2022上海高二数学满分攻略(沪教版2020第一册)第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)解析

第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与

练)

・聚焦考点

1.手教概念及我意义

(1)存数概念:函数/(X)在x=x0处的手数尸(人),是函数在x=x“附近的平均变化

率，(占士墨一/四当力趋近卜0时所趋向的稳定值,记为

、..f(xa+h)—f(x0)

把自变过值》“对应到广所给出的函数记为r(x),称为y(x)的导函数.简称字数.

(2)导数的物理意义:在满足函数关系S=S(l)的运动中.函数S(f)在r=r。处的半数

S'(h)就是。时刻的瞬时速度.

(3)导数的几何意义:对「曲线y=/(x),函数y=/(x)在x=x0处的半数广(x“)就

是曲线住点(x0J(x。))处的切线斜率.

名师点睛

一、平均变化率

【例1】(2018•上海市吴淞中学高三期中)如图所示，单位圆中弧/加勺长为x,f(x)表示

弧48与弦/撕围成的弓形面积的2倍，则函数y=F(x)的图像是()

【答案】D

【分析】

根据y与x的变化趋势结合导数的几何意义判断即可;

【详解】

解：不妨设/固定，6从4点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧4?长度很小，这时

给厂•个改变量Ar,那么弧46与弦48所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变

化较慢；

当弦4醴近于圆的直径时，同样给l个改变量Ax,那么弧与弦4断围成的弓形面积的

改变量将较大，即弓形面积的变化较快；

从直径的位置开始，随着6点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢.

由上可知函数y=f（x）的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较

平缓，对比各选项知〃正确.

故选：D.

【例2】（2022•北京延庆•高二期末）函数/。）=尤2在区间［2,4］上的平均变化率等于

（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平均变化率的定义算出答案即可.

【详解】

16-4

函数/*）=X2在区间［2,4］上的平均变化率等于=6

故选：c

【例3】（2021•广西河池•高二阶段练习（理））在导数定义中“当Arf0时，

尸（拓）”，Ar（）

Ax

A.恒取正值B.恒取正值或恒去取负值

C.有时可取0D.可取正值可取负值，但不能取零

【答案】D

【分析】

根据题意，由导数的定义分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，当以-0时，?->/'（%）,

Ax

©的值可取正值和负数，但不能取0;

故选：D.

【例4】（2021•江苏•高二专题练习）“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火

星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100m时，“天问一号”进入悬停阶

段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器

在9min内将速度从约20000km/h降至0km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为吃着

陆过程中速度的平均变化率为a,则（）

A.v«O.185m/s,a«10.288m/s2

B.v»-0.185m/s,aa10.288m/s2

C.v»0.185m/s,a®-10.288m/s2

D.-0.185m/s,a«-10.288m/s2

【答案】D

【详解】

巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以v=3^B-0185m/s.

9x60

200（X）x1（X）（）

巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以〃=60x60°_10288m/s2.

''9x60~

故选：D.

二、瞬时变化率

【例1】（2021•广西•高三阶段练习（文））已知某物体位移S（米）与时间r（秒）的

关系是S=/-3产，则速度为9米/秒的时刻是（）

A.1秒末B.0秒末

C.3秒末D.1秒末或3秒末

【答案】C

【分析】

由位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度，即令9=3产-6r=9,从而可求得结果

【详解】

依题意，r>0,由S=--3产对「求导得：S'=3/-6f,

而位移函数的导数表示运动质点的瞬时速度，由速度为9,

即S'=3r-6/=9得：4=—1，与=3,

所以速度为9米/秒的时刻是3秒末.

故选：C

【例2】（2021•全国•高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s（t）=41'+2f—3,且

s'（5）=42（m/s）,其实际意义是（）

A.物体5s内共走过42m

B.物体每5s运动42m

C.物体从开始运动到第5s运动的平均速度是42m/s

D.物体以力=5s时的瞬时速度运动的话，每经过1s,物体运动的路程为42m

【答案】D

【分析】

根据瞬时速度的定义即可得出选项.

