2022届中原名校高三冲刺模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知椭圆C的中心为原点O,尸(一2逐,0)为。的左焦点，P为C上一点,满足10Pl=|。臼且|Pb|=4,则椭圆

C的方程为()

4

2.已知AABC的内角48,C的对边分别是a,b,c,且"+“：1：才”=2c?,若c为最大边，则土吆的取值范围

a2+b2c

3.2021年某省将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政

治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

1111

A.-B.—C.—D.一

8462

4.设函数/(x)(xeR)满足/(—x)=/(x)J(x+2)=f(x),则y=/(x)的图像可能是

5.已知全集为R,集合A="xy=(x-l)2>,B={x|x2-2x<0},贝!J(\A)n8=()

A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1]

6.半正多面体(se〃”reg“/arso/M亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学

的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正

多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）

7.在AABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,若。1即8=2/?5山（8+。）.则角8的大小为（）

8.若不等式2xlnx…—/+必对“€[1,+00）恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,0）B.（YO,1]C.（0,+oo）D.[1,+<»）

9.下列说法正确的是（）

A.命题“三4040,2/4sinx°”的否定形式是“Vx>0,2x>sinxn

B.若平面a,/7,y,满足a，7,夕，/则a〃2

C.随机变量自服从正态分布N（l,cr2）（cr>0）,若P（0<寸<1）=0.4,则P（J>0）=0.8

D.设x是实数，“x<0”是“工<1”的充分不必要条件

x

10.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2x2列联表，由计算得K2。7.218,参照下表:

PgNk。）0.010.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

得到正确结论是（）

A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”

B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”

C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”

D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”

11.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.

A.432B.576C.696D.960

12.已知正方体的棱长为1,平面a与此正方体相交.对于实数d（0<d<@,如果正方体

ABC。-AgGA的八个顶点中恰好有〃?个点到平面。的距离等于"，那么下列结论中，一定正确的是

A.m^6B.m^5

C.m。4D."1W3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.对任意正整数〃，函数/（〃）=2〃3-7/cos〃》-/l〃-l,若"2）20,则X的取值范围是；若不等式

/（«）>。恒成立，则2的最大值为.

14.已知数列｛4｝满足：q=1,all+iN，）,若对任意的正整数〃均有«„<4,则实数加的最大值是

O

81,

15.已知x,j>0,且=+―=1,则x+y的最小值为

%y

16.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布

直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间125,30）的一等品，在区间［20,25）和［30,35）的为二等品，其余均为三

等品，则样本中三等品的件数为.

频室

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利

地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试

的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新

报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.

某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：

考试情况男学员女学员

第1次考科目二人数1200800

第1次通过科目二人数960600

第1次未通过科目二人数240200

若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且

每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫

妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为

X元，求X的分布列与数学期望.

18.(12分)已知函数/(x)=alnx+x(aGR).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若对Vxe(0,+8),/(%)一片-"<0恒成立，求。的取值范围.

19.(12分)如图所示，在三棱柱ABC—A与G中，AABC为等边三角形，AB,=CO1

平面ABgA，o是线段AG上靠近4的三等分点.

(2)求直线8与平面所成角的正弦值.

x-a+2t

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《(f为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半

I丁―

轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为/=

3+snr6

(1)若。=一2,求曲线。与/的交点坐标；

(2)过曲线C上任意一点P作与/夹角为45。的直线，交/于点A,且|P4|的最大值为厢，求。的值.

21.(12分)在AA8C中，内角A,8,C的边长分别为a,b,c,且c=2.

TT

(1)若A=],b=3,求sinC的值；

(2)若sinAcos20+sinBcos24=3sinC,且AABC的面积SM^sinC,求“和"的值.

222

22.(10分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通

过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：10()分)数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数251502002502251005()

(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(〃,210),〃近似为这1000人得分的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求产(36<ZW79.5)；

(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.

(i)得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费；

(ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.

赠送的随机话费/元2040

3

概率

44

现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.

