2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合二十七（含解析）

综合二十七-【新教材】人教A版(2019)

高一数学暑假作业(含解析)

一、单选题

1.已知集合4={x|x-aWO},B={1,2,3},若4nBr。，则。的取值范围为()

A.1]B.[l,+oo)C.(一8,3]D.[3,+oo)

2.已知函数/0)=品，下列关于/Q)的性质，推断正确的有)

①函数的定义域为R②函数是偶函数③函数f(x)与f(x-2)的值域相同

④/(%)在(0,1)上递增⑤/(%)在[1,2]上有最大值1

A.2B.3C.4D.5

3.已知a邛6(0,9且tan/?=无翳急，则tan(a+2夕+》=()

A.1B.-gC.-1D.-V3

4.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为7°,

则经过一定时间，后的温度T将满足丁-Ta=-兀)，其中兀是环境温度，

人称为半衰期.现有一杯85冤的热茶，放置在25K的房间中，如果热茶降温到55国,

需要10分钟，则欲降温到45汽，大约需要多少分钟？()(1^2«0.3010,lg3«

0.4771)

A.12B.14C.16D.18

5.已知非零向量年后满足|五|=|石|=|五一方|=1，1=2五一万，则cos©E)=()

A.OB.；C.-或D.1

223

6.若复数z满足(1+。2=3+氏其中，是虚数单位)，复数z的共扼复数为2,则下列

说法错误的是()

A.|z|=V5

B.z•2=5

C.z的虚部是1

D.复数2在复平面内对应的点在第一象限

7.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺

的重要组成部分.下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这

9年的统计信息，下列说法正确的是()

2012-2020年我国快递业务量变化情况

口快递业务量（亿件）。同比增速

A.这9年我国快递业务量有增有减

B.这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%

C.这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%

D.这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

8.设机，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，给出下列四个命题:

①若m_La,n〃a,则m_Ln；

②若01〃11,n〃a,则m〃a；

③若m〃n,n10,m〃a,则a10；

④若mnn=A,m//a,m//p,n//a,n//£,则a〃«.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.下列各式中，值为［的是（）

、tan22.5°B.tanl5°-cos215°

'l-tan222.5°

\/3onV3.o7Ti

C-----COSZ--------------sin^一D.

31231216sin50°16cos50°

10.已知a,〃均为正数，且。—b=l,则（)

A.a>AB.2Q-2b>1C.D“+”3

2/Fab

第2页，共23页

11.对于团力BC,有如下命题，其中错误的是()

A.若siMA+siMB+cos2c<1,贝旭4BC为锐角三角形

B.若4B=b，AC=1,B=30。，则的面积为当

C.P在回4BC所在平面内，若PX+而+同=6,则P是EMBC的重心

D.若sin24=sin2B,则回ABC为等腰三角形

12.如图，点P在正方体的面对角线Bq上运动，则下列四个结论正

确的是()

A.三棱锥4-5PC的体积不变B.AXP〃平面AC/

C.DP1BC]D.平面Pg平面AC。1

三、填空题

13.已知。是第四象限角，且COS。那么sin?+》的值为_.

5COS(20-67T)

14.方程4*=logaX在(o曰上有解，则实数。的取值范围为.

15.(1)如图，在梯形ABCD^,ABUCD,CD=2,4BAD=也若而.AC=2AB-AD，

则而•AC=-

(2)在△ABC中，已知同与前的夹角是90。，|四|=2，|而|=1,M是BC上的

一点，且祠=4而+〃前eR)，且宿瓦=0，则:的值为.

16.如图，已知点S为固4BCD所在平面外一点，S2_1_平

面A8CZ),点E在SD上，SB〃平面ACE,AB=

AC=3,乙4BC=三若三棱锥E-ACD的体积为三

则S4=，点A到平面SBC的距离等于.

BC

四、解答题

17.已知函数/'(x)=4cosxsin(x+：)+a的最大值为2.

(1)求a的值及/(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在卜Q,。］上的取值范围.

18.在直角梯形ABCD中，已知4B〃CD,NO_4B=90°,4B=6,4。=CD=3,对角

线AC交8。于点。，点M在AB上，且0M1BD.

(1)求前•熊的值；

(2)若N为线段AC上任意一点，求而.而的取值范围.

第4页，共23页

19.某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60

名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中

毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校.现从这6名同学

中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).