【详解】

由导数的物理意义知，

s'（5）=42（m/s）表示物体在t=5s时的瞬时速度.

故选：D.

【例3】（2021•山东•高三阶段练习）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V

（单位：L）与直径d（单位：dm）的关系式为估计当d=时，气球体积

的瞬时变化率为（）

兀n

A.2万B.nC.-D.-

24

【答案】C

【分析】

求导后，代入4=1即可求得结果.

【详解】

设丫=""）=会3,则尸⑷="2’.广⑴咤,

TT

即当4=1加时，气球体积的瞬时变化率为彳.

故选：C.

【例4】（2021•北京海淀•高二期中）一个小球作简谐振动，其运动方程为

x（r）=10sin^r-^j,其中x（f）（单位：cm）是小球相对于平衡点的位移，，（单位：s）为运

动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，♦=（）

A.1B.-62C.~3D.—

【答案】D

【分析】

求出导函数后，由余弦函数性质得结论.

【详解】

小球的瞬时速度为x'Q）=10/cos（R-g,nt-%=2kn,t=2k+^,keZ,

因此首次达到最大值时，r=g.

故选:D.

【例5】（2021•重庆•高二期末）1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为

《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.

考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知

样本中碳14的含量M（单位：太贝克）随时间，（单位：年）的衰变规律满足函数关系：

加（。=〃。2.，其中知。为，=°时碳14的含量，已知r=573O时，碳14的含量的瞬时变化

率是一辞（太贝克/年），则加（2865）=（）太贝克.

A.573B.安历C.573夜D.1146

【答案】B

【分析】

根据指数函数模型列式计算，先求得M。，再计算M（2865）.

【详解】

由题意“'（力=-^^2一套，所以M'（573O）=-^^2一鬻=-*.M0=573.

5730573020

2856

所以M（2856）=573x2一旃=”.

2

故选：B.

【例6】（2021•全国•高二课时练习）枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运

动，其路程（单位：加）与时间（单位：S）的关系为S”）=ga产，如果枪弹的加速度

a=5xlO5m/?,且当f=1.6xKT3s时，枪弹从枪口射出,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

【答案】枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

【分析】

根据题设函数模型，应用导数的定义求其导函数，进而求出枪弹射出枪口时的瞬时速度.

【详解】

⑺少，

As=5+△，）-§〃广=〃△/+/,

As1Ac

—=at+—a^t,当Af趋于。时，一■趋于af.

\t2\t

由题意,知a=5xK）5m/s2,r=1.6xl0-3s,

，a=8x102=800（m/s）,即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

三、导数的概念

【例1】（2021•全国•高二课时练习）已知物体做直线运动的方程为$=$（/）,则

"4）=10表示的意义是（）

A.经过4s后物体向前走了10mB.物体在前4秒内的平均速度为10m/s

C.物体在第4秒内向前走了10mD.物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s

【答案】D

【分析】

根据导函数的定义判断可得选项.

【详解】

解：由导数的意义知s'（4）=10表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s.

故选：D.

【例2】（2021•北京育才学校高三阶段练习）某生物种群的数量。与时间Z的关系近似地

ioy

符合QQ)=

7+9

给出下列四个结论：

①该生物种群的数量不会超过10；

②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；

③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；

④该生物种群数量的增长速度最大的时间3）.

根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析】

对解析式上下同时除以一,结合反比例函数模型可判断①正确；

对。"）=坐求导，。⑺即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数

e+9

特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确

【详解】

..10d1010/iM

n北，因为d>o,故1+斗€（1,同，枪气'人故该生物种群的数量

7e/

不会超过10,①正确；

c,、l（）e'_c，/、_9（w90

由Q⑷=77?=Q⑷=7--^=,si]C，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量

〈匕十。€4---Flo

e

不成正比，③错；因为d+之为对勾函数模型，故d+”22庖，当且仅当d=9时取到等

ee

90

号，故7+迎+18整体先增加后减小，当f0=ln9«2,3）时，0（。最大，故②④正确，

el

综上所述，①②④正确，

故答案为：①②④

【例3】（2021•江苏•高二课时练习）已知某产品的总成本函数为C=Q2+2Q,总成本

函数在2）处导数/'（g）称为在。。处的边际成本，用MC（以）表示.求边际成本加以500）并

说明它的实际意义.