附：V2io®14.5,若X~N出吟,则P(M—b<XW〃+b)=0.6827,-2b<XW〃+2cr)=0.9545,

P(4—3b<XW〃+3b)=0.9973.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由题意可得c=26,设右焦点为F，，由|OP|=|OF|=|OF，|知，

NPFF'=NFPO,NOF'P=NOPF',

所以NPFF'+NOFT=NFPO+NOPF，，

由NPFF'+NOF'P+NFPO+NOPF'=180。知,

NFPO+NOPF'=90°,即PF_LPF'.

在R3PFF，中，由勾股定理，得|PF1=JbF2_pF2-42=8,

由椭圆定义，得|PF|+|PF，|=2a=4+8=12,从而a=6,得a?=36,

于是b2=a2-c2=36-(2^/5)2=16,

22

所以椭圆的方程为二+匕=1.

3616

故选B.

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定

点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.

2.C

【解析】

由：=2/,化简得到cosC的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.

a2+b2

【详解】

a4+b4+c4+a2b2(a2+b2)2+c4-a2b2

由可得

a2+b2a2+b2

c2(a2+b2-c2)+a2b2

可得。2+从一。2

a2+b2

2+t>2222222

(«-c)(c-a-b)+abn

得-----------------z----------------------------U,

a2+b2

整理得(。2+〃一02)2=a2b2,所以(4土8二《)2=J.,

lab4

因为C为三角形的最大角，所以cosC=-,，

2

又由余弦定理/=a14-Z?2-2abcosC=a2+Z?2+ab=(a+b)2-ah

N(4+8)2一(—)2=巳3+。)2,当且仅当。二匕时，等号成立，

24

v3,、口口。+2g

所以c>——(za+。)，即-----<-----,

2c3

又由a+h>c,所以卓的取值范围是(1,竿］.

故选：c

【点睛】

本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了

推理与运算能力.

3.B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有C：=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率P=±=上

124

故选B.

4.B

【解析】

根据题意，确定函数>=/(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.

由/(-X)=/(X)得y=/(x)是偶函数，所以函数y=/(X)的图象关于)'轴对称，可知B,D符合；由/(x+2)=f(x)

得y=/(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4,不符合，选项B的图像的最小正周期是2,符

合，故选B.

5.D

【解析】

己的定义域,再求得补集；对于集合8,解得一元二次不等式,

对于集合A,求得函数y=(x-l)

再由交集的定义求解即可.

={x|x>1},6RA={xIxW1},

B={X|X2-2X<0}={X|XU-2)<0}={X|0<X<2},/.(^A)05=(0,1].

故选:D

【点睛】

本题考查集合的补集、交集运算，考查具体函数的定义域，考查解一元二次不等式.

6.D

【解析】

根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中

点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.

【详解】

如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为0,它是由

棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

/.该几何体的体积为V=2x2x2-8x!x'xlxlxl=竺，

323

故选：D.

【点睛】

本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.

7.A

【解析】

由正弦定理化简已知等式可得sinAtanB=2sinfisinA,结合sinA>0,可得tanB=2sinB,结合范围Be(0,万)，可

得sinB>0,可得cosB=1,即可得解3的值.

2

【详解】

解：VatanB=20sin(3+C)=2/?sinA,

/.由正弦定理可得：sinAtanB=2sirLBsinA,

VsinA>0,

tanB=2sinB,

•••8e(0㈤，sinB>0,

cosB=—,

2

：.B=-.

3

故选A.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

8.B

【解析】

转化2xlnx…+ax,xe[l,+8)为q,21nx+x,构造函数〃(x)=21nx+x,xe[l,+oo),利用导数研究单调性，求

函数最值，即得解.

【详解】

由2xlnx…-X2+ax,xe[1,+00),可知a,,2\nx+x.

,2

设〃(x)=21nx+x,xe[l,+oo),则"(x)=—+l>0,

x

所以函数〃(工)在[1,用)上单调递增，

所以加彳"皿=〃⑴=L

所以a,,h(x)min=1.

故”的取值范围是(F,l].

故选：B

【点睛】

本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

9.D

【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；a,£可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；

，<lnx<0或%>1,利用集合间的包含关系可判断选项D.

