初中数学自主招生训练 23 四边形（含解析）

专题23四边形

一.选择题（共12小题）

1.（2021•黄州区校级自主招生）如图，在矩形ABC。中，E是8c上的点，尸是CD上的点,

D.11

2.（2021•浦东新区校级自主招生）小明每走5米，顺时针转20°,则（）

A.小明不会回到原点

B.小明会回到原点，路程小于80〃i

C.小明会回到原点，路程恰为90，〃

D.小明会回到原点，路程大于120m

3.（2021•长寿区自主招生）如图，在四边形ABCQ中，AC与8。相交于点O,ZBAD=W°,

BO=DO,那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABC。是矩形的是（）

A________________D

B.ZBCD=90°C.AB=CDD.AB//CD

4.（2021•武进区校级自主招生）正方形ABC。、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图

所示，点G在线段OK上，正方形BEFG的边长为4,则△OEK的面积为（）

A.10B.12C.14D.16

5.（2020•和平区校级自主招生）如图，在QABC。中，E,F分别为边AB,BC的中点，AF

交。E于点G.若。A8CD面积为20,则四边形BEGF的面积为（）

A.9B.4C.1D.3

22

6.（2020•江汉区校级自主招生）下列说法正确的是（）

A.菱形的对角线相等

B.如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根

C.如果。+3与3a-1使某个正数的平方根，那么a=2

D.y的平方根是圾或-血

7.（2020•江岸区校级自主招生）如图，在。A8CD中，BC=24B,CEJ_AB于E,F为AD

的中点，若/AEF=51°,则的度数是（）°.

A.62B.72C.78D.68

8.（2020•巴南区自主招生）如图，在菱形A8CD中，ZD=120°,AB=2,点E在边BC

上，若BE=2EC,则点B到AE的距离是（）

A2历Bc5历D：历

'19-19-19,19

9.（2020•巴南区自主招生）如图，在平行四边形ABC。中，点E在对角线4c上，且BE

±AB,若/ACQ=20°,则/CEB的度数是（）

A.95°B.100°C.110°D.115°

10.（2019•南岸区自主招生）如图，某校园内有一池塘，为得到池塘边的两棵树A,8间的

距离，小亮测得了以下数据：ZA=ZCD£,AD=DC,DE^\0m,则A,8间的距离是

A.\0mB.15wC.20mD.25m

11.（2019•西湖区校级自主招生）如图，在矩形ABC力中，AB=6,BC=6A/5，点E是边

BC上一动点，8关于4E的对称点为8’，过"作B'尸，。C于F,连接。B',若4

DB,尸为等腰直角三角形，则BE的长是（）

C.3&D.6-\/2-6

12.（2019•新华区校级自主招生）如图，在菱形A8C。中，AB=5,/ABC=120°,则对

角线5。等于（)

A.20B.15C.10D.5

二.填空题（共8小题）

13.（2021•宝山区校级自主招生）已知△ABC,AB=a，AC=b，边8c上有点Pi、放、P3…

P22,使得BP\—P\P2—P2P3—…P22c,则研；+AP：+AP；+…+而g

14.（2021•渝中区校级自主招生）如图，矩形ABC。的边OA、OC分别在x轴、），轴上，反

比例函数y=X■交AB、BC于点。、E,BD=2AD,将△BOC沿CD翻折得△尸。C,连接

X

EF,EF//AB,且EF=4&，则％=.

15.（2021•大渡口区自主招生）如图，矩形ABC。中，BC=8,AB=6,点£为C。边上一

动点（不与C,。重合）.以CE为边向外作矩形CEFG,且CE：CG=3：4,连接BE

点O是线段B尸的中点.连接OE,则OE的最小值为

16.（2020•和平区校级自主招生）如图，将图（1）中的正六边形进行分割得到图（2）,再

将图（2）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图（3）,再将图（3）中

最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则图（2020）中的正六边形共有

个.

17.（2020•和平区校级自主招生）如图，将正方形ABCQ折叠，使A点落在边C。上的点Q

处，且DQ=2CQ,折痕FG交AC于点E,交AD于点F,交BC于点G,则分g

AE

18.（2020•温江区校级自主招生）如图，RtZXABC的锐角顶点A,8在直线/上，将直线/

向上平移d个单位长度得到直线交AC,BC于点。，E,以。E为一边作菱形OEFG,

使得顶点F，G在线段A8上，经探究发现，作出菱形的个数与d的大小有关.设AC=3,

BC=4,当能作且只能作1个菱形时，d的取值范围为.