【答案】MC（500）=1002,其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.

【分析】

利用导数的定义计算即可.

【详解】

设Q=500时,产量的改变量为A<2,

△C(500+AQf+2(500+A。)-(SOO?十？,500)

~\Q~\Q

=Ag+1002,

则MC(500)=Jim(AQ+1002)=1002,即产量为500时的边际成本为1002,其实际意义是：

此时多生产1件产品，成本要增加1002.

【例4】(2021•全国•高二课时练习)已知f(x)=f,利用

/(1)=12=1,/(1)=2,Ax=0.03,求/(1.03)的近似值.

【答案】1.06

【分析】

将/(I)=1,/(1)=2,Ax=0.03代入人与+Ax”f(x0)+f(x0)-Ar中计算即可得到答案.

【详解】

由f(x0+Ax)«f(x0)+f'(x0)-Ax,

可知/(1.03)«/(1)+/(l)x0.03=l+2x0.03=1.06.

【例5】(2021•全国•高二课时练习)一做直线运动的物体，其位移s与时间力的关系是

=32一

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在力=2时的瞬时速度；

(3)求t=0到t=2之间的平均速度.

【答案】⑴3;(2)-1；(3)1.

【分析】

(1)当f=0时的速度为初速度.在0时刻取一时间段。0+加］,计算孚，即可得到答案；

(2)取一时间段［2,2+△/］,求当0时，孚-3,即可得到答案；

(3)利用公式招=/誓，即可得到答案；

【详解】

(1)当f=0时的速度为初速度.在0时刻取一时间段［0,0+&］,即［0,4］,

所以竺=SW)二s(0)=3Af-(加尸=3_加.

ArArAr

Ac

当加TO时，芋-3,所以物体的初速度为3.

M

(2)取一时间段[2,2+4],

则竺_s(2+，/)-s(2)_3(2+4)—(2+4)2(6-4)

'ArAfAZ

=-—(-△-，)--—---A-f=-加一1.,、、i，加*—0c时”4，-->-1,,

ArAr

所以当r=2时，物体的瞬时速度为-i.

小-s(2)-s(0)3x2-4

(3)时，v=————=---=1.

2—02

所以在0到2之间,物体的平均速度为1.

四、导数的几何意义

【例1】(2022•江西•景德镇一中高二期末(理))若曲线f(x)=V的一条切线/与直线

4x+y-3=0平行，贝心的方程为()

A.4x—y—4=0B.x+4y—5=0

C.x—4y+3=0D.4x+y+4=0

【答案】D

【分析】

设切点为(如寸)，则切线的斜率为2%,然后根据条件可得与的值，然后可得答案.

【详解】

设切点为&，片)，因为r(x)=2x,所以切线的斜率为2%

囚为曲线/'(x)=/的一条切线/与直线4x+y-3=0平行，所以2%=-4,即％=-2

所以/的方程为y-4=T(x+2),即4x+y+4=0

故选：D

【例2】(2022•浙江•温州中学高三期末)如图，函数八力=/的图象「上任取一点

A5,也,,“wO,过点A作其切线4，交「于点8,过点B作其切线4,交「于点C，过点

C作其切线L交乙于点。，则\扇AD\的取值()

\AB\

B.与"?有关，且存在最小值

D.与加无关，为定值

【答案】D

【分析】

先证明一个结论：函数，(力=加+加+0；+4(a*0)的图象「卜一任取一点

过点尸作其切线4交于点A(x,,yJ,过点P作4交「于另两个点8(孙%),C(W，%)，则

%+三=2占；利用该结论即可求出8,C的横坐标关于m的表达式，进而求出直线AB与CD

的方程，联立直线AB与8的方程，即可求出点。的横坐标，再根据阴=至口，即

陷X「XB

可求出结果.

