县景泉中学九年级阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，过点A作轴，垂足为C，且．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若，是函数图象上的两点，且，写出实数p的取值范围．【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；(2)实数p的取值范围是或．【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得，进而求得A、B的坐标，然后利用待定系数法可得一次函数的解析式；（2）根据反比例函数的性质即可求得．【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为C，且，

∴，∴，∴反比例函数的解析式为，把代入反比例函数，可得，∴，把代入一次函数,可得，解得，∴一次函数的解析式为；（2）解：由图可得，当在第三象限时，要使，则；当在第一象限时，要使，则；故实数p的取值范围是或．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．24．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室三模）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是轴于点A，点B在反比例函数的图象上，将向右平移，得到交双曲线于点．(1)求的值；(2)求出向右平移到的距离；

(3)连接，求的面积．【答案】(1)，；(2)4.5个单位长度；(3)9．【分析】（1）根据题意可直接进行求解k的值，然后再把点C代入进行求解即可；（2）过点C作轴于点D，由（1）可得，进而可得点D为的中点，然后问题可求解；（3）由（1）及题意易得，然后根据梯形的面积公式进行求解即可．【详解】（1）∵点B坐标是，轴于点A，点B在反比例函数的图象上，∴，∵交双曲线于点，∴，解得：，∵，∴；（2）过点C作轴于点D，如图所示：由（1）可得：点，∴，由平移的性质可得：，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴向右平移4.5个单位长度得到；（3）如（2）图，∵，由反比例函数k的几何意义可得，∴，由（2）可得：，∴，∴【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例图象上点的特征，反比例函数系数k的几何意义，坐标与图形的变化-平移，三角形的面积，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．25．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过的中点C．交于点D，连结CD．若的面积是，则k的值是_____．【答案】【分析】连接，过C作，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到，根据的中点C，利用得到面积比为，代入可得结论．【详解】解：连接，过C作，交x轴于E，

∵，反比例函数的图象经过的中点C，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了相似三角形的