19.（2020•宝山区校级自主招生）直线/1〃/2〃/3〃/4,其中/I,/2之间距离和/3,/4之间距

离均为1,12,/3之间距离为2.正方形ABC。的四个顶点分别在/1,12,13,人上，则S

四边形ABCD—

20.（2020•浙江自主招生）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已

知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是

三.解答题（共5小题）

21.（2021•渝中区校级自主招生）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方

和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四

边形的勾股边.

(1)如图1,在四边形ABCD中，ZA=60°,ZC=30°,AB=AD,求证：四边形A8CD

是勾股四边形；

(2)如图2,在四边形4BCD中，ND4B=60°,ZDCB=60°,AB=AD,h.BC+DC

=8加，连接AC,求4c的最小值.

22.(2020•渝中区校级自主招生)在平行四边形ABCD中，AC^BC,BE,AC分别交直线

AC.A力于点E、凡点G是8C上一点，连接EG,过点G作GQJ_AB分别交8尸、AB

于点尸、Q.

(1)如图1,若A8=Jc,BE=3,求AF的长度.

5

(2)如图2,若PG=2BQ,请探究EG、BG、CG的数量关系，并说明理由.

图1图2

23.(2020•渝北区自主招生)如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。,

ADLBD,点、E,F,G分别是线段AB,OD,OC的中点，若AO=2,8=任.

(1)求△AOO的面积；

(2)求证：EF//BG.

D

24.(2020•九龙坡区自主招生)如图，在平行四边形ABC。中，连接08.过。点作

AB于点E,过BE上一点F作FGLAD于点G,交。E于点尸；过F作FHVDB于点”,

连接EH.

(1)若DE=6,DC=10,AD=2-J-1Q,求BE的长.

(2)若AE=PE,求证：DH+HF^>J2EH.

25.(2019•永春县校级自主招生)菱形A8C£>中，点P为CO上一点，连接BP.

(1)如图1,若BPLCD,菱形ABCD边长为10,PD=4,连接AP,求AP的长.

(2)如图2,连接对角线AC、B。相交于点。，点N为BP的中点，过尸作PMLAC于

M,连接ON、MN.试判断△MON的形状，并说明理由.

专题23四边形

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)

1•【解答】解：；S"=SaADF=/s矩形皿，

即JLB£?AB=LD•。尸=LB・BC=LO・C。，

2244

:.BE=1BC,DF=ADC,

22

:.EC=LBC,CF=ACD,

22

ASA£FC=AXECXCF=AXBCXCD=1S即形ABC。，

288

"-S^AEF=S矩形ABC。-ScABE-SzADF-S/\EFC=^S矩形ABCO,

8

S

•AAEF_O

••J,

2ACEF

故选：A.

2.【解答】解：根据题意可知：组成的多边形的边数360°+20°=18,

小明走的路程总和是18义5机=90(〃])，

所以小明会回到原点，路程恰为90%

故选：C.

3.【解答]解：'：ZBAD=90°,BO=DO,

：.OA=OB=OD,

；NABC=90°,

：.AO=OB=OD=OC,

即对角线平分且相等，

二四边形ABC。为矩形，正确；

B、；NBAD=90°,BO=DO,

：.OA=OB=OD,VZBCD=90°,

：.AO=OB=OD=OC,

即对角线平分且相等,

・・・四边形ABC。为矩形，正确；

C、VZBAD=90°,BO=DO,AB=CDf

无法得出/\ABO^△DC3

故无法得出四边形A8CO是平行四边形，

进而无法得出四边形A8CD是矩形，错误；

、9

D：AB\\CDfZBAD=90°,

AZADC=90°,

t：BO=DO,

：.OA=OB=OD,

：.ZDAO=ZADO,

：.ZBAO=ZODC,

*.•ZAOB=ZDOCf

：.AAOB^ADOC,

：.AB=CD,

，四边形ABCD是平行四边形，

9：ZBAD=90°,

.,•0AbCO是矩形，正确；

故选：C

4.【解答】解：如图，连。5,GE,FK,贝iJO3〃GE〃/K,

在梯形GD3E中，SADGE=SAGEB（同底等高的两三角形面积相等）,

同理S2GKE=S〉GFE.