【详解】

先证函数“X)=加+法2+5+”(aK0)的图象「上任取一点p(m,n)，机=-今

过点P作其切线4交于点A(X，)1)，过点P作4交「于另两个点凤七，力)〈(鼻,为)，贝J

x2+x)=2xt.

证明：设过点尸只,〃)的直线为尸灯工-")+〃，联立得：,；二彳(：)；：+”,得方程

ax'+加+(c-Z)x+d+k=0,(*)

则方程(*)必有•根＞明于是方程(*)可改写为a(x-®(x2+Sx+T)=0,(**),其中

S,TGR,

当AP与r相切于A点时，方程(**)有重根x=x-韦达定理知2占=-5；

当BC与相交「于及＜^点时，方程(**)有另两个根*=电/=丫3，

韦达定理知W+x3=-S.

故X2+X3=2*.

由于函数f(x)=v的图象=关于原点(0,0)对称，

设8G,寸)，连结。B,交「于另一点&,由对称性，则外』，-七3)，由上述结论，则

-x2+0=2/n,所以％=-2机；

设C(X3，W),连结。C交「于另一点C由对称性，则C'(T3，W),由上述结论，则

-X3+0=2X2,所以七二4团.

于是直线A5为y=3M("一勿2)+加，直线CD为y=48>(X-4A??)+64〉,

23

y=3m(X-/H)+/H解得私=警

联立得:

y=48/zz2(x-4/%)+64/

42_

所以偿口=15：皿=],故博的取值与加无关，为定值

\AB\xA-xB3m5\AB\5

故选:D.

2

【例3】（2022•内蒙古赤峰•高三期末（理））设函数〃x）=、+lnx,xe（0,6）,/（%）

的图像上的两点A&，X）,8（々，丫2）处的切线分别为4，4,且占＜三，4，4在谜由上的截

距分别为伪，b2,若4〃心则仇的取值范围是（）

A.（|Tn2,2）B.0n2-g,l+ln2）

C.（：-ln2,0）D.（l+ln2,2）

【答案】C

【分析】

利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到与％的取值区间；再利用一阶导数求出

相应点的切线方程，再求y轴上的截距，然后确定4-4的单调性，然后就可以确定它的

取值范围.

【详解】

因为.f(x)=2+lnx而玉,Xje(O,6),王<赴，f\x)=-^+-=^—^,

XXXX

在点总不工+心王]处的切线方程为：y-（—24-ln%1=21

"7+一(xrj；

司玉

在点+’小MJ处的切线方程为：，-21、

—+\nx=+（工一工2）；

2x；x2>

7

44

所以伪=+In玉=—FInx,-1；b2=—4-Inx2-1.

7玉X2

,441v_4

令=—+lnx-l,则Z/(zx)=——7+—=——

一2121

又因为/]〃4,所以——2+-=----2+_，且/[<4<々

X[X[X,

~111X|西,八>0

所以—+-=彳，—，再>2，2<X,<4<X2<6

x2Xj2x22

i/144,x._8.2

所以&一a=------+ln—=2-----+ln-----,

XXX

-2）22X2—2

令g（x）=4-仇=2-&+ln^^,xe（4,6）则/（力=3一一^=—fe—4v<0

xx—2xx—z.x（x—2）

Q9

所以g（x）=4-4=2-3+InT在（4,6）单调递减.

xx—2

所以（仇也）《沁2,0）.

故选：C

【例4】（2022•上海•高三专题练习）已知函数f（x）=k'-l|,X|<0,%>0,函数/。）的图

象在点A（xJ（xJ）和点8（孙〃电））的两条切线互相垂直，且分别交解于M晒点，则

盘取值范围是_______.

\BNI

【答案】（0,1）

【分析】

结合导数的几何意义可得占+X2=0,结合直线方程及两点间距离公式可得

\AM\=>ll+e2x'-IxJ,忸N|=Jl+e2*.冈,化简即可得解.

