2022年专升本《高数》真题及答案解析

2022年河南省普通高等

专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学

题号—*二三四五总分

602050146150

本卷须知：

答题前：考生务必将自己的、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的

试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效

选题分析:

易（33分）中（84分）难（33分）

选择：选择：选择：

1/2/5/6/7/8/9/12/15/18/23/4/10/11/13/14/16/17/2019/23/27

4/30/21/22/25/26/28/29填空：

填空：填空：37/39

31/3832/33/34/35/36/40计算：

计算：计算：44/50

4142/43/45/46/47/48/49应用：

应用：应用：51

证明：52证明：

证明：53

、选择题（每题2分，共60分）

在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

1.函数/（x）=ln（Jl+4-x）在定义域上是（）.

A.非奇非偶函数B.

无法判断奇偶性C.

偶函数

D.奇函数

2/（幻的定义域是那么/（e*）的定义域是（）.A.

(0,1]

B.[0,1]

C.（0,1）

D.[0,1）

3曲线>=:11,+1_》,2+6》+1在点（0/）处的切线方程与》轴的交点坐标为（）.

32

A.（」，。）

6

B.（-1,0）

1

C.（7,0）

6

D.（1,0）

4.当X->0时，芈+/-1与-1/2等价,那么.

2

A.0

B.oo

3

C.

5.极限lim3+2〃-4/2=（）.

"f83/-5〃+4

A.1

B.-1

sin4x

6.极限lim----=（）.

A。5X

A.1

5

B.一

4

4

C.-

5

D.-1

7.当x-0时，e?/-1是（d+2幻的无穷小（）.

A.等价B.

低阶C.

高阶

D.同阶但非等价

\a+\nx,x>1

8.函数J（x）=J在x=1处连续，那么a=（）.

a-1,<1

A.1

B.-1

1

C.

l-X,X<-1

9.设/(%)=,兀、，，那么无=一1是点（）.

cos-x,x>-\―

2

A.连续点

B.可去间断点C.

跳跃间断点

D.第二类间断点

10.函数/（x）在尤=a处可导，那么/（a+x）—/（a—x）=（）.

limx

.r-»0

A.2f'（a）

B._f(2a)

C.f'(a)

D.0

11./(x)=A.=,求广⑴=().

l+2x

-1B.1

C.一

3

11

D.

3

12.y-xex,求力'=().

A.(九一

B.(x-l)eAdx

C.(l+x)e'dx

D.xexdx

B设>=工的垂直渐近线为().

\+x

A.x=1

B.x=—1

C.y=1

D.y=-l

14.方程3x-2sinx=0(-o0cx<+oo)的实根个数为().

A.0

B.1

C.2

D.无穷多

15.求>=21+》+1的拐点().

A.x=0

B.(1,0)

c.(0,0)

D.(0,1)

16.在(a,初内，/'(x)=d(x),那么以下哪个正确().

A./(x)=奴x)

B.J疗(x)=-jd(p(x)

c.公］=［ja》)公］

D.f(x)=«x)+C

1

17.计算不定积分f公=().

1J1-2x

A.-In1—2x+C

21

B_ln(l-2x)+C

,2

CIn1—2尤+C

■I2

D.ln(l-2x)+C

18.costdt=().

dx2a

A.sin。一sina

B.0

C.sinx

D.sinx+C

19.当人为何值时，广义积分收敛().

J-00

A.k>。

B.ZNO

C.%<0

D.k<0

I51

20.假设/(%)在上［一1,5］可积，且［J。)公=1，\if(x)dx=2,求［3/(x)必:=

(J.

A.—2

B.2

C.一3

D.3

21.平面x—2y+7z+l=0和平面5x—y—z+5=0的位置关系是().A.

重合

B.垂直

C.平行

D.相交但不垂直

22.假设向量a=(6,x,—4)与向量A=(2,2)平行，那么x,y的值分别为().

A.4,-3

B.-3,-4

C.—3,4

D.—4,3

d2z

23.z=xln(x+y),那么=().

dxdy

A.

B.X

(x+»

y

C.

(无+>)2

D.y

24.一元函数在某点极限存在是其在该点可导的().A.

必要条件

B.充分条件

C.充分必要条件

D.无关条件

25.设。：f+尸49,那么9-JT-ydjcdy().

