中考数学一轮复习常考题型突破练习专题23 平行四边形（解析版）

专题23平行四边形【考查题型】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。平行四边形的性质：1)对边平行且相等；2)对角相等、邻角互补；3)对角线互相平分；

4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。平行四边形的判定定理：1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2)角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．3)边与角：⑥一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；4)对角线：⑦对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的面积公式：面积=底×高平行线的性质：1）平行线间的距离都相等；2）两条平行线间的任何平行线段都相等；3）等底等高的平行四边形面积相等。考查题型一添加一个条件成为平行四边形典例1．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，点D，E分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边的中点，点F在SKIPIF1<0的延长线上．添加一个条件，使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则这个条件可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且DE=SKIPIF1<0AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE=SKIPIF1<0AC，A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C、根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．变式1-1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________（写一个即可）．【答案】ABSKIPIF1<0DC(答案不唯一)【分析】根据平行四边形的判定条件解答即可．【详解】解：∵AB=DC，再加ABSKIPIF1<0DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：ABSKIPIF1<0DC(答案不唯一)【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．变式1-2．（2020·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．【答案】AD=BC（答案不唯一）【分析】根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可．【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件AD=BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件AB∥DC，本题只需添加一个即可，故答案为：AD=BC（答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．变式1-3．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在四边形SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．请你添加一个条件______________，使SKIPIF1<0．（填一种情况即可）【答案】AD=BC（答案不唯一）【分析】根据平行四边形的判定和性质添加条件证明AB=CD.【详解】解：添加的条件：AD=BC，理由是：∵∠ACB=∠CAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握定理内容是解题的关键.变式1-4．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形SKIPIF1<0为平行四边形．【答案】（1）SKIPIF1<0（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析【分析】（1）由题意可知SKIPIF1<0，要使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则使得SKIPIF1<0即可，从而添加适当条件即可；（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可．【详解】（1）显然，直接添加SKIPIF1<0，可根据定义得到结果，故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一，符合题意即可）；（2）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．考查题型二平行四边形的证明典例2．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形．【答案】见解析【分析】结合已知条件推知SKIPIF1<0；然后由全等三角形的判定定理SKIPIF1<0证得SKIPIF1<0，则其对应边相等：SKIPIF1<0；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．【详解】证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．变式2-1．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求证：∠ACB＝∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)见解析(2)四边形BFEC是平行四边形【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．（1）证明：∵AF=CD，∴AF＋CF=CD＋CF，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0△ABC≌△DEF（SSS）SKIPIF1<0（2）如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由（1）可知，∠ACB=∠DFE，∴BCSKIPIF1<0EF，又∶BC=EF，SKIPIF1<0四边形BFEC是平行四边形．【点睛】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．变式2-2．（2022·北京·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．(1)求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形；(2)若SKIPIF1<0求证：四边形SKIPIF1<0是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即可证明结论；（2）先证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，证明四边形ABCD为菱形，得出SKIPIF1<0，即可证明结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形．（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形ABCD为菱形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴四边形SKIPIF1<0是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．变式2-3．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且SKIPIF1<0，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四边形AFCE的面积．【答案】(1)详见解析；(2)24．【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（2）由平行线的性质可得SKIPIF1<0，再根据角平分线的性质解得SKIPIF1<0，继而证明SKIPIF1<0，由此证明平行四边形AFCE是菱形，根据菱形的性质得到SKIPIF1<0，结合正切函数的定义解得SKIPIF1<0，最后根据三角形面积公式解答．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0四边形ABCD是平行四边形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四边形AFCE是平行四边形．（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由（1）知四边形AFCE是平行四边形，SKIPIF1<0平行四边形AFCE是菱形．SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．变式2-4．（2022·江西·统考中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知SKIPIF1<0，A，D，H，G四点在同一直线上，测得SKIPIF1<0．（结果保留小数点后一位）(1)求证：四边形SKIPIF1<0为平行四边形；(2)求雕塑的高（即点G到SKIPIF1<0的距离）．（参考数据：SKIPIF1<0）【答案】(1)见解析(2)雕塑的高为7.5m，详见解析【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；（2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用∠A的正弦可得结论．（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，在Rt△APG中，sinA=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=0.96，∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．变式2-5．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）探究四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由；（2）连接SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据SKIPIF1<0，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形SKIPIF1<0为平行四边形．理由如下：∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形（2）设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．变式2-6．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．【答案】（1）见解析；（2）24【分析】（1）根据题意可证明SKIPIF1<0，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：在△AOE和△COD中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴OD＝OE．又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形．（2）∵AB＝BC，AO＝CO，∴BO为AC的垂直平分线，SKIPIF1<0．∴平行四边形AECD是菱形．∵AC＝8，SKIPIF1<0．在Rt△COD中，CD＝5，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形AECD的面积为24．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键．考查题型三利用平行线的性质求解典例3．（2022·广东·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．变式3-1．（2022·福建·统考中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0对应直尺的刻度为0，则四边形SKIPIF1<0的面积是（