【详解】

山题意，〃X）="1='则小=「

[e-l,x>0[e,x>0

所以点A（〜—）和点8伍一1）,=-*,kpN=e",

所以-e*=-1,%+々=0，

所以AM:y-1+e*=_/'（x_xJ,M（0,e"%一e*+1）,

所以14M='玉2+（d%）2=川+e2M.M,

同理［5N|=A/I+/“.|X2|,

所以眄L正亘乜1_i+e2x'

所以|刑一07万但一-e(O,l).

1+e办

故答案为：（0,1）

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件4+X2=0,消去

个变量后，运算即可得解.

【例5】（江西省抚州市2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题）已知曲线

〃x）=xe'-Jnx+1在点（%,/（%））处的切线的斜率为/,则Xo+lnx。=.

【答案】-1

【分析】

对Ax）求导，根据题设有r（/）=L且%力。，e），即可得目标式的值.

e

【详解】

由题设，r（x）=（x+l）e，--!■且定义域为（0,+8）,则/'（x0）=（x°+l）e&--^=L

ex%）e

所以（/+l）e"=1（1+」"），整理得（尤o+l）e"=’7（/+l）,又与+1>。，

e玉）ex。

所以e“二-L,两边取对数有得:x0=-l-lnx0,即与+1!1%=_1.

e/气

故答案为：-1.

【例6】（2022•山西吕梁•高二期末）若直线>=G+b是曲线y=e"2的切线，也是曲线

y=et+1-l的切线，贝IJ分=.

【分析】

根据导数的几何意义，结合待定系数法进行求解即可.

【详解】

设曲线y=e、-2的切点为：（x“e*T）,

由^=/2=>>=j2,所以过该切点的切线斜率为：e'T,

v22,2

于是切线方程为：y-e*T=e*~(x-X1)ny=e'-x+e^-e'--xl,

因此有:k=e'~,b=-e'T.七,

设曲线y=。川的切点为：（起,ef-1）,

由》=€2-1=＞）/=e*M,所以过该切点的切线斜率为：e，H,

于是切线方程为：y-（e*川-l）=e*H（x-X2）ny=e'Hx+e*N-1-e，川f,

X1+++,

因此有：k=e',b=^'-l-^-x2,

因为左=ev1-2=et2+,=%—2=z+]=%—F=-3,

X1212tj+1

b=e--e'-•4=e'N-1-e*•x2=e5（x?-为）=一1ne=g,

即x2+1=Ing=X2=""I+1"g，

因此。=e*-1-e”♦马=2_1—2（_1+111）=空匚，

'3333

【点睛】

关犍点睛：根据导数的几何意义进行求解是解题的关键.

【例7】（2022•山东滨州•高二期末）曲线y=矍在点处的切线方程为

2

【答案】y=—x+1

7V

【分析】

利用导数的几何意义得出切线方程.

【详解】

7T

COS—/\

?八一/兀八1〜辽小cosx,

—^=。，.,•点”不。在曲线y=----上

2

x（-sinx）-cosx_cosx+xsinx

4

即切线方程为yW£）=$+i

2

故答案为：y——x+1

冗

【例8】(2022•河南•新蔡县第一高级中学高二开学考试(文))设曲线y在点

小,处的切线与曲线y=xlnx在点P处的切线互相平行，则点加勺坐标为...

【答案】(1,0)

【分析】

分别求出y=y=xlnx的导数，结合导数的几何意义及切线平行可得答案.

【详解】

设因为y=的导数为丫=x,

所以曲线在点处的切线的斜率为1,

因为y=xlnx的导数为:/=l+lnx,曲线y=xlnx在点p处的切线斜率为1+lnx0,

所以l+ln%=l,解得%=1,代入y=xlnx可得t=0,故2(1,0).

故答案为：(1,0).

【例9】(2022•辽宁•东北育才学校高三期末)若函数

/(x)=/7i?+加+〃*+4(〃1*0,〃片0)上相异的点(苦,/(耳》(，=1,2,3,4,5,6),满足如下条

件：①/&)=〃3=〃玉)=0；②函数/(x)关于点(4〃%))对称；③函数/(x)在点

x

(x5,/(x5))处的切线与其相交于点(%，/(七))；则—(1+%+三+2%+%)=___________.