(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；

(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；

(3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率.

20.已知函数/(1)=1,旭；,的图象关于原点对称，其中。为常数.

(1)求a的值；

(2)当xe(1,+8)时，L)＜，〃恒成立，求实数〃？的取值范围;

(3)若关于x的方程/(为=log；。+外在［2,3］上有解，求k的取值范围.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是平行四边形，NBCD=135。，侧面P4B1

底面ABC。，^BAP=90°,AB=AC=PA=6,E,F分别为5C,A。的中点，点

M在线段PO上.

(I)求证：平面EFP_L平面PAC；

(口)确定加点的位置，使得ME〃平面PAB：

(IE)当MD=2PM时，求三棱锥D—MEC的体积.

第6页，共23页

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查集合关系中的参数取值问题，考查集合中元素的个数问题，属于基础题.

由条件可知123这三个元素至少有一个在集合A中，因此只要保证164即可，继而可

得结果.

【解得】

解：集合4={x\x<a},集合B={1,2,3},

若力nB羊。，则1,2,3这三个元素至少有一个在集合A中，

若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，

因此只要保证164即可，所以a21.

故选B.

2.【答案】B

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查了函数的定义域与值域，函数的单调性以及函数的对称性等知识点，属于

中档题.

根据解析式求得定义域，利用基本不等式可求得f(x)的最值，利用特殊值可判定图象不

关于直线X=1对称，利用特殊值判断f(x)在口,+8)上不是增函数.

【解答】

解：・.•函数f(x)=岛，.•.定义域是(一8,+8),故①正确；

f(-x)=(_或：+1=一品•=-f(x),故函数为奇函数，②不正确；

当x=0时，/(x)=0,当X40时，〃>)=不，

X

2

令g(x)=x+-,

__2

由对勾函数的性质可知：g(x)=X的值域为(一8,-2应]U[2V2,+oo)

・・•/(X)的值域是卜,，苧，

令t=x—2,则f(t)=去，同上得值域为卜?，卦故③正确；

1

g(x)=x+：9在(0,1)上单调递减，则/。)=”在(0,1)上单调递增，故④正确；

xX

由基本不等式当％=鱼时，f(X)max=3=与，故⑤错误；

综上，①③④正确.

故选艮

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式、两角和与差的三角函数及诱导公式的应用，属中档题.

依题意，由tan£=,i+c°s2：得＜小(0+力siiiJ,所以+力«»(-,从

「2cosa+sm2a''2

而得c+2J=进而可求tan(a+2£+)的值.

【解答】

.四=1+COS2",

^cosp2cosa+sin2a

可得sin£_2cos2a_cosa

,cos/72cosa+2sinacosa1+sina

可得：sin/?+sinasinjff=cosacosj?,BPcos(a+0)=sin/?,

由a/e(o,＞得a+06(0,兀)，

故a+?=]_/?,即a+20=

则tan(a+20+g)=—今

故选B.

4.【答案】C

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查指数函数的性质，指数函数的综合应用.

先由70=85,T=55,兀=25,t=10,求出力的值再将7=45代入求出f的值.

第8页，共23页

【解析】

解：依题意，可令70=85,7=55,几=25,t=10,代入式子得:

110「,

55-25=(85-25)(］不，解得h=10,

又把7=45代入式子得45-25=(85-25)(|)«,

则(犷=/

104771

。(寿而)x

•1•t=lOlogi-=10log23=10log23=116.

故选C.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积和向量的夹角及余弦定理，属于基础题.

根据题意，将向量日石转化为丽，而滑出三角形ABC为等边三角形，再根据余弦定理

得出=AC2+CD2,进而求出答案.

【解答】

解：设立=4B，AD=2a,b=AC>

则五一至=荏一尼=方;乙=2五一B=而一而=说;

因为同=|同=|2一3=1,所以三角形ABC为等边三角形，所以NA：

AD2+AC2-CD2

所以cos4=cos—=,即!=短黑解得c“=百；

2xADxAC

所以4£>2=AC2+CD2,

所以乙4CD=W，所以cos（N,T）==0,

故选A.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的是复数的概念、复数的四则运算，复数的模，共轨复数等知识.属于基础题.

化简复数得二=2i,再逐项判断即可得出答案.