X

【详解】

命题“m/WO,2/Wsin%”的否定形式是“Vx<0,2x>sinx,\故A错误；

则a,尸可能相交，故B错误；若P(0<Jvl)=0.4,则P(l<4<2)=0.4,所以

1-04-041

尸修<0)=----=0.1,故尸(4>0)=0.9,所以C错误；由一<1,得x<0或%>1，

2x

故“X<0”是“工<1”的充分不必要条件，D正确.

x

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容

易题.

10.B

【解析】

通过K?。7.218与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.

【详解】

解:7.218>6.635,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.

【点睛】

本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.

11.B

【解析】

先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二

者之一相邻.

【详解】

首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有A；种不同排列方式，甲、丁排在一起共有8种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有&种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；

根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为(A：+C；A：)=576种.

故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.

12.B

【解析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.

【详解】

如图(1)恰好有3个点到平面a的距离为Q；如图(2)恰好有4个点到平面。的距离为d；如图(3)恰好有6个

点到平面a的距离为".

所以本题答案为B.

【点睛】

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力

和知识方法的迁移能力，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1313

13.—00,--------

2

【解析】

将〃=2代入求解即可；当«为奇数时,cos〃兀=-1，则转化/(〃)=2/+7〃2一丸〃_12o为％<2"+7〃一设

n

g(〃)=2〃2+7〃-L由单调性求得g(〃)的最小值；同理，当〃为偶数时,COSH7T=1,则转化

n

/(〃)=21—7/一助—120为；IW2/—7〃—L设h(x)=2x2-7x--(x^2),利用导函数求得/?(%)的最小值,

nx

进而比较得到力的最大值.

【详解】

13

由题,7(2)=16—28—24—120,解得2W—上

2

当n为奇数时,cos=—1,由J5)=2/+7〃2_丸〃一120,得义W2〃2+7/?--

n

而函数g(n)=2"+7〃—L为单调递增函数，所以=g⑴=8,所以2W8；

n

当"为偶数时,cos〃»=1,由/(〃)=2/一7/一几〃一120，得无W2/一7〃一一

n

设h(x)=2X2-1X-(x22),

x

•：x22,二hr(x)=4x—7+二>0,h(x)单调递增,

x

1313

A〃(幻min=M2)=一］,所以丸W-葭，

综上可知，若不等式/(〃)>0恒成立，则X的最大值为-5.

4田g二(13]13

故答案为：(1)|-8,一■—；⑵----

I2J2

【点睛】

本题考查利用导函数求最值，考查分类讨论思想和转化思想.

14.2

【解析】

根据递推公式可考虑分析4用-4，再累加求出关于％关于参数牡〃的关系，根据表达式的取值分析出加W2,再用数

学归纳法证明加=2满足条件即可.

【详解】

因为%+]_%=己"：_""+m=£(4_4)~+'〃_22'〃_2,

OO

.一!

累加可得%=4+工(%+1-％)21+(加一2)(〃一1).

A=1

若加>2,注意到当〃—用时,(加一2)(〃—1)—”,不满足对任意的正整数〃均有4<4.

所以加02.

当m=2时,证明：对任意的正整数〃都有。<为<4.

当〃=1时，4=1v4成立.

假设当〃=%,(%21)时结论成立，即0<4<4,

则0<《+1=2+工/<2+,x42=4,即结论对〃=左+1也成立.

88

由数学归纳法可知，对任意的正整数〃都有0<4<4.

综上可知，所求实数”的最大值是2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解，同时注意结合参数的范围问题

进行分析.属于难题.

15.1

【解析】

818x_

处理变形x+y=x(―+—)+》=—+—+>结合均值不等式求解最值.

厂yxy

【详解】

81,

X,j>0,且—r+-=l,

尸y

818x,/r-

贝！Jx+y=x(—yH—)+y=—।--by23V8=1,

xyxy

8x

当且仅当一=一=>'时取等号，此时x=4,y=2,取得最小值1.

xy

故答案为：1

【点睛】

此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.

16.100.

【解析】

分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数.

