中考数学总复习《实际问题与二次函数（图形运动问题）》专题训练(附带答案)

第第页参考答案：1．C【分析】本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】解：设的速度为a，根据题意可得：的面积为，∴最大值为：，故选：C．2．C【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，可以根据函数关系式判断随着自变量的变化相应的函数图象如何变化；根据题意可以分别得到和的长，从而可表示出三角形的面积，结合函数图象，从而可以确定点的运动速度．【详解】解：∵．且点P到达点B时，点Q到达点C．设点P的速为，则点Q的速度，∴，∵，因为函数图象过点，∴，，，解得：，点P的速度小于，∴点P的运动速度为，故选：C．3．B【分析】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解答本题的关键．设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．【详解】设正方形的边长为，则，，，，当时，有最大值，即，解得，，当点Q在上时，如图，，当时，，故选：B．4．D【分析】根据已知得出与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当时，取到最小值为，即可得出图象．此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出与x之间的函数解析式是解题关键．【详解】解：∵A点在半径为2的上，过线段上的一点P作直线，与过A点的切线交于点B，且，∴，，∴，解得：，∴，故此函数为二次函数，∵，∴当时，取到最小值为，根据四个选项的图象只有D符合要求．故选：D．5．A【分析】设的面积为，根据面积公式求出，根据勾股定理求出，结合得到，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：设的面积为，由题意得：，，，四边形是正方形，，，，，当为时，的面积最小，且最小值为．故选：A．【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键．6．B【分析】分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，分别求出解析式即可．【详解】∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形．①当点P在上运动，即时，

，，过点P作于点N，∵是等边三角形，∴，∴在中，，∴，即y与x之间的函数解析式为；②当点P在上运动，即时，

，过点P作于点M，∵是等边三角形，∴，∴在菱形中，∴在中，，∴，即y与x之间的函数解析式为；综上所述，y与x之间的函数解析式为，图象为：

．故选：B【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解题的关键．7．B【分析】分两种情况：当点P在上，即时，此时，利用三角形面积公式得到y关于x的函数关系；当点P在上，即时，此时，利用正方形和三角形面积公式得到y关于x的函数关系．进而可得y关于x的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象．【详解】解：当点P在上，即时，如图，

