2022届山东省胶州高考数学押题试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设等比数列｛q｝的前〃项和为S“，贝！J"％+4<2%”是“$2,1<0”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

3.2021年某省将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政

治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

1111

A.—B.-C.—D.一

8462

4.已知向量心5满足同=4,5在歹上投影为-2,则忖—3方的最小值为（）

A.12B.10C.V10D.2

（x-l）zr

sin-------]<x<3

5.已知函数”x）=,2'一一，若函数/（x）的极大值点从小到大依次记为q；4?，，并记相应的极

2/(x-2),3<x<100

大值为4也,?也，则Z（q+4）的值为（）

A.250+2449B.250+2549C.249+2449D.249+2549

6.如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为()

口口口

正视图侧视图俯视图

216

A.—B.—C.6D.与点。的位置有关

33

7.已知实数集R,集合A={x[l<x<3},集合3==则AC(CRB)=()

y/x-2J

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<3}C.{x|2<x<3]D.{x|l<x<2}

8.已知6，工是双曲线C:——y2=i(a>0)的两个焦点，过点6且垂直于x轴的直线与。相交于A,8两点,

a~

若|A8|=J2,则4AB与的内切圆的半径为()

D.述

A.也B.也C.巫

3333

2-i

9.在复平面内，复数z=——(i为虚数单位)对应的点位于()

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.已知复数z满足(z-i)(-i)=5,则z=()

A.6/B.-6iC.-6D.6

高分别为2,a,b,且2a+b=|(a>0/>0),

11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、

则此三棱锥外接球表面积的最小值为()

X区

正倜倒阳B

总

1721

A.—71B.—71C.4%D.57r

44

12.集合4={尤卜2一%—2<0},3={乂》—1<0},则AUB=()

A.|x|x<l}B.|x|-l<x<l}

C.{x|x<2|D.|x|-2<x<1}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知双曲线；-2=13>0力>0)的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,6),则双曲线的焦距为.

ab~

14.设S“是等比数列{a,,}的前〃项的和，S3，S9，S$成等差数列，则一~1的值为.

as

15.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有

一名参加，则不同的选法种数为.(用数字作答)

16.已知sin|a+—|=一，且一<a<—,贝i]cosa=________.

V4；544

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=2cosa[x.=x

17.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为.(c为参数，将曲线C经过伸缩变换।c

y=sina[y]=2y

后得到曲线G.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为夕cosO+Qsin。-5=0.

(1)说明曲线G是哪一种曲线，并将曲线G的方程化为极坐标方程；

TT

(2)已知点M是曲线G上的任意一点，又直线/上有两点E和尸，且IE/1=5,又点E的极角为万，点F的极角

为锐角.求：

①点尸的极角；

②面积的取值范围.

18.(12分)已知椭圆C：[+当=1(a>〃>0)的离心率为业，点P—1,坐在椭圆上.

a-b-2k2J

(I)求椭圆的标准方程；

(11)设直线丫=履+〃1交椭圆。于48两点，线段A3的中点M在直线x=l上，求证：线段A8的中垂线恒过定

点.

19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，AC=BC=2,NACB=90°，侧面加5为等边三角形，侧棱PC=20.

p

(1)求证：平面Q46J_平面ABC；

(2)求三棱锥P-ABC外接球的体积.

20.(12分)已知。涉都是大于零的实数.

(1)证明土+纥.〃+力；

ba

.2a1

(2)若。>4>,证明a~+y7+—---->4.

ba(a-b)

21.(12分)某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采

用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间(单位：小时).

(1)应抽查男生与女生各多少人？

(2)根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：

时间(小时)[0,1](1,2](2,31(3,41(4,5](5,6]

频率0.050.200.300.250.150.05

若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时,请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表,

并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？

男女总

生生计

每周平均体育锻炼时间不超过2小时

每周平均体育锻炼时间超过2小时

总计

n(ad-bcY

(a+6)(c+d)(a+c)(O+"),

P(不泌0)0.1000.0500.0100.005

402.7063.8416.6357.879

1

x=u-\—t

2

22.(10分)在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为「Q为参数，aeR).在以坐标原点为

y=6a--r

I2

极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为3夕2cos2。+4炉sin?6=3.