:*S阴影=S/、QGE+SZ\GKE,

=S&GEB+SAGEF,

=S正方形GBE?'，

=4X4

=16

故选：D.

•.•尸为BC的中点，

:.CF=BF,

'：DM//AB,

：.ZM^ZFAB,

在AAB尸和△MCF中，

"ZM=ZFAB

-ZCFM=ZBFA«

CF=BF

.,.△ABF空△MCF(AAS),

：.AB=CM^CD,

为AB中点，

：.AE=^AB=^DM,

24

'：DM//AB,

.".△AEG^AMDG,

•.鲤=段=工

*DMDG7

•••S^AEG：S/^ADG=1：4,

==

Sf\AEG~—S/\ADG­5A.ADE1>

45

:.SAADG+SAAEG=S四边形BEG尹SaAEG，

AS四边形8£6尸=5M。6=544£>七-SMEG=5-1=4.

故选：B.

6.【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，故选项A不符合题意；

8、如果一个数有立方根，那么这个数不一定有平方根，故选项B不符合题意；

C、如果。+3与3a-1使某个正数的平方根，那么a=2或0=工，故选项C不符合题意;

2

D、y的平方根是血或-、/万，故选项。符合题意，

故选：D.

7.【解答］解：过尸作尸G〃AB〃CD,交BC于G；

则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG,即G是8C的中点；

,：BC=2AB,为AO的中点，

：.BG=AB=FG=AF,

连接EG,

在Rt^BEC中，EG是斜边上的中线，

:.BG=GE=FG=ZBC；

2

'JAE//FG,

...NEFG=/AEF=/fEG=51°,

AZAEG=AAEF+ZFEG=102°,

AZB=ZB£G=180°-102°=78°.

8.【解答】解：过点B作BHLAE于点H,过点E作交AB的延长线于点H

：.BC=2,

,:BE=2EC,

：.BE=^-,CE=2,

33

VZD=120°,

，NABE=120°,

；.NEBF=60",

：.BF=^BE=2-,E尸=4年，

23

：.AF=AB+BF=2+2.=3-,

33______________

•,3{AF2+EF2=J(1_)2+(第*孚

,•*S&ABE='趣・BH=X4B'EF,

2X2V3

2V57

ABW=AWF=^3=

AE20919

3

故选：A.

9.【解答】解：・・•四边形43CO是平行四边形，

J.AB//CD,

VZACD=20°,

・・・NCAB=20°,

VBE±AB,

AZAEB=90°-20°=70°,

：.ZCEB=1SO0-70°=110°,

故选：C.

10.【解答】解：・・・NA=NC£>E,

：.DE//AB,

,:AD=DC,

:・CE=BE,

・・・DE是△CAB的中位线，

：.AB=2DE=20m.

答：A,5间的距离是20批

故选：C.

11.【解答］解：如图作"〃_LAO于”交8C于M.

AHD

'：ZB'HD=4HDF=4DFB'=90°,

.••四边形。〃是矩形，

；FD=FB',

二四边形。尸8'H是正方形,设边长为x,则4H=6A/5-X,HB'=x,

在中，'：AB'2=AH2+HB'2,

62=（6^/2-x）2+x2,

解得x=3加,

：.B'M=CF=6_3®

V/XAHB'sMB'ME,

-AH=AB.

"BZMEBy

-3V2_=6

"6-35/2EB，，

：.EB'=6料-6,

：.BE=B'£=65/2-6,

故选：D.

12.【解答】解：.在菱形ABC。中，AB=5,NA8C=120°,

ZA=ZC=60°,AB=AD,

•**/\ABD是等边三角形,

：.AB=AD=BD=5.

故选：D.