八D

A.18〃

B.36万

C.9万

D.6乃

26.设L是直线x+y=O上从（2,-2）到（一2,2）上的一段弧，那么，cos/tr=（）.

A.-2sin2

B.2sin2

C.-2cos2

D.2cos2

8

27.假设级数Z32,I+〃2"）收敛，那么以下说法正确的选项是（）.

n=l

00

A.必收敛

B.limw=0

…n

00

C.gw„未必收敛

00

1）.发散

28.函数y=Cev（其中C为任意常数）是微分方程y'—y=0的（）.A.

解

B.通解

C.特解

D.所有解

y=2ex-x2+x+l,那么y(520)1).

A.520ex

B.2e

C.2e520

D.0

30.在空间直角坐标系内，方程/(x)=6-1表示的二次曲面是().

A.抛物面B.

锥面

C.双曲柱面D.

单叶双曲面

二、填空题(每题2分，共20分)

31.极限=3.

fI3+x)

32.微分方程y'-10y'+9y=0的通解是旷=包

33./(l+x)=2x+3,那么/"⑴一3]=卫.

34.函数y=T)力的单调递增区间是.

X

35.不定积分J!dx=_□.

V1+X2

36,定积分十，sinx+d)dx=_□.

1广/

37.假设/=(f(x,y)dy,那么交换机分次序后/=_口

38.函数Z=犬+y2,那么全微分dz三二.

1

39.将函数/(%)=——展开成(2+冗)的基级数是.

2-x

求不定积分jxcosxdx.

)1

42.求极限lim[x-厂ln(1+)].

XfoOX

dzdz

43.设xy+xyz=2x-4y(xyw0),求，.

dxdy

f2x,x<03

44.设A')=i",x>。’求]/('一2)&

f3x+2y+l=0

45.求过点(9,8,5)且与直线(平行的直线方程・

|2y+z+l=0

46.计算二重积分JJxdxdy，其中D是由直线y=l,%=2及)，=x所围成的闭区域.

00x”

47.求级数——的收敛区间(不考虑两个端点的收敛性).

备5(〃+1)

48.求微分方程X+y=COSX(X>0)的通解.

।31

49.求函数丁二—^一一丁+僦——的极值.

323

50.求椭球面x2+2y2+3z2=9在点(2,1,1)处的切平面方程.

四、应用题(每题7分，共14分)

51.求曲线y=/与直线尤=2,y=0所围成的图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积.

52.注入人体血液的药品浓度随着时间的变化而变化。据临床监测，某麻醉药品在某人血液

中的浓度C与时间，的函数关系为C(r)=0.30f+0.04产—0.0004户,其中。的单位是毫

克，，的单位是秒。试问这种药品从注入此人的身体开始，经过多长的时间在其血液中的浓

度到达最大(提示：0收)784。0.0885,计算的最终结果采用四舍五入法保存小数点后

两位有效数字).

五、证明题(每题6分，共6分)

53设/(x)在［a,以上连续，(。,匕)内可导，/(a)=a,于(b)=b,且x句时

证明：至少存在一点Je(a,。，使得/C)=U/'C).

2022年河南省普通高等专科毕

业生进入本科阶段学习考试

高等数学

【参考答案】

一、选择题(每题2分，共60分)1.

【答案】D

【解析］/(_x)=,n(+X)=in

J1+无2—x

-ln(Vl+x2-%)=-/(%),那么/(x)为奇函数，应选D.

2.【答案】B

【解析】由f(x)定义域为口⑼，得lWe"e,解得0W尤＜1,即定义域为［0,1］,应选B.

3.【答案】A

【解析】由可得：切线斜率％=)1后0=9+%+6*)=6,切线方程为y=6x+l,与光

轴的交点即当y=0时得交点坐标为(二1,0),应选A.

4.【答案】C

【解析】当x-0时，jTT7Er-l~_1ax2,所以」I。幺=—二1/=a=-Q。，应选C.

5.【答案】D

【解析】分子分母最高鼎次相同时，极限等于最高事次系数比，故:

］加3+2〃-4/厂=一，应选口.