此时，，∴；当点P在上，即时，如图，

此时，，，∴，，∵，．综上，．故选B．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键．8．A【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：，，，，故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型．9．2【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算．【详解】解：根据题意得，三角形面积为：∴当时，的面积最大为，故答案为：2．10．【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键．根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为，∴，，∴，∴，∴，∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值，∴当时，有最小值，且最小值为，故答案为：，．11．【分析】分类讨论①当点M在PB上运动时，Q点的运动路径为由-C运动，此时运动路径长即为长，结合题意求即可；②当点M在BC上运动时，且在BC中点之前时，此时Q点由C-A方向运动，由题意可证，得出结论．设，则．由此即可列出关于CQ和x的二次函数关系式．利用二次函数的性质求出CQ的最大值即为此时点Q的运动路径长．③当点M在BC上运动，且在BC中点之后时，此时Q点由A-C方向运动，根据②可知，此时Q的运动路径长还是CQ的最大值．最后将三个讨论的结果相加即可．【详解】解：①当点M在PB上运动时，作交AC于点，如图．∵，∴，∴当点M由P-B运动时，点Q由-C运动．∴此时Q点运动路径长为长，∵，∴．②当点M在BC上运动，且在BC中点之前时，此时Q点由C-A方向运动，如图．∵，，．∴，∵，∴．∴．∴，设，则．∴，即．∵，∴当时，CQ有最大值为．即此时Q点运动路径长为．③当点M在BC上运动，且在BC中点之后时，此时Q点由A-C方向运动，如图．根据②可知．即此时Q点运动路径长为．综上，Q点运动路径长为．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的几何应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键．12．【分析】先根据全等旋转变换，可得∠B=∠CAE，由BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，可得∠DAE=90°可得AB=2，设BD=AE=x，则AD=（2-x），函数开口向下，函数有最大值．【详解】解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴△BDC≌△AEC，∴∠B=∠CAE，∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，设BD=AE=x，则AD=（2-x），∴，∵，函数开口向下，函数有最大值，当x=1时，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，二次函数的性质等知识点，掌握等腰三角形的性质、直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，二次函数的性质等知识点是解题关键．13．【分析】根据第一象限的交点求出a的值，再表示出，，列出关于t的二次函数，根据函数的性质即可求解．【详解】把x=4代入得y=2把x=4，y=2代入得解得a=∴当x=t时，，当x=t+1时，∴当时，===∵＜0，∴当t=2时，的最大值为故答案为：．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意列出关于t的二次函数进行求解．14．【分析】如图（见解析），先根据矩形的性质可得，再根据一次函数的性质可设点的坐标为，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后利用二次函数的性质即可得．【详解】以点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：在矩形中，，点是的中点，，∴，直线的函数解析式为，设点的坐标为，点是上一动点，，点是的中点，，由两点之间的距离公式得：，由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为36，因此，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形与坐标、二次函数的性质等知识点，正确建立平面直角坐标系是解题关键．15．2【分析】由函数解析式可得，由图可以观察到整个函数图像是一个在x轴朝前并上下往复循环的图像，即可以得到整个图像的周期为，结合，可知P点纵坐标与时的纵坐标相等，再结合函数图像的旋转，即可得解．【详解】解：由题可知，观察图像可知整个函数是周期函数，周期为，又因为，故时，由图像变化可知，当与时的y值互为相反数，则有：故答案为：2【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征以及图像与坐标的旋转变化；利用周期性与旋转的性质，是解决本题的关键．16．S=t2（0≤t≤3）【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，所以很容易求得∠AOB＝∠A＝45°；再由平行线的性质得出∠OCD＝∠A，即∠AOD＝∠OCD＝45°，进而证明OD＝CD＝t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD＝∠A，∴∠AOD＝∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝t，∴S△OCD＝×OD×CD＝t2（0≤t≤3），∴S与t之间的函数关系式是S＝t2（0≤t≤3），故答案为S＝t2（0≤t≤3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的动点问题，根据题意得出阴影部分是等腰直角三角形是解决问题的关键．17．(1)；(2)或．【分析】本题考查二次函数综合题、勾股定理．二次函数的增减性等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，灵活应用配方法确定对称轴位置，利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．（1）分两种情形①如图②中，当时，②如图③中，当时，过点作于点，分别利用勾股定理即可解决问题．（3）把（2）中的二次函数，利用配方法，求出对称轴，即可判断．【详解】（1）如图②中，当时，，在中，，∴；如图③中，当时，过点作于点，则，在中，，∴．∴y与x之间的函数关系式为：.（2）当时，．对称轴为，且开口向上，当时，随增大而增大，当时，．对称轴为，且开口向上，当时，随增大而增大，综上所述，当或时，随增大而增大．18．(1)见解析(2)(3)当点D移到中点时，最小值为【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵是边长为8的等边三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：在等边中，，，∴，∴，设的长为x，则，，∴，∴，同理（1）可知，∴，∵的面积为y，∴；（3）解：由（2）可知：，∴，对称轴为直线，∴当时，y有最小值，即当点D移到中点时，最小值为．【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合、全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．19．(1)4；(2)t为，最多3个；(3)．【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，二次函数的解析式，梯形的面积，三角形的面积，解决本题的关键是利用分类讨论思想．（1）根据题意分别表示出，利用建立方程即可求解；（2）由（1）即可得出结论；（3）分类讨论①当点P在上②当点P在上③当点P在上三种情况，即可求解．【详解】（1）解：根据题意可知：，，在矩形中，∵，，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴当t为4时，四边形是矩形；（2）解：由（1）可知，当t为4时，图中存在的矩形的个数最多，最多是个（3）解：①当点P在上时，，②当点P在上时，，根据题意可知：∴③当点P在上时，点Q也在上，∴不是四边形，不符合题意，综上所述：S与t的函数关系式为：．20．(1)(2)(3)【分析】（1）由平行四边形对边平行可得，四边形是平行四边形时，根据相似三角形对应边成比例可得，结合，可得，结合运动方式即可求解；（2）四边形为梯形，先证，根据相似三角形相似比等于高的比可求出，再用含t的代数式表示出梯形的上下底即可；（3）根据垂直平分线的性质可得，过点作于点H，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，进而用含t的代数式表示和，再根据勾股定理表示出，根据即可求出t．【详解】（1）解：四边形是平行四边形时，，在中，，，，，