X4

【答案】6

【分析】

根据条件①得到％+&+%=-2,根据条件②得到%=-；,根据条件③得到

m3m

n

x+2x,=--,有这三个结论即可求解.

bm

【详解】

因为/1&)="%)=/(3=。所以办,耳疑为/(x)=O的三个不同的解,

所以/(X)="(X-X1)(x-x2)(x-x3)

2

=如3_加(百+x2+x3)x+m(x1x2+x2x3+x1x3)x-ITVC^X3

=nvc3+nx2+px+q,

几

所以一网>1+x+x)=n,即斗+/+毛=——.

23tn

因为f'M=37nx2+2nx+p,

又因为/(x)关于点(%,/(七))对称，

所以X=X,为/'(x)=3/MX2+2nx+p的对称轴，

所以Xa——--.

3m

2

f'(xs)=3nvc5+2nxs+p,

/(x)在(％J(七))处的切线为y=(3/nr：+2«X5+p)(x-x5)+mx^+nx^+px5+q,

因为函数〃x)在点(0/伍))处的切线与其相交于点(%，/(七))，

所以(％/3))切线上，

22

BP(3/m;5+2nx5+p)(x6-x5)+mx^+zzx5+px5+g=tnxj'+nxj+pxb+q,

2

展开化简(3WX5+2nx5+p)(x6-x5)

2

=m(xb-x5)(x6+x6x5+x；)+n(x6-%)(x6+x5)+p(x6-x5),

2

因为乙3%，所以3/7tr5+2me,+p=mx^+wx6x5+nvc^+nxb+nx5+p,

2

H|3/nx6-2mx^+tnx^+nx6—nx5=0=>m(x(>—x5)(x6+2x5)+n(x6—x5)=0,

从而可得％+2%=-二.

m

/占in.nn

综上，菁++工3=--------,x+2X=-----,x=---.

m65m43机

1/八、3m,nn、，

所以一(玉+%2+%3+2/+%6)=----------(------------------)=6.

x4nmm

故答案为：6

【例10】(2022•山西•康杰中学高二期末)若实数a,b,c,1满足学=二1=1,则

ba

g-cy+e-df的最小值为.

【答案】2

【分析】

先对华=7=1进行化简可得b=lna,d=c+i,故(a-cy+e-dp可理解为曲线

y=lnx上一点(“/)与直线y=x+l上点(c,d)间的距离的平方，采用数形结合和对函数

y=Inx求导可知，函数y=lnx在(1,0)处的切线方程x-y-l=O与直线产出+1之间的距离

的平方为我们要求的("cP+S-d)2的最小值.

【详解】

由=可得6=lna,d=c+l,故(a-cf+S-dp可理解为曲线y=lnx上一点

(。㈤与直线产x+1上一点(c,d)间的距离的平方，对于函数y=lnx,令)，，=5=1,故可得

x=l,即函数y=lnx在(1,0)处的切线方程为x-y-I=0,切线方程与直线y=x+l平行，

则函数，=lnx在(1,0)处的切线方程与直线尸x+1之间的距离〃=上十曳=夜，故

【例11】.(2021•上海•高二专题练习)己知直线(l-a)x+(a+l)y-4(a+l)=。(其

中〃为实数)过定点P,点。在函数丫=*+’的图像上，则AQ连线的斜率的取值范围是

X

【答案】1-3,+8)

【分析】

把直线方程整理成a的多项式，根据恒等式的知识求出定点P的坐标,

【详解】

由(1-a)x+(a+1)y_4(。+1)=0得(-x+y-4)a+x+y-4=0

-x+y-4=0x=0,

，解得・・・P(0,4)。

x+y-4=0y=4

作出函数f（x）=x+4的图象，如图，直线y=x和y轴是它的两条渐近线，因此当。点在

X

第三象限时，e（!,+«＞）,

当。在第一象限时，直线PQ可能与函数图象相切，设切点为

]XH-------41

贝I]1_0%,解得毛=：,此时&=—3,

XQK—L7―2

入0%

由图象可知左e[-3,+oo),

综上Ac[-3,+8).