二.填空题（共8小题）

13•【解答】解：如图，设BP；=c，

则有APJAP?+•+APg2=（a+C）+（a+2c）+•+（a+22c）

=22*3X113，

二・a+23c=b，

**•APJAP?+，+APQ2=11a+11a+23X11c=11a+11（a+23c）=11a+11b,

故答案为：11a+11b-

14.【解答】解：设8（加，〃），则O4=8C=-nz,AB=nf

9

：BD=2ADf

.\AD=-^-n,

3

:.D（勿2,A/i）,

3

・・・。在反比例函数y=区图象上，

x

•・・7k1=，

3

而E也在反比例函数》=区图象上，yE=nf

x

:・E（-i722,雇）,

3

.*•CE="-m,

3

•・,将△3OC沿CD翻折得

:.BC=FC=-m,

YEF〃AB,

：.ZCEF=ZB=90°,

在RtZ\CE/中，CE2+£F2=CF2,

:.（-A/??）2+（4\/2）2=（-加）2,

解得加=6（舍去）或机=-6,

：.CE=2,BE=4,

过。作。于"，如图:

".'EF//AB,DHLEF,ZB=90°,

四边形8。”£是矩形,

：.DH=BE=4,EH=BD=2〃,

3

在RtZ\£>HF中，DH2+HF1=DF2,

.'.42+2=(2n)2,

33

解得〃=曳0,

2_

,,.k—^-mn——X(-6)艾尔2_=-9M.

332

故答案为：-9-\/2-

15.【解答］解：延长。E,与8G交于“点，如图所示:

•.•。为BF中点，EF//BG,

：.OB=OF,/EFO=MBO,

在△OEf和△0M8中，

"ZEF0=MB0

<OF=OB

ZE0F=ZM0B

:.丛OEF沿4OMB(ASA),

:.EF=BM,OE=OM,

设EC=3x(0<3x<6),

则CG=EF=BM=4x,

：.MC^BC-BM^S-4x,

AEM=VEC2+MC2=V(3x)2+(8-4X)2=V25X2-64X+64=^25(X-||-)2

当EM最小时，OE最小，此时”=丝，

25

即£C=3x=-^-,

25

EM—

V255

25

故答案为：12.

5

16•【解答】解：第二个图形有1+3=4个正六边形；

第三个图形有1+3+3=7个正六边形;

第"个图形中，有1+3(〃-1)=(3〃-2)个正六边形.

第2020个图形中，共有2020X3-2=6058个正六边形.

故答案为：6058.

17.【解答］解：如图，连接EQ,FQ,过点。作QHJ_AC于〃,

\'DQ=2CQ,

.,.设CQ=a,则£>Q=2a,

•.•四边形A8CO是正方形，

；.4)=C£)=3a,NAC£)=45°,AC=3小，

：将正方形A8CQ折叠，使A点落在边CQ上的点。处,

：.AF^FQ,AE=EQ,

•.•尸°2=。产+£)Q2,

二4产=(3a-AF)2+4cr,

.\AF=^-a,

6

'：HQ±AC,ZACD=45Q,

AZACD=ZQCH=45°,

：.QH=HC=-^a,

2

；EQ2=HQ2+E42,

；.AE2=(^/2^-AE)2+X?2,

22

572

.AF.5V2

••----»

AE6_

故答案为：月返.

6

图1图2图3

如图1中，当四边形。EFG为正方形时，设正方形边长为x,

则AB={AC2+BC2=5,C£)=当，4力=当，

54

t：AD+CD=AC,

；.斗+区=3,x=-^2.,

5437

此时”=里.

37

如图2,当四边形。EFG为菱形时，设菱形边长为处

'JDE//AB,

•CDDE

,KF'

即生51』，,〃=生，

358

此时d=3.

2

如图3,当四边形。E8G为菱形时，设边长为〃,

贝I」由。E〃AB可知雪迪，

CBAB

即生«=20,

459

此时

3

由以上图形观察可得，

当”=空或^^d<3时，菱形的个数为i.

373、2

故答案为：d=竺或匡4d<3.

373、2

19.【解答］解：过A作AEL/1于E,过C点作CPL/2于F,

•.•四边形4BCO是正方形，

：.NABC=90°,AB==BC,

：.ZABE=ZBCF=900-NCBF,

在△ABE和△BCF中，

"ZAEB=ZBFC=90°

<ZABE=ZBCF>

AB=BC

AAABE^ABCF(AAS),

：.AE=BF=\,EB=CF=3,

：.AB2=AE2+EB2=12+32^\O,

S正方形ABCD—10,

故答案为：10.