）A．96 B．SKIPIF1<0 C．192 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解：依题意SKIPIF1<0为平行四边形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB＝8，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0∴平行四边形SKIPIF1<0的面积=SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．变式3-2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（

）A．4 B．3 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2×SKIPIF1<0×AC×BF，∴4×6=2×SKIPIF1<0×8×BF，∴BF=3，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．变式3-3．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在SKIPIF1<0中（如图），连接SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ABSKIPIF1<0CD∴∠DCA＝∠CAB，∵SKIPIF1<0∠DCA+∠ACB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<040º+80º=120º，故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．变式3-4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴平行，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴平行，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若反比例函数SKIPIF1<0的图像经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明△COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=SKIPIF1<0；由S△BDC=SKIPIF1<0•BD•CF=SKIPIF1<0可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3SKIPIF1<0，所以点D的纵坐标为4SKIPIF1<0；设C（m，SKIPIF1<0），D（m+9，4SKIPIF1<0），则k=SKIPIF1<0m=4SKIPIF1<0（m+9），求出m的值即可求出k的值．【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，∵四边形OABC为平行四边形，∴ABSKIPIF1<0OC，AB=OC，∴∠COE=∠ABD，∵BDSKIPIF1<0y轴，∴∠ADB=90°，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE=BD=SKIPIF1<0，∵S△BDC=SKIPIF1<0•BD•CF=SKIPIF1<0，∴CF=9，∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，∴DF=3SKIPIF1<0．∴点D的纵坐标为4SKIPIF1<0，设C（m，SKIPIF1<0），D（m+9，4SKIPIF1<0），∵反比例函数y=SKIPIF1<0（x＜0）的图像经过C、D两点，∴k=SKIPIF1<0m=4SKIPIF1<0（m+9），∴m=-12，∴k=-12SKIPIF1<0．故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．变式3-5．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，顶点A在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得SKIPIF1<0，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴SKIPIF1<0，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，顶点A在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．变式3-6．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的点,SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，那么四边形SKIPIF1<0的周长是（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明□AFDE的周长等于AB＋AC．【详解】∵DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，∴BF＝FD，DE＝EC，所以□AFDE的周长等于AB＋AC＝10．故答案为B【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键．变式3-7．（2021·天津·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0的顶点A，B，C的坐标分别是SKIPIF1<0，则顶点D的坐标是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，∴A到D也应向右移动4个单位长度，∵点A的坐标为(0，1)，则点D的坐标为(4，1)，故选:C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键．变式3-8．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴只有一个公共点A（1，0），与SKIPIF1<0轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线SKIPIF1<0，则图中两个阴影部分的面积和为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可．【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM．由题意可知，AM=OB，∵SKIPIF1<0∴OA=1，OB=AM=2，∵抛物线是轴对称图形，∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形ABOM为平行四边形，∴SKIPIF1<0．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．变式3-9．（2021·湖北荆门·统考中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质，SKIPIF1<0，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果．【详解】解：如图，延长EG交AB于H，∵∠BMF=∠BGE=90°，∴MF//EH，∴∠BFM=∠BHE，∵SKIPIF1<0，∴∠BFM=∠BHE=60°，∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，∴∠DEH=∠BHE=60°，∵∠GEN=45°，∴SKIPIF1<0，故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与一副特殊三角形板的性质，关键在于作出辅助线，利用平行四边形的性质进行求解．变式3-10．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数SKIPIF1<0的图象经过点C，SKIPIF1<0的图象经过点B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】3【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=SKIPIF1<0即可．【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，∴CD∥BE，∵四边形ABCO为平行四边形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，OC=AB，∴四边形CDEB为平行四边形，∵CD⊥OA，∴四边形CDEB为矩形，∴CD=BE，∴在Rt△COD和Rt△BAE中，SKIPIF1<0，∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），∴S△OCD=S△ABE，∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=AD，∵反比例函数SKIPIF1<0的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=SKIPIF1<0，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=SKIPIF1<0，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．变式3-11．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．利用尺规在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上分别截取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；分别以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为圆心，大于SKIPIF1<0的长为半径作弧，两弧在SKIPIF1<0内交于点SKIPIF1<0；作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到SKIPIF1<0，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．变式3-12．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P为SKIPIF1<0边上任意一点，连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为邻边作平行四边形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0长度的最小值为_________．【答案】SKIPIF1<0##2.4【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明SKIPIF1<0利用对应线段的比得到SKIPIF1<0的长度，继而得到PQ的长度．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴则PQ的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．变式3-13．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点SKIPIF1<0坐标是______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根据旋转可得：BM=B1M1=B2M2=3，∠AOA1=∠AOA2=90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标．【详解】解：∵A(-1，2)，OC=4，∴C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)，BM=3，AB//x轴，BM=3．将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM=OM1=OM2=2，∠AOA1=∠AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴B1和B2的坐标分别为：(-2，3)，(2，-3)，∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B'(-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．变式3-14．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______．【答案】2【分析】根据一次函数解析式求出点SKIPIF1<0的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出点SKIPIF1<0的坐标，从而得出点SKIPIF1<0的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．【详解】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．∵点D为OB的中点，∴OD＝SKIPIF1<0OB＝SKIPIF1<0×4＝2．∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，∴DE∥x轴．当y＝2时，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴点E的坐标为（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各点的坐标是解本题的关键．考查题型四利用平行线的性质证明典例4．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．(1)求证：BE＝DF；(2)求证：SKIPIF1<0ABE≌SKIPIF1<0CDF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0；（2）根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0ABE≌SKIPIF1<0CDF．（1）∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0ABE≌SKIPIF1<0CDF（SAS）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形的相关知识．变式4-1．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，E，G，H，F分别是SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】证明过程见解析【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再证明△AEF≌△CHG即可．【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，又已知BE=DH，∴AB-BE=CD-DH，∴AE=CH，在△AEF和△CHG中SKIPIF1<0，∴△AEF≌△CHG(SAS)，∴EF=HG．【点睛】本题考察了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．变式4-2．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0的对角线，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)请用尺规作SKIPIF1<0的角平分线SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；(2)根据图形猜想四边形SKIPIF1<0为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0______（两直线平行，内错角相等）又∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0______（______）（填推理的依据）又∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形∴SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形（______）（填推理的依据）．【答案】(1)详见解析(2)∠DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形【分析】（1）根据作角平分线的步骤作SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0即可；（2）结合图形和已有步骤合理填写即可；（1）解：如图，根据角平分线的作图步骤，得到DE，即为所求；（2）证明：∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（两直线平行，内错角相等）.又∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）又∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形．∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．变式4-3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，点O是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0的延长线于点E，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形；(2)若SKIPIF1<0，判断四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形SKIPIF1<0是菱形．理由见解析【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得AB=CD，再证AB=BD，然后由菱形的判定即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵点O是SKIPIF1<0的中点∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（AAS）∴SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形（2）四边形SKIPIF1<0是菱形.理由：∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形∴四边形SKIPIF1<0是菱形【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．变式4-4．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0边的中点，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的延长线和SKIPIF1<0的延长线相交于点F．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于点为G，若SKIPIF1<0的面积为2，求平行四边形SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到SKIPIF1<0，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，则答案可证；（2）先证明SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则答案可解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点E为DC的中点，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面积为2，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．考查题型五利用平行线的性质与判定求解典例5．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形SKIPIF1<0，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（