(1)若点A(2,0)在直线/上，求直线/的极坐标方程；

(2)已知。>0,若点P在直线/上，点。在曲线C上，且IPQI的最小值为立，求。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

首先根据等比数列分别求出满足4+%<24,$2,1<。的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

【详解】

{4}为等比数列，

若<2%成立，有q(q2_2q+l)<0,

因为「一24+120恒成立，

故可以推出4<0且

若S2,i<0成立，

当4=1时，有％<0,

当时，有「^_Z<0,因为一一>0恒成立，所以有“<0,

\-ql-q

故可以推出4<0,geR,

所以“q+生<2%”是“邑,i<0”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

2.D

【解析】

结合三视图可知，该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.

【详解】

由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆

锥的体积M=1x1x47rx2G=生匣，下半部分的正三棱柱的体积力=,x4x2百x4=16百，故该几何体的体积

1233~2

V=乂+匕=生"+166.

故选:D.

【点睛】

本题考查三视图，考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.

3.B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有C；C：=12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有C；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率P==

故选B.

4.B

【解析】

根据5在万上投影为-2,以及COS<M,B>W[-1,0),可得问四二？；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为

模长和夹角运算，代入向.即可求得忖-3司..

IIminIImin

【详解】

5在2上投影为一2,即WCOS<@,5>=-2

|^|>0cos<a,b><0

又cos<a,h>G[-1,0).♦.,1.=2

o-3^|=52-6a-b+9b2=|a|2-6|«|bcos<a,b>+9|/?|=9b+64

.-.la-3^1=79^4+64=10

Ihnin

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题

关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到网的最小值.

5.C

【解析】

对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当x=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,

而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点an的通项公式4=2〃，且相应极大值

勿=2”1分组求和即得

【详解】

当时，

显然当x=2时有，/'(x)=0,

...经单调性分析知

x=2为Ax)的第一个极值点

又,.•3<x4100时，f(x)=2f(x-2)

二x=4,x=6,x-S,...»均为其极值点

V函数不能在端点处取得极值

二=2〃，1<<49,neZ

...对应极值a=2"T,1<«<49,nwZ

.、(­)=如逊道+此2g=2”+2449

；=121-2

故选：c

【点睛】

本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列

和函数的熟悉程度高，为中档题

6.B

【解析】

根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.

【详解】

如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，

正方体的体积为8,四棱锥的底面是边长为2的正方形，

顶点0在平面AOAA上，高为2,

1Q

所以四棱锥的体积为4x4x2=：；,

33

所以该几何体的体积为8--=—.

33

故选:B.

【点睛】

本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.

7.A

【解析】

x/T^>0可得集合8,求出补集。理,再求出AC(CRB)即可.

【详解】

由Jx—2>0,得x>2,即B=(2,+℃),

所以C*=（-oo,2],

所以Ac（CM）=（l,2].

故选:A

【点睛】

本题考查了集合的补集和交集的混合运算，属于基础题.

8.B

【解析】

设左焦点士的坐标，由A5的弦长可得。的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABB

的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.

【详解】

由双曲线的方程可设左焦点£（-c,0）,由题意可得AB="=血,

a

由Z?=l,可得a=J^，

r2

所以双曲线的方程为：—-/=1

2

所以耳（一6,0）,6（后,0），

所以S.ABF]=gAB•F\F]=；-O=底

三角形A3B的周长为。=43+46+36=AB+（2a+A耳）+（2a+BF；）=4a+2AB=40+20=60

设内切圆的半径为r,所以三角形的面积5=1-。7=工-6披"=307，

22

所以35/2r=V6>

解得r=3,

3

故选：B

【点睛】

本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角

形的面积可得半径的应用，属于中档题.

9.C

【解析】

化简复数为a+折(a、beR)的形式，可以确定z对应的点位于的象限.

【详解】

解：复数z=?=^^=-(2,•一产)=-l-2i

故复数二对应的坐标为(-1,-2)位于第三象限

故选：C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题.

10.A

【解析】

由复数的运算法则计算.