20•【解答】解：设①②③三个等腰直角三角形的边长分别为a,b,c,

.•.①②③三个等腰直角三角形的周长分别为：(2+料)a,(2+V2)b,(2+V2)c，

.•.每两个等腰直角三角形的周长之差分别为：(2+我)(a-c),(2+&)(a-6),(2+我)

(b-c)

\'EF=BE-BF=42a-b,

，不能求①②两个等腰直角三角形之差,

VZBFC=90",ZGFC=45°

NEFG=45°

'.EF=yp2PG=a-c

：.能求①③两个等腰直角三角形之差，

,:b=&c,

b-c—,72c-c与EF无关,

故答案为：①@

三.解答题(共5小题)

21.【解答】证明：(1)如图①将△ABC绕顶点B按顺时针转60°得到△BDE,连接4C,

BD.

由旋转可知aABC乌△OBE,

：.AC=DE,BC=DE,

VZCB£=60°,

.••△BCE为等边三角形.

：.EC=BC,NBCE=60°.

VZC=30°,

：.ZDCE=90a.

在RtZ\DCE中，根据勾股定理得，

DC2+C£2=DE2.

:.DC2+BC2^AC2,

四边形ABCD是勾股四边形

(2)以。C为边作等边三角形。CE,作于点F,连接B。，BE,

\"AB=AD,ZDAB=60°,

：.△ABO为等边三角形，

：.AD=BD,/AZ)B=60°,

VADEC为等边三角形，

；.NEDC=NECD=60°,DE=DC,

：.NADC=NBDE,

：.A/IDC^ABDE(SAS),

：.AC=BE,

VZDCB=60°,

AZBC£=120°,

：.ZECF=60°,

设CD=CE=a,BC=8遥-a,

在Rt/XCE尸中，cosNECF=空，

_CE

：.CF=^-,EF=^a,

22

:.BF=8娓-L,

2

:NEFB=90°,

：.BEr=EF1+BF1

=（孚a产（8V6^a）2

=（a-4近）2+288，

VI>0,

，a=4加时，B伊取最小值是288,

:9=12点,

"：AC=AE,

；.AC的最小值12M.

E

22.【解答】解：(1)如图1,•••AB=Jc,

5

.,.设AB=6x,AC=5x,

：.AC=BC=5x,

"：BE±AC,BE=3,

\E2+32=(6x)2

A，CE2+32=(5X)2,

AEKE=5x

解得：x=互，CE—J-^=—,

85458

.，.BC=5X2="

88

V四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

：./\AEF^/\CEB,

9,

.•.迪=理即票=手，

BCCE25_7_

88

28

(2)8G2+CG2=2EG2.理由如下：

如图2,过点G作GH〃AC交42于点”，交BE于点K,作GMLAC于点M,

"：AC=BC,

：.ZCBA=ZCAB,

,JGH//AC,

：.ZGHB^ZCAB,

：.ZCBA=ZGHB,

：.GH=GB,

'：GQ±AB,

：.BQ=HQ,即BH=2BQ,

,:PG=2BQ,

：.BH=PG,

"：BE±AC,

：.ZBEC=9Q°,

'：GH//AC,

：・NBKG=NBEC=9C,

：.ZGKE=1SO°-ZBKG=90°,NBKH=NBEC=90°,

：.ZBKH=ZGKP,

•:NHBK+NBHK=90°,NPGK+NBHK=90°,

:,NHBK=/PGK,

：./\BHK^/\GPK（A45）,

:・BK=GK,

：.ZKBG=ZKGB=450,

AKG=BG-sinZA：BG=BG«sin450=®BG,

2

*/GH//AC,

：・NBCE=NBGK=45°,

：NCMG=90°,

；.GM=CG・sin/GCM=CG・sin45°=^CG,

2

■:NGME=NMEK=NEKG=90°,

.••四边形EKGM是矩形，

:.EK=GM=®CG,

2

在RtAEGK中，EK2+KG2=EG2,

（返BG）2+（返CG）2=EG2,

22

.".ABG2+ACG2=EG2,

22

：.BG2+CG2=2EG2.

■I-D

""7

5.

图2

D

图1

23•【解答】（1）解：•.•四边形ABC。是平行四边形,

：.AB=CD=yflj,OB=OD,

,：ADLBD,

B/）=VAB2-AD2=7（V13）2-22=3'

，OD=LBD=3,

22

：.△40。的面积=入力义。。=JLX2X3=3；

2222

（2）证明：连接GF,如图所示：

四边形ABCD是平行四边形，

：.