）A．四边形SKIPIF1<0周长不变 B．SKIPIF1<0C．四边形SKIPIF1<0面积不变 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案．【详解】解：由题意可知，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0；故D符合题意；随着一张纸条在转动过程中，SKIPIF1<0不一定等于SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意；故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等．变式5-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点E，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的周长比为（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明SKIPIF1<0，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴四边形DCBM为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．变式5-2．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，平行四边形SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点E，点O为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0的延长线于点D，交SKIPIF1<0于点G，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若平行四边形SKIPIF1<0的面积为48，则SKIPIF1<0的面积为（）A．5.5 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】由题意易得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后根据相似比与面积比的关系可求解．【详解】解：∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，AE=EF，SKIPIF1<0，∵平行四边形SKIPIF1<0的面积为48，∴SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同高不同底，∴SKIPIF1<0，故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键．变式5-3．（2021·江西·中考真题）如图，将SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0翻折，点SKIPIF1<0落在点SKIPIF1<0处，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长为______．【答案】4a+2b【分析】根据题意并利用折叠的性质可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，计算可得到∠ECD=20SKIPIF1<0，∠ACE=∠ACB=40SKIPIF1<0，利用三角形的外角性质得到∠CFD=∠D=80SKIPIF1<0，再等角对等边即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：∠ACE=∠ACB，∵∠ACE=2∠ECD，∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180SKIPIF1<0，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180SKIPIF1<0，∴∠ECD=20SKIPIF1<0，∠ACE=∠ACB=40SKIPIF1<0=∠FAC，∠CFD=∠FAC+∠FCA=80SKIPIF1<0=∠B=∠D，∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，则▱ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，故答案为：4a+2b．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．变式5-4．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵SKIPIF1<0，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．变式5-5．（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试猜想SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0