重难点01常见数列通项的20种解题策略（原卷版）

重难点01：常见数列通项的20种解题策略知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,n≥2；))(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．考点01：观察法求通项1．根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式：(1)，，，，…；(2)，，，，…；(3)0，1，0，1，…；(4)9，99，999，9999，….2．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)a，b，a，b，…；(2)，，，，…；(3)；(4)，，，，…；(5)，2，，8，，…；(6)，33，，3333，….考点02：由递推公式求通项3．数列对任意正整数，满足，数列通项公式.4．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．考点03：等差数列公式求通项推论公式：a5．已知数列满足，（，），则．6．已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式．考点04：等比数列公式求通项推论公式：an7．设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知数列，则数列的通项公式．考点05：累加法求通项解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。9．已知数列满足：，，则数列的通项公式为.10．已知数列满足，则（

）A． B．C． D．考点06：累乘法求通项11．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．3112.数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．考点07：构造等比数列(其中p，q均为常数，且)。13．设数列的前n项和为，，，则.14．已知数列满足，，则满足的最小正整数．15．已知：，时，，求的通项公式．16．已知数列满足，，设.(1)求；(2)求的通项公式.考点08：构造等差数列17．在数列中，，．求数列的通项公式.18.已知数列满足.求数列的通项公式；考点09：递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用19．已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)数列是否为等差数列？20．已知数列满足，若，求的通项公式．考点10：倒数法一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。21．数列中，，，则是这个数列的第几项（

）A．100项 B．101项 C．102项 D．103项22.已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．考点11：对数法23.若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁.24、已知数列满足，，求数列的通项公式.考点12：前n项积求通项25：（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为数列的前项积，已知，则=（

）A． B． C． D．26.（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（

）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项考点13：退位相减法已知数列前n项和求数列的通项问题，通常考虑退位相减法.27、设数列{an}满足a考点14：开方、平方法28若数列{an}中，a1=2且(n≥2)，求它的通项公式考点15：裂项叠加法29.在数列{an}中，a=3,nan+1=(n+2)an+2n(n+1)(n+2)，求通项公式an考点16：不动点求通项不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点或称(形如a分析：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴；（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中.30、设数列满足,求数列的通项公式.31、已知数列满足，求数列的通项公式.考点17：特征根法形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得32、已知数列满足，求数列的通项33、已知数列满足，求数列的通项考点18：换元法对于题目所给的等式含有根式或是含有相似结构时，我们可以令根式或相似结构为新变量，进而求解通项.34、已知数列满足，求数列的通项公式.考点19：斐波那契数列通项35．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（

）A．34 B．55 C．68 D．8936．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即，，，，，，，，，，，，，，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，经计算发现：（），则．考点20：因式分解型（正项数列）37.已知各项都是正数的数列，前项和满足，求数列的通项公式.38.已知为数列的前n项和，，,求数列的通项公式.走进高考1．（2013·全国·高考真题）若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=.2．（2004·全国·高考真题）已知数列，满足，，则的通项．3．（2000·广东·高考真题）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式.4．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．5．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式