〃-83〃2-5〃+43

6.【答案】C

【解析】limSin4x=lim4x=4,应选C.

io5x1。5x5

7.【答案】C

【解析】由于lim^----=lim------=lim-----=0,可知当x-0时，e2x-1是

x2

^0x+2xx-。％+2xXTOX+2

W+2x的高阶无穷小，应选C.

8.【答案】A

【解析】由/(x)在x=1处连续，得lim/(x)=lim(〃+In犬)=。，

lim/(x)=lim(2ax-l)=2a-l,左极限等于右极限，即2。-1=々，故。=1,应选A.

9.【答案】C

_.71

【解析】由于limf(x)=limcos—x=0=/⑴，limf(x)-lim(l-x)=2^

/⑴，

一r「2

故/(x)在x-—1处不连续.乂左极限W右极限，那么X-—1是跳跃间断点,应选C.

10.【答案】A_______________

［解析】lim""+X)T(a一©=lim"。+")一于@+/(«)T9~%)

=lim"“+4一于©+lim""一-/⑷=/⑷+f'(a)=2/⑷，应选A.

11.【答案】A

y

【解析】先求出反函数，反解X=.，交换X，y得反函数丫=x’那么

l-2y

,r1(i)=-i:或也可根据反函数的值域即为原来函数的定义域，令，(无)=

得x=-l,即/1⑴=-1,应选A.

C

人二］,解

【解析】y'=e*+xe*=b(l+x),故6=(l+x)e'6k,应选c.1+2万一

xfT1+X

14.【答案】B

【解析】设/(x)=3x-2sinx,那么f'(x)=3-2cosx>0,由于-1<COSX<1,故

f\x)>0,/(x)单调递增，且f(x)在一8<%<+8有正有负，故只有一个实根，应选

B.

15.【答案】D

【解析】V=6x~+1,)，=12x,令y'=0得x=0,x>0时，y>0>x<0时，

y<0,故拐点为(0/),应选D.

16.【答案】D

【解析】由尸(x)=e'(x)可得：/(x)=ax)+C,即同一函数的原函数相差一个常数，应

选D.

17.【答案】C

【解析】由于J'—eZr=-~j-J(l-2x)=—~lnl-2x+C<应选C.

l-2x2l-2x2

18.【答案】B

【解析】由于求导后面是个定积分，定积分结果是个确定的常数，常数求导结果为0,因此

r

~jcostdt=costdt\-0,应选B.

dxaI")

19.【答案】C

［解析［f。*=］、公=胪攵=0,发散

,应选c.

士dx泮|收敛，k<(

)

\kCy像散，h

20.【答案】C

【解析】由题知：j'3f{x}dx--3j3f{x}dx---3rJ'f(x)dx+^f(x)dx^

=-3^-J'f(x)dx+^f(x)dx^=-3(-1+2)=

-3,应选C.

21.【答案】B

>-->—>—>

【解析】法向量为“I=(1,-2,7),法向量为“2=(5,-1,-1)，因两平面法向量0，那么

两平面垂直，应选B.

22.【答案】A

6x—4fx=4

【解析】两向量平行，对应坐标成比例—=——=—=-2=><!,应选A.

y-22|y=-3

23.【答案】C

dz,z、尤一，

=ln(x+y)+dz_1%=y

【解析】c,；d=/,、2―/、2，C.

dxx+ydxdyx+y(x+y)(x+yy

24.【答案】A

【解析】可导必连续，连续那么极限一定存在，反之不成立，那么一元函数在某点处极限存

在是在该点可导的必要条件，应选A.

25.【答案】A

14

【解析】由二重积分的几何意义可知,尤2_y2^dy=一.一万,33=18万，应选A.

D23

26.【答案】A

【解析】L为y=_x,%从2——2,原式

=jcosydx=jcos(-x)dx=-sin(-x)「2=sinx「?-2sin2

L222,应选A.

27.【答案】C

+“)=((-I)2"-1+(-l)2n)=0

£(T)"£(〃

【解析】选C举例:乙><

M=1?Z=1〃=1

MOD2/(-L^7

Mon2」

n=\

Mon

收

敛

而=2(T)"发散'排除A；lim”=lim(-l)"不存在，排除B；再举例:

n=lrt=l

COCO0000co00

+“2〃)=^^(0+0)=0收敛,而〉"n=Wi。收敛，应选C.

/»=!n=ln=\?i=l/i=lH=1

28.【答案】A

【解析】因y=CeX满足该微分方程，应选A.