【解答】

解：•；(1+i)z=3+i,

...Z=丑="(I)=Ti=

"1+i(l+i)(l-i)2，

\z\=V22+l2=V5>故4正确，

z-z=(2-i)(2+i)=4+l=5,故B正确；

z的虚部是-1,故C错误；

复数2=2+i在复平面内对应的点为(2,1),在第一象限，故。正确.

故选C.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了条形图，中位数，是基础题.

根据统计图逐个分析选项即可.

【解答】

解：由条形图可知，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；

将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%,26.6%,28.0%,30.5%,

48.8%,51.4%,51.9%,54.8%,61.6%,

故中位数为第5个数48.8%,故8错误；

这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%-25.3%=36.3%>36%,故C错误；

由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，

故快递业务量的平均数超过210亿件，。正确.

故选D.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了线面平行的性质，线面垂直的性质，空间直线与平面的位置关系，线面垂直

的判定，面面垂直的判定，面面平行的判定和线面平行的判定.

第10页，共23页

利用线面平行的性质和线面垂直的性质得①为真命题；利用空间直线与平面的位置关

系得②不是真命题;利用线面垂直的判定和线面平行的性质及面面垂直的判定得③是真

命题；利用线面平行的性质和判定及面面平行的判定得④是真命题，从而得结论.

【解答】

解：①因为n〃a,所以在a内必存在一条直线n0,使得n〃n（）.

又因为7nla,所以m_Lno，因此m_Ln,因此①为真命题；

②因为zn〃n,n〃a,则m〃a或mua,因此②不是真命题；

③因为_L夕，所以ml/?.

又因为?n〃a,所以在a内存在m（）〃ni.

由mJ.£得nio，S，所以al£,因此③是真命题；

④因为mein=4,由n〃a,m//a,得在a内必存在wi],且叫与相交，

使得ni〃n,m1//m.

又因为m〃氏n〃0,所以nJ/"mJ",所以a〃四，因此④是真命题.

故答案为C.

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查二倍角公式，辅助角公式，诱导公式的应用，属基础题.

利用二倍角的正切公式可求A;利用切化弦以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的

余弦公式可求解C;利用二倍角公式，以及辅助角公式，诱导公式可求解d

【解答】

解：A符合，原式="言令/tan45。=/

B不符合，原式=tan15°•cos215°=-------cos215°

cos15°

=cos15°sin15°=-sin30°=

24

符合，原式=—22

C3('cos-12—sin—12)7=­3•cos6-=2

5八_1fcos50o+V3sin50°\_12sin(5(r+30。)_14sin800_1

D不付口，原式一NIsin500cos50。716isinlOO0--16'sin80°-4-

2

故选AC.

10.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题主要考查指数的性质、不等式的性质和基本不等式的应用，属于中等题.

利用a=b+l以及指数运算、基本不等式等依次验证每个选项的正误，进而得到正确

选项，要注意等号成立的条件.

【解答】

解：已知”，人均为正数，

a—b=1,・•・a-2y[b=b+1—2y[b-(y[b—l)2>0,

当且仅当Q=2,b=1时等号成立，故a>2声，故A选项错误.

va—=1,a=64-1,且a>0,b>0.

・・.2a-2b=2b+1-2b=2•2匕-2b=2万，

vb>0,・•・2^>1.

即2a—2匕>1,故8正确；

414(a—b)a—b/4ba\

a~b=~^------------~=5~^+b)

<5_2叵工=1,当且仅当竺=三即a=2b时等号成立，故C正确；

、qabab

因为a,人均为正数，且a—b=l,

••a+-=b+l+->2[b^l+l=3,(当且仅当a=2,b=1时等号成立)，

bb7b

所以，a+[>3,故。选项错误.

o

故选BC.

第12页，共23页

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及向量的加法、减法运算.

利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及向量的加法、减法运算性质，逐一求解

即可.