故答案为：[-3,+8)。

【点睛】

本题考查直线过定点问题，考查直线与函数图象有公共点问题。

（1）直线过定点时，可把直线方程变形为关于所含参数的多项式，然后由恒等式知识求

得定点；

（2）直线与函数图象有公共点问题，可作出函数图象及直线，利用图象观察各种可能出

现的情况，直观形象，有助于解题。

【例12】（2022•陕西•高三期末（理））若曲线y=lnx在点P（e,l）处的切线与曲线

y=e“'相切，则〃=—

【答案】

【分

先求得曲线y=lnx在点尸(e,l)处的切线，直线y=1x与曲线y=e侬相切时，需设切点列方

e

程组可解得参数a的值.

【详解】

因为y=lnx,所以，=,，则

xe

所以曲线y=lnx在点p(e,l)处的切线方程为y=L.

e

设y=3X与y=e'1*相切于点(而,,

aett%=-

因为(e")'=ae%所以，e

—1丫

e-To

e

1

则ae〃=3一,“=丁，可得%=e?,从而〃=6巴

故答案为：e-2

【例13】(2022•湖南•高二期末)已知函数.f(x)=e「g(x)=e'M-l.

(1)0是坐标原点，的图象在x=2处的切线与兑)，轴分别交于4B两点，求的面

积；

⑵若直线'="+/，是曲线)，=/(可与丫=8(引的公切线，求生b的值.

【答案】⑴/⑵4=家=*1

【分析】

3)求导函数/'(力=j2,求得/⑵，/(2),得出“X)的图象在x=2处的切线方程，

由此求得答案；

(2)设直线k质+b与f(x)的图象相切于点爪不X)，与g(x)的图象相切于点

鸟(%％),求得在点片(与乂)处切线方程keV=e/T(x-%),在点《(当，%)在切线方程

1*1=门").建立方程组O'=eWT'求解即可.

⑴解：因为，'(*)=j2,所以7•")的图象在x=2处切线的斜率为盟2)=1.

又〃2)=1,所以/(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x-l,

则故的面积为gxlxl=；.

⑵解：设直线产"+6与〃x)的图象相切于点片(5,X),与g(x)的图象相切于点

鸟(在必)，又g'(x)=ez,则y产9-2,%=/"一1.

由点《(小X)在切线上，得y-e'T=e^2(x-x,)；

由点鸟优，上)在切线上，得广1川+1=*匕-/).

故仁二解得…113T

4.L1-In31Iln31

故A=e=-,b=—-―

333

【例14】(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=(x-2)e\a(x-1)2,awR.

⑴求曲线y=/(x)在点尸(1J(1))处的切线方程；

⑵若a20,求f(x)的零点个数；

(3)若Ax)有两个零点再,x2,证明：xl+x2<2.

【答案】(l)y+e=()(2)答案见解析⑶证明见解析

【分析】

(1)求导，根据几何意义求解即可；

(2)根据题意得xw(-8,1),f(x)单调递减，xe(l,+8),/(x)单调递增，故

/«mi„=/(l)=-e<0,再根据a=O和a>0讨论函数值的分布求解即可；

(3)结合(2)得a>0,3%,e(-oo.l),x2e(l,+oo),使得/(占)=/(〉)=0,进而将问题转化

为证明X<2-%，再根据/㈤在(-8,1)上单调递减只需转化为证〃占)>/(2-%)，再结合

/(X.)=/区)证明f5)>/(2f),再构造函数g(x明-/(2-x)，再研究函数的单调性

得g(x)=/(x)-/(2-x)>0在(1,一)上恒成立，进而证明.