【详解】

因为(z—i)(T)=5,所以z=』+i=6i

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的运算.属于简单题.

11.B

【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而

得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值.

【详解】

由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥A-C耳。「且

长方体ABC。-4旦a。的长、宽、高分别为2,a,匕，

.•.此三棱锥的外接球即为长方体A5CO-AgG。的外接球,

且球半径为R='="+/+/,

22

•••三棱锥外接球表面积为4万"+="(4+/+层)=5〃(。-1)2+巫，

\7

1?!

当且仅当。=1,匕=—时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为二乃.

24

故选B.

【点睛】

(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆

面起衬托作用.

(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通

过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.

12.C

【解析】

先化简集合A,B,结合并集计算方法，求解，即可.

【详解】

解得集合A={x|(x-2)(x+l)<0}={x|-l<x<2},B={x\x<1}

所以AuB={x|xK2},故选C.

【点睛】

本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B,难度较小.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

222L.

由双曲线十台叱。的渐近线“六•以及求得，的值即可得答案.

【详解】

22_

由于双曲线，=1(。>0,b>0)的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,V3),

2

所以工=幺=1,即0=〃2①,

C

把(1,6)代入y=得力=2,即=②

aa

又/+b2=。2③

联立①②③，得c=2.

所以2c=4.

故答案是：1.

【点睛】

本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,8)”这一条件的运用，另外注意题目

中要求的焦距即2c,容易只计算到c,就得到结论.

14.2

【解析】

设等比数列｛为｝的公比设为q，再根据53,59,s6成等差数列利用基本量法求解q,再根据等比数列各项间的关系求解

【详解】

解：等比数列｛4｝的公比设为4，

S3，Sg,S6成等差数列，

可得2s9=邑+56，

若q=l,则18。［=3。］+6q,

显然不成立，故qwl,

则2.4=4”,

\-q\-q1-q

化为2。6=1+八

解得/=-1,

1」

则出+%=囚+。”=1±4=」=2

4q/q,1

4

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.

15.1

【解析】

由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得

不同的选法种数为9+9+5=1,得解.

【详解】

①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C：-C；=9,

②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为-仁=9,

③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C；=5,

综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题.

1fiV2

10

【解析】

试题分析：因三＜a＜红，故2＜a+2V肛所以cos(a+2)=-«k二，=一2，

44244V255

R.JC.%,43、广+吉V2

COStZ=COsf(CEd)1=(―h—)-------，应填-----•

442551010

考点：三角变换及运用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)曲线G为圆心在原点，半径为2的圆.G的极坐标方程为。=2(2)①(②--5,-^—+5

【解析】

(1)求得曲线。伸缩变换后所得G的参数方程，消参后求得G的普通方程，判断出G对应的曲线，并将G的普通

方程转化为极坐标方程.

(2)

①将E的极角代入直线/的极坐标方程，由此求得点E的极径，判断出AEO/为等腰三角形，求得直线/的普通方程,

7T34

由此求得NEEO=—,进而求得==,从而求得点尸的极角.

48

②解法一：利用曲线G的参数方程，求得曲线G上的点M到直线1的距离d的表达式，结合三角函数的知识求得d的

最小值和最大值，由此求得△项加面积的取值范围.

解法二：根据曲线G表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆G上的点到直线/的距离的最大值和最小值，进而求得

尸面积的取值范围.

【详解】

(1)因为曲线C的参数方程为｛.(a为参数)，

y=sina

x.=x,fx,=2cosa,

因为c则曲线G的参数方程c.

y=2y[yt=2sina

所以G的普通方程为片+弁=4.所以曲线C,为圆心在原点，半径为2的圆.

所以G的极坐标方程为22=4,即0=2.

TT

(2)①点E的极角为万，代入直线/的极坐标方程夕85。+户山。-5=0得点后

极径为。=5,且|防|=5,所以AEOE为等腰三角形，

又直线I的普通方程为4+y-5=0,

7T3乃

又点尸的极角为锐角，所以/比0=7，所以N/0七=二，

48

一、、冗3"71

所以点尸的极角为彳——=—•

288

②解法1：直线/的普通方程为1+y-5=0.