【解答】

解:对于选项A：若sin24+sin2B+cos2c<1,则

siMa+sin2B+cos2C<sin2c+cos2C=>sin2A+sin2F<sin2C,

由正弦定理知：a2+b2<c2,

由余弦定理知：cose—“丁<0,又因为()<。<开，所以C为钝角，故A错误;

2ab

对于选项8：由余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB,

即1=3+BC2—2XBX在8C,解得：8c=1或2,则

2

111V3

SAABC=二BC,AB,sinB=—1x1xv3x-=——

△A"2224

或SA48c=:BC-AB-sinB=1x2xV3x|=当，故B错误；

对于选项C：设AB的中单为£>,则对+方=2而，因为药+而+瓦!=6，

所以2万=—定，则P为CD的靠近。点的三等分点，由重心性质知，P为回ABC的

重心，故C正确；

对于选项。：若sin2H=sin2B,A,B为三角形的内角，贝lj2A=2B或2.4+23万，

即4=8或4+2?I，所以团ABC为等腰三角形或者直角三角形，故。错误；

故选ABD.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、

垂直的判定，要注意使用转化的思想，属于中档题.

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

【解答】

解：对于A,由题意知ADJ/BG，ZD】u平面/AC,BG,平面4。道，

从而BCi〃平面4%C,

故BCi上任意一点到平面2。道的距离均相等，

所以以P为顶点，平面4。修为底面的三棱锥P-A5C,即三棱锥A-DiPC的体积不变,

故A正确；

对于B连接&B,&G，则&CJ/4C,

又ACu平面4AC,C平面4。道，

•••4G〃平面4D1C,

由A知：BG〃平面AD1C,BGn&G=Ci，

・•・平面B&C1〃平面4CD1,

又41Pu平面B&Ci，

2P〃平面4皿.

故B正确；

对于C,由于DC，平面BCQB「所以DC1BQ,

若DP1BC「贝UBG_L平面DCP,

则BCilPC,则尸为BCi中点，与尸为动点矛盾,

故C错误；

对于D,连接DBi，由。Bi1ACS.DBr1AD^

可得DB11平面AC/,

又DB]u平面PDB「

二平面PDBi1•平面ZCDi，

故。正确.

故选ABD.

13.【答案】:巫

14

【解析】

第14页，共23页

【分析】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础

题.

由同角三角函数的基本关系得Sin。，利用两角和公式及二倍角公式化简刈“".J求

cu«(2fl—6?r)

解即可.

【解答】

解：依题意，有：sin6=

sin(0+今sinScos空+cosSsin?

cos(20—6TT)COS20

==5V2

2x(》2-l14•

故答案为2.

14

14.【答案】(oj：

【解析】

【分析】

本题考查了根据方程有解求解参数的范围，借助指数函数图象与对数函数图象即可求解,

属于中档题.

【解答】

(0厘的图象如下图:

x

若方程4'=logM在(0曰上有解，则yi=4,y2=logM在(0,，图象存在交点,

由图象可知，0<a<1,

2

-且logag445=logaI<2=Iogai<Iogaa,

172

a2<-=>0<a<—,

22

故实数a的取值范围为I?.

15.【答案】12

1

4

【解析】

(1)【分析】本题考查向量的数量积和向量加法，中档题，

根据题意得至U|而|=2近，再利用向量数量积计算即可，

【解答】解因为通•前=2说•而，

所以宿・3?一希•而=希•而，

所以荏•反=布,而.因为AB〃C£>,CD=2,Z-BAD=p

所以2|四|=\AB\\AD\cos^,

化简得|而|=2V2.

故而•旅=而•(而+硝=\AD\2+AD-DC=(2物2+2&X2COS；=12.

故答案为：12

(2)【分析】本题考查向量的数量积，向量垂直以及减法运算，基础题，

将宿=2适+〃正(4/6R)，~BC=AC-AB，代入祠•睨=0,利用荏•近=0,

|同|=2,|m|=1计算可得

【解答】解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，

则2(0,0),8(0,2),(?(1,0),

所以用=(0,2)，AC=(1,0),fiC=(1,-2).

设M(x,y),则宿=(x,y),所以彳商•品=(x,y).(l,-2)=x-2y=0，

所以x=2y,又新=4而+〃而，

即(x,y)=4(0,2)+“(1,0)=(%24),所以x=4,y=2X,所以4=之=匕

H2y4

第16页，共23页

16.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查线面平行的性质定理、三棱锥的体积、点到平面的距离，属于较难题.

连接8。交AC于点0,连接。E,易得。E〃S8,进而有E是S£）的中点，再利用等体

积法%-ABC=Vs-ACD=即可求得SA及点A到平面S8C的距离.

【解答】

解：连接8。交AC于点0,连接0E,则。是8。的中点.