详解：由题意得，三等品的长度在区间［10,15),［15,,20)和［35,40］内，

根据频率分布直方图可得三等品的频率为(0.0125+0.0250+0.0125)x5=0.25,

二样本中三等品的件数为400x0.25=100.

频率

点睛：频率分布直方图的纵坐标为,因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的

高视为频率时常犯的错误.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9

17.(1)—；(2)见解析.

【解析】

事件A,表示男学员在第i次考科目二通过，事件与表示女学员在第i次考科目二通过(其中i=1,2,3,4,5)(1)这对

夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；(2)补考费用之和为X元可能取值为40(),600,

800,1000,1200,根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望.

【详解】

事件A,表示男学员在第i次考科目二通过,

事件g表示女学员在第i次考科目二通过(其中i=1,2,3,4,5).

(1)事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.

P(M)=+4&4+AiA2BlB2^

=p（A4）+尸（4瓦打）+尸（144）+2（AA?瓦巴）

4341314314139

=—x——|X—x——F—X—x——F—X—X—X—=—.

54544554554410

（2）X的可能取值为400,600,800,1000,1200.

433

P（X=400）=P（＞i3B3）=-x-=-,

P（X=600）=P（A,B.B4+^A4B3）=1xlx|+|x^x|=^,

P（X=800）=P^A^B.B,+AJB^B,+AAB,）=lX-x-x-+-x-xl+-xlx-=—,

、）v3'3''5544544554100

P（X=1000）=p（A,4B,+A3A4）=31x；x；+gxgx；x；=^,

P（X=1200）=P（A漉瓦）=3?卜卜卷

则X的分布列为：

X40060080010001200

3271171

P

5Too100400400

3271171

l^EX=400x-+600x——+800x——+1000x—+1200x——=510.5（%）.

5100100400400

【点睛】

本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础

题.

18.(1)①当“<0时，”X)在(0,—a)上单调递减，在(―〃,+<功上单调递增；②当时，/(x)在(0,+8)上单调

递增;

（2）f0,+oo）.

【解析】

(1)求出函数的定义域和导函数，:(幻=r二4-Z^7,对。讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；(2)法一：由

X

/(x)-e'-ar<0得〃(x-lnx)>x-e\

分别运用导函数得出函数sa)=x-e，(x>0),f(x)=x—lnx(x>0)的单调性，和其函数的最值，可得

x-ex

,可得的范围；

x-lnx

法二:由/(x)-e'—ax<0得/(x)<ax+e］化为/(尤)</(『)令〃(x)=x—e'(x>0),研究函数的单调性，可得。

的取值范围.

【详解】

(1)〃x)的定义域为(0,+纥)，/v)=-+i=-,

①当。<0时，由/(x)>0得x>-a,/'(x)<o得0<x<-a,

・•・/(x)在(0,-«)上单调递减，在(-«,用)上单调递增；

②当aN0时，/'(x)>0恒成立,/(x)在(0,+8)上单调递增；

(2)法一：由/(x)-e'-ar<0Wa(x-Inx)>x-e',

令s(x)=x-e*(x>0),则s'(x)=l-e*<0,s(x)在(0,+8)上单调递减，

s(x)<s(0)=-l,5(x)<0,即％—e*<()，

☆f(x)=x-lnx(x>0),«x)=l-L=^~

则x>l,«x)>0,在(l,+«))上单调递增，0<x<"(x)<0,《x)在(0,1)上单调递减，所以r(x)2(l)=l>0,

即x-lnx>0,

x-ex比

...a>--------(*)

x-\nx

x-ex

当。20时，・・・一~J<0,・•.(*)式恒成立，即/(幻―e'—以<()恒成立，满足题意

x-\nx

法二:由/(x)-e'-ax<0得/(x)<ar+e'，・.・/(e")=ar+e",.二/(x)</(er)

令/2(幻=］一elx〉。)，贝iJ//(x)=l—e、<0,..・人(九)在(0,+8)上单调递减，

h(x)<h(0)=-1,?.h(x)<0,即

当。NO时，由(I)知/(x)在(0,+8)上单调递增，「./(九)</(e')恒成立，满足题意

当avO时，令9(x)=Qlnx—e1则°'(x)=g-e*<0(x>0),所以。(x)在(0,+°G)上单调递减，

又夕(1)=一e<0,当％—>0时,^(x)^+oo,/.3re(0,l),使得r)=0,

x

,当/w(O,r)时,9(Xo)〉9(r)=O,Spainx0>e°,

又X。〉以0,，alnxo+无0>6.%+。无0，.•./(无o)-e"-奴o>O,不满足题意，

综上所述，。的取值范围是[0,+8)

【点睛】

本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.