29.【答案】B

【解析】(e'J'”=e",〃>m,加,〃wN+，时，(x™)(°=0,应选B.

30.【答案】c

【解析】方程f-y2=1符合柱面特征，缺变量，应选c.

二、填空题(每题2分，共20分)

31.【答案】

(3>­(八；a

【解析】lim'+=lim|l+5H3+Jt

—入3+xJ3+xJ

32.【答案】y=Cex+Cegx

I2

【解析】特征方程为产-10厂+9=0,特征根r=9,r=1，故通解为丁=C炉+C/其

I212

中C1,G为任意常数•

33.【答案】4x—3

【解析】令x+1=r,x=r—1,所以/(X)=2x+\,故

/[/U)-3]=/(2X+1-3)=f(2x_2)=4x-3.

34.【答案】(1,+8)

f

【解析】y=J%—1)力为变上限函数，求导得r(x)=(『(f—i)d/\=x—i,令

0I0)

%-1>0,故得X>1,所以单调递增区间为(l,+oo).

35.【答案】6+1+C

【解析】1口—dx=d(x2+1)=nm+C.

而2而

2/

36.【答案】——

3

7727r3

[解析]j(x6sinx+x2)Jx=2£^dx=

II

37.【答案】14yjq/(x,y)公

【解析】交换积分次序£dx\af(x,y)dy=/(x,y)dx.

38.【答案】2xdx+2ydy

【解析】上=2x，5=2y,dz=_fZdx+^Zdy=2xdx+2ydy.

dxdydxdy

39.【答案】£・0+2)”'''(一6,2)

_111=1皎土潮，x

Mov=.1----------------------------丁一

M°v+解析］.,.1Z/+i•

2-x4-(x+2)4(x+2)〃=o4

4

40.【答案】一tanr

q

_______ccYf•(—sinf)=­tant•

【解析】dy=dy/dt=2_

Mov

dxdxIdt3§出2f-cost

2

三、计算题(每题5分，共50分)41.

【答案】xsinx+cosx+C

【解析】原式=Jx(sinx)rdx=jxt/sinx=xsinx-Jsinx6tx=xsinx+cosx+C.

42.【答案】1__

2

【解析】令fJ，那么x=l，

Xt

bA4ftG令，1-丁t1

原式=hm［-］=hm-侬I"1」t八)=lim=

sot产—opz->o2t7241+。2

dzy+yz-2dzx+xz+4

43.［答案］—=~~---:-----;-=----------

oxxydyxy

【解析】令尸(x,y,z)=孙+xyz-2x+4y,

羽陷F/=y+yz-2»F：=X+XZ+4,F'=xy'

；；

-d-z=—-F-------y-+--y--z----2--dz-__F__—___x__+__x_z_+__4

dxF；xydyxy

44.【答案】」

3

【解析】令x-2=f,那么公=力,当尤=1时,，二-1；当元=3时,/=1,

f2t,t<0

又"『向>。

2

故原式=j：/V)df+j：f(t)dt=J：2"+fJtdt=t^+|/2||=_2

45.【答案】x-9_y—8_z-5

~T~-3~~6~

f3x+2y+1=0-

【解析】设直线£+z+]=°的方向向量为邑，那么

->

k

—>—>—>f3x+2y+l=0

S]=320=2"3J+6^=(2-3,6),又所求直线与直线归+z+l=。平行,故所

021

求直线的方向向量为1=（2,-3,6）,又所求直线过点（9,8,5）,那么所求直线方程为

x—9y—S_z—5

~^2=36~•

46.【答案J5

6

fy=x

【解析】联立方程]y=l,解得交点（2,2）,（1,1）,（2,1）,

x=2

225

xdxdy=2t=[（孙）门公=（^一外仆

”[dx[xdyI-I6-

47.【答案】（—5,5）

0=lim]—|=lim5：(〃+1)=].,所以收敛半径R=，=5,故收敛区间为

【解析】

Fa“Ii5"M(〃+2)5P

(-5,5).

48.【答案】」(sinx+C)，C为任意常数

X

1COSX-J，dx「COSX\-dxi

【解析】y'+_y=-----,所以y=ex|J-----6、dx+C\

xxL.xj

=e-inx「J空