2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷A（含答案）

二、(15分)设V是实数域上由矩阵八的全体实系数多项式组成的空间，其中

2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A‘1°°)r-

A=0co0,3=士也，求V的维数和一组基.

，2

适用专业：考试日期：I。0(O-)

试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分

一、填空(共40分，每小题4分)

曲

蛉1.向量空间P"的子空间卬={(内,三，…，怎-”())|占+覆=O,x*eP}的维数为,

它的一组基为.

T)(2-12'

2.已知a=1是矩阵A=5a3的一个特征向量，则。=b=

I-1b-2>

特征向量«对应的特征值%=.

N三、(15分)用非退化线性替换化二次型父-2年-2^-4苦三+4占三+8%2汽为标

3.k满足时，二次型f=-片-2君+(&-1冰-2%三-2玉不是负定的。

菽准形.

"-2001j-100'

4.设矩阵人=2x2与8=020相似，贝"=______y=_________.

<311JI。0%

5.在空间P[x]„中，设变换b为/(x)f〃x+l)-/(x)，则b在基

显

e=1，4="XT)…(”"D(i=l,2,…”T)下的矩阵为___________________.

忠z!

当

6.相似矩阵的特征值_________.

的

7.向量a=(1,2,3,4),夕=(4,2,3,1)，则内积(d夕)=-

8.若A是实对称矩阵，则A的特征值为.

9.”元实二次型“4出,…，怎)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等

四、(15分)在P"中，求由基卬三后,%到基%%，%，%的过渡矩阵，并求向

于.量；在基〃-%,%,%下的坐标，设岁=(1,0,1,0)

裱

10.对于线性空间V中向量％,a?,…,a,(r2l),若在数域P中有，•个不全为零的

鉴

数勺,k,…,使ktat+k2a2+…+A,a,=0,则向量%,4,…,%称为•

£：,=(1,0,0,0)=(2,1,-1,1)

e2=(0,1,0,0)%=(0,3,1,0)

?2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A答案

£3=(o,o,L0)%=(5,3,2,1)

=(0,0,0,1)%二(6,61,3)

一、填空(共40分，每小题4分)

1、向量空间P"的子空间W={(XM，…,h,())日+%=(),玉eP}的维数为

_"-2,它的一组基为

鸟=(1,-1,0,…,0,0),々=(0,0,1，…,0,0),…,*=(0,0,0,­••,1,0)

T、2-12、

2、己知a-1是矩阵A=5a3的一个特征向量，则

-1b-2,

a=_-3____.b=_0_____特征向量a对应的特征值％=_-_________0

3、k满足_-l<A:<0_时，二,次型/=_q-■2^2+伏-1：x；-2kxix2-是负

五、(15分)设q,小，G，J是四维线性空间丫的一组基，已知线性变换在这定的。

’-200r、

'1021'-l00

4、设矩阵A=2x2与B=020相似，则

组基下的矩阵为-1J13

、0兀

1255311

<2-21-2,X=___0,y=_-2。

1)求。在基/=与-Mj，%=3邑-弓-Q,%=G+Q访=组下的矩阵；

5、在空间P[x]„中，设变换b为f(x)f/(x+l)-/(x),则o■在基

2)求b的核与值域.八.x(x—Z+1)_八

%=1,与=-------------a=1,2,…〃一1)下的矩阵为

仅10…0)

001•••0

0001

1000…oj

6.相似矩阵的特征值—相同.

7向.量a=(1,2,3,4),夕=(4.2,3,1)，则内积(a,0=____21.

8.若A是实对称矩阵，则A的特征值为—实数.

1

9."元实二次型/（芭,三,…,x„）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等

-O串

3

2&

于一".令

X-5分

=一

3241

立

10.对于线性空间V中向量％-«*1）,若在数域P中有r个不全为零的拒

26

3-,

2

数k,,k2,---,kr，使ktat+k2a2+…+k,a,=0,则向量名,4,…,a,称为一线性相关

四、（15分）在〃中，求由基与,心省为到基/，小的过渡矩阵，并求向

二、（15分）设V是实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中量；在基外，小，小，小下的坐标,设J=（1,0,1,0）

'100）与=(1,0,0,0)7=(2,1,-1,1)

A=0a,0,。=土包，求V的维数和一组基

f2=(0,1,0,0)^2=(0,3,1,0)

,2

（00口q二(0,0,1。小=(5,3,2/)

4=(0,0,0』)=(6,6,1,3)

E\k=3〃，

(

解：Ak=«A;A:=3/1+1,.............................10分20561

A2;k=3n+2.1336

解：由基G，G，£3，q到基功02,人力4的过渡矩阵为4=

-1121

故V的维数为3,一组基为E,A,/............5分3）

\101

三、（15分）用正交线性替换化二次型支；-知-女-4戈西+4工用+8w用为标准5)

1000——

9

形。(2056P8

0100

1336027

;............................10分

-22、之一12-22

4;|A£-A|2+2-4=(2-2)2(2+7)1100010-

解：A-2-22130j3

<24-2-2-44+2

0001—

127J

(-82-2]r201](1)

向量；在基下的坐标为（-Wg，$............................5分

4=4=2；4=-7;—7E-A=2-5—4〜011;Pl=2

-2-4-5,000-2J

五、（15分）设是四维线性空间丫的一组基，已知线性变换。在这

(12-2)‘01

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