19.(1)证明见解析(2)叵

11

【解析】

(1)由N6A4=N6gA,故AB=BB「所以四边形4为菱形，再通过ACQ4丝ACO5,证得AO=3O,

所以四边形ABBA为正方形，得到ABLAA-

_hn-AA=0,

(2)根据(I)的论证，建立空间直角坐标，设平面4ACG的法向量为加=(x,y,z),由《一J八求得，再由

ob^4i--,^\,利用线面角的向量法公式求解.

【详解】

(1)因为NBAg=NJB61A,故=

所以四边形AABA为菱形，

而CO，平面ABB]A,故ZCOA=NCOB=90°.

因为CO=CO,C4=CB,故NCC2NCOB,

故49=BO,即四边形为为正方形，故

(2)依题意，(:。，。^。。，。^.在正方形4/^与中，O\VOA,

故以。为原点，。4，。4。。所在直线分别为％、>、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系。-WZ;

如图所示:

不纺设AB=2,

则0(0,0,0),A(&,0,0),A(0,0,0),C(0,0,夜),G(0,—72),

又因为历=西+：而，所以。血，一丰.

所以石=(一叵V2,0),AC=(0,-72,V2).

设平面AACC1的法向量为m=(x,y,z),

f/n-AA=0,

则I沅.前=0「

—y[^X+>/2V—0,

即LL，

-J2y+J2z=0.

令x=l,则y=l,z=l.于是m=

又因为历二(④,—4,*,

I337

设直线OD与平面AACC所成角为0,

\m-OD\_A/33

则sin6=|cos(m,OD}|：

\mWOD\~H

所以直线8与平面4ACG所成角的正弦值为叵.

11

【点睛】

本题考查空间线面的位置关系、线面成角，还考查空间想象能力以及数形结合思想，属于中档题.

20.(1)(—2,0),1弓)；(2)a=l或a=-1

【解析】

(1)将曲线C的极坐标方程和直线/的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C与/的交点坐标;

(2)由直线/的普通方程为x+2y—a=0,故。上任意一点P(2cosa,&sine),根据点到直线距离公式求得P到

直线/的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.

【详解】

/、2

(1),:p-=----1--2--,

3+sin-0

3p2+p2sin26>=12.

x-pcosO

得送+犷=12,

y=psin3

22

曲线C的直角坐标方程为工+工=1.

43

当。=一2时，直线/的普通方程为x+2y+2=0

x+2y+2=0X=1

x——2

由fy2解得或<3.

----1----=1。=0y=--

43

从而C与/的交点坐标为(-2,0),

(2)由题意知直线/的普通方程为x+2y-a=0,

x=2cosa

C的参数方程为(。为参数)

y=，3sina

故C上任意一点P(2cosa,6sina)到/的距离为

4sin(a+W

12cosa+2-J3sina-a|

V24sin-a

贝111.dr-

\P1AM.\=.

sin45

■j2\-4-a\

当。20时，|幺|的最大值为=屈所以。=1;

当。＜0时，|PA|的最大值为@4

=7io,所以。=一1.

综上所述，4=1或。=一1

【点睛】

解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属

于中档题.

21.(1)sinC—2/11.(2)a=b=5.

7

【解析】

(1)先由余弦定理求得。，再由正弦定理计算即可得到所求值；

(2)运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC,运用正弦定理和三角形的面积公式可

得a,b的方程组，解方程即可得到所求值.

【详解】

解：(1)由余弦定理

a12-b2+c2-26ccosA=9+4-2x3x2x—=7,a=S

2

由正弦定理，得sinC=