因为SB〃平面ACE,平面4CEn平面SBD=OE,SBu平面SBD,

所以0E〃SB,所以E是SO的中点.

由等体积法可知*-48C=VS-ACD=^E-ACD=不

因为AB=AC=3,=

所以484c=泉△ABC为直角三角形.

因为SA_L平面ABCD,

所以%YBC=：x“BdC-S4

i9

=-x3x3xSi4=-,

62

解得sa=3,

所以SB=SC=3V2.

又因为BC=y[2AB-3A/2>

所以△SBC为等边三角形，

所以"sec=YX(3&)2=竽.

设点A到平面SBC的距离为〃，

则由%-ABC=%-SBC=|XV-/l=7

解得h=V3.

故点A到平面SBC的距离为次.

故答案为3；V3.

17.【答案】解：(1)/(%)=4cosx•sin(x+2)+a=4cosx•(当sinx+[cosx)+a

=2V3sinxcosx+2cos2x—1+1+a=V3sin2x+cos2x+1+a

=2sin(2x+£)+1+Q.

6

二当sin(2x+$=1时，/(x)取得最大值2+l+a=3+a,

又的最大值为2.•・3+a=2,即a=-l.

f(x)的最小正周期为T=y=TT.

(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+2

x€I-葛‘3

...21+"一”

0.5b

故独1(2工+,)€一1'；•

•••/(x)在卜会,。]上的值域为[-2,1].

【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于一般题.

(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得结论.

(2)利用正弦函数的定义域和值域求得函数/(x)的最大值以及最小值，即可求出函数的

第18页，共23页

值域.

18.【答案】解：(1)因为NDAB90,

所以以A为坐标原点，A&AO分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如下图:

因为4B〃CD,AB=6,AD=CD=3,

所以4(0,0),B(6,0),C(3,3),0(0,3).

又因为对角线AC交80于点O,

所以由t而得而=(3t,3t)，即。(3t,3t),

因此前=(3t,3t-3)，DB=(6,-3).

而丽〃丽，所以-3x3・6X(3t-3)=0,解得t=|,

因此。(2,2).

又因为点M在4B上，所以设M(zn,0),

因此丽=(m-2,_2)，前=(-6,3)，

而0MJLBD,所以西•丽=-6(m-2)-6=0，

解得771=1,即"(1,0),

所以丽=(-5,0)，AC=(3,3)，

因此两-AC=-5x34-0x3=-15.

(2)因为N为线段4c上任意一点，

所以由(1)知:可设用(n,n)(0<n<3)(包括端点)，

因此丽=(n_3,n_3)，MN=(n-l,n).

所以而•而7=2n2-7n+3.

因为函数y=2n2-7n+3的图象开口上，对称轴为n=彳,

而0SnS3,

所以函数y=2n2-7n+3的值域为卜g,3],

即丽•丽的取值范围是卜学3].

【解析】本题考查了二次函数，向量的数量积，相等向量的概念，向量垂直的判断与证

明，平面向量的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题.

(1)根据题目条件，以A为坐标原点，AB、AO分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，

利用相等向量的概念的坐标运算得而=(3t,3t)，从而得O(3t,3t),再利用向量的坐标

运算得前=(3t,3t-3)和丽=(6,-3)，再利用平面向量共线的充要条件得t=|，从

而得。(2,2),设从而得丽=(m-2,-2)，BD=(-6,3).再利用向量垂直的

判断的坐标运算得m=1,从而得再利用向量数量积的坐标运算，计算得结论；

(2)利用(1)的结论，结合题目条件设N(n,n)(04n43)(包括端点)，再利用向量的坐标

运算得ZW=(n—3,n—3),和MN'=(n—1,n),再利用向量数量积的坐标运算得ZW,

MN=2n2-7n+3,最后利用二次函数，计算得结论.

19.【答案】解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，

所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为义=

6。10

(2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，Q,b表示参加摄影社的女同学，

则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,

BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,

其中至少有1名女同学的结果有9种：

4a,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab,

根据古典概率计算公式，

从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为P=卷=|.

⑶这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率1=总

【解析】本题主要考查了随机事件的发生，利用古典概型的计算公式进行求解，属于基

础题.

(1)首先找到该班全部同学的数量和参加摄影社的同学的数量，然后计算比值即为所求

概率；

(2)设4B,C