⑴解:求导得r(x)=(x-l)(e*+2a),

所以/⑴="，/⑴=0,

故切线方程是：N+e=()；

⑵解:由已知r(x)=(x-l)(e、+2a),a>0,

所以当xw(-8,1),f'M<0,/(x)单调递减,

X€(l,+oo),f\x)>0,/(x)单调递增，

"⑴=-e<0,

当a=0时，x趋近于—时，函数〃x)趋近于0,且〃x)<0,x趋近于+«)时，函数〃x)

趋近于转，此时函数只有一个零点，

当4>0时，当X趋近于—时，函数/(X)趋近于+8,*趋近于物时，函数/(X)趋近于

+<»，此时函数/⑶有2个零点;

⑶解：由(2)知a>0,3x,e(-co,l),x,e(l,+oo),使得/(xj=/(%)=0,

七，要证用+々<2,即证为<2-9，

x2>1,2-赴v1,

又；不<1且/(X)在(-«>,1)上单调递减，

:需证石<2-X2,即证/(占)>/(2-%)，

./(^)=/(%2)=0,

二即证/(*2)>。(2-j),x2>1

故令g(x)=f(x)-f(2-x),x>l,即g(x)=/(x)-/(2-x)=(x-2)e*+心2-*,

g'(x)=(x-2)e*+er+e2T-xe?~x=(x-l)(ex-e2-t),

时，x>2-x,所以e»"*,即g'(x)>0,

.••函数g(x)在(I,y)上单调递增，

---g(D=O,；.g(x)=，(x)-f(2-x)>0在(l,+8)上恒成立，

-f(2f)>0,f(x2)>f(2一电)得证,

/.X)4-x2<2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，极值点偏移问题，考查运算求解能

力，逻辑推理能力，是难题.本题第三问解题的关键在于结合极值点偏移问题，将问题转

化为证明/但)>/(2-X2),x2>l,进而构造函数g(x)=/(x)-/(2-x),x>l,研究函数的单调

性证明.

【例15】(2021•全国全国•模拟预测)已知函数/(x)=orsinx-/>cosx,

g(x)=lnx+x+3.在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题.

①a+人=0,@a—b=1,③a+6=—1.

(1)(i),曲线在点(兀J⑺)处的切线经过点(0,兀7),求实数a的值；

(ii)求证：V=2x+2是曲线g(x)的一条切线.

⑵,当a=2,b=0时，求证：/(x)+7t>g(x).

【答案】(1)(i)答案不唯一，具体见解析(ii)证明见解析(2)证明见解析

【分析】

(1)(i)根据导数的几何意义分别求出对应的切线方程，再结合切线过点(0,兀-1)求解

即可得实数a的值：(ii)设切点为(毛,%),进而根据导数几何意义求得切点坐标为

(1,4),进而证明.

(2)结合(ii)，将问题转化为证明〃x)+兀>2x+2,再结合不等式x>sinx得

2xsinx>2sin°x,进而只需证明2sin°x+兀22x+2,进而构造函数令

F(x)=2sin2x-2x+n-2,利用导数证明不等式即可.

(1)

解：(i)选①a+b=0,

则/(xW^sinx+acosx,

r(x)=asinx+<zrcosx-asinx=orcosx,

所以切线斜率&=/'(兀)=-而.

又/(兀)=-%所以切点为(兀,-。)，

所以切线方程为y+a=-Gt(x-7t).

因为切线经过点(0,兀—1),所以71—1+4=。/,

解得

7T+1

选②。-〃=1,

则/(%)=arsinx+(l-6/)cosx,

yr(x)=tzsinx4-arcosx+(«-l)sinx,

所以切线斜率&=/'(兀)=-a兀.

又/⑺=a-l,所以切点为(兀,a-1),

所以切线方程为丫-。+1=-即(犬-兀).

因为切线经过点(0,兀-1),所以兀-1-〃+1=即2,

选③=,

则/(x)=^sinx+(a+l)8sx,

则r(x)=asinx+ar8sx-(a+l)sinx=orcosx-sinx,

所以切线斜率左=尸(兀)=-所.

又/⑺=一"-1,所以切点为(兀,-aT),

所以切线方.程为y+a+l=—丽(》一兀).

因为切线经过点(0,兀-1),所以兀-1+“+1=加，

解得。=$7E

九一1

(ii)由g(x)=lnx+x+3,得/(力=—+1.

设切点为(7)，%)，则;+』2,得％=1,

八0

所以g&)=4,则切点坐标为(1,4