曲线G上的点M到直线/的距离

25/2sin。+匹]-5

,|2cosa+2sina—5|14).

限—F—二—6—

当sin(a+?)=l,即a=2Z乃+?(AeZ)时，

,rf-zr.lS.||2>/2-5I5j5

d取到最小值为---j=~~-=--------2.

V22

当sin(a+?)=-l,即二=2%万一^(&wZ)时，

25夜,250.1

故AEA/尸面积的取值范围3,+3I•

44

解法2：直线/的普通方程为x+y—5=0.

因为圆G的半径为2,且圆心到直线I的距离d=回尸=述

722

因为述>2,所以圆G与直线/相离.

2

所以圆G上的点M到直线/的距离最大值为d+r=—+2

2

最小值为d—r=—2.

2

।5A/225J2

所以AEM尸面积的最大值为,x5x—+2==—+5

1/c/n\nc

所以AEA/E面积的最小值为5“5X—^―-2-----5

故△£/“尸面积的取值范围

【点睛】

本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直

线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼

考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

18.(I)—+/=1；(H)详见解析.

4'

【解析】

(I)把点p代入椭圆方程，结合离心率得到关于。力的方程，解方程即可；

(H)联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即

可证明.

【详解】

(I)由已知椭圆过点坐]得，1+工=1,

I2Ja44

又e=£=.11=­»得/=4b2»

aVa22

所以/=4万=],即椭圆方程为、+y2=l.

4

人2_［

(II)证明：由49得(1+4K+8Z77zx+4m~-4=。，

y=kx-vm

由△=64sM-40+4公乂4加一4)=-16裙+64公+16>0,^m2<1+4)12,

上士工…e—rzH8km

由韦达定理可得，x+x.=-------

1~1+4公9

设43的中点M为伉,%),得x0=—IR=1，即1+4公=-4痴，

1十^TK

.m1

°』1+4公4k

AB的中垂线方程为y+」=-}■(x-D,即y=无一］］，

4kkk\4J

故A3得中垂线恒过点N(1,0.

14；

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综

合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.

19.(1)见解析；(2)丝四》.

27

【解析】

(1)设中点为。，连接P。、CD,利用等腰三角形三线合一的性质得出PD_LAB,利用勾股定理得出

CDVPD,由线面垂直的判定定理可证得平面ABC,再利用面面垂直的判定定理可得出平面248,平面

ABC,

(2)先确定三棱锥ABC的外接球球心。的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求

得结果.

【详解】

(1)设A3中点为。，连接P。、CD,因为AP=3P,所以

又AC=BC,所以CDLAB,

又由已知NAC5=9(r，AC=BC=2,则4B=2及，所以AD=BD=CD=O，.

又AR48为正三角形，且/Y5L45,所以PD=巫,

因为PC=2血，所以PC2=CD2+PD2,：.PDLCD,

•.♦CDnA8=£>,.•.PD_L平面ABC,

又P。u平面,二平面%8J_平面ABC；

(2)由于。是底面直角三角形ABC的斜边AB的中点，所以点。是AABC的外心,

由(1)知产。，平面A8C,所以三棱锥「一ABC的外接球的球心。在PZ)上.

在&APDC中，PC的垂直平分线与PO的交点即为球心。，

记PC的中点为点E,则。ELPC.

PEPD

由RMEO与&APOC相似可得——=——,

POPC

PEPC0x202指

所以P0=

PD-飞--亍

所以三棱锥P—ABC外接球的体积为万x[皂5]=竺近万.

313J27

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理

能力与计算能力，属于中等题.

20.(1)答案见解析.(2)答案见解析

【解析】

，h2

(1)利用基本不等式可得幺+腿”,幺+a2b,两式相加即可求解.

ba

(2)由(1)知/./a+b-—=ab+?,代入不等式，利用基本不等式即可求解.

Ia)a

【详解】

2/2

(1)—+h^a,—+a2b

ba

i22

两式相加得幺+幺..〃+。

ab

(H(a-b)

(2)由(1)知Q=.〃Q+Z7------=ab+

Ia)a

十口2。1；b2(a-b)a1

于是，a—---------一abH-----------------------1—H------