必修2第二章直线、平面垂直的判定及其性质

星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第〔〕次课共〔〕次课课时：2课时教学课题人教版必修2第二章直线、平面垂直的判定及其性质同步教案3教学目标知识目标：理解并掌握直线、平面之间垂直的判定定理与性质定理以及它们之间的转化，会求线面角及二面角.能力目标：能应用线面、面面垂直的判定定理与性质定理证明空间中线面的垂直关系情感态度价值观：进一步培养学生的空间想象能力教学重点与难点重点：理解且能证明直线和平面垂直，面面垂直难点：线面角及面面角的求法教学过程〔一〕直线与平面垂直的判定知识梳理1．直线与平面垂直2．判定定理3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°_；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是．例题精讲【题型一、线面垂直的判定】【例1】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.【方法技巧】线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．【题型二、】【例2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．【方法技巧】求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比方中心、垂心、重心等．【题型三、线面垂直的综合应用】【例3】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．【方法技巧】(1)中还可取AB中点Q，连结EQ，FQ，证明AB⊥平面EFQ，那么AB⊥EF，加上EF⊥PB，那么EF⊥平面PAB.(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角．稳固训练1．假设直线a与平面α内的两条直线垂直，那么直线a与平面α的位置关系是()A．垂直 B．平行C．斜交或在平面内 D．以上均有可能2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．那么能保证该直线与平面垂直()A．①③ B．①②C．②④ D．①④3．以下命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，那么l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，那么l⊥α；③如果直线l不垂直于α，那么α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，那么α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1C．2 D．34．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是()A．(0°，90°) B．[0°，90°]C．(0°，90°] D．[0°，180°]5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，那么BD1与平面A1B1C1D1所成的角的余弦值大小为________．6．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD，∠ACB＝∠ACD.求证：BD⊥平面PAC.〔二〕平面与平面垂直的判定知识梳理1．二面角2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图．(3)判定定理例题精讲【题型一、求二面角的大小】【例1】在正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)求二面角D′－AB－D的大小；(2)求二面角A′－AB－D的大小．【方法技巧】：1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如下图，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如下图，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如下图，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．【题型一、面面垂直的判定】【例2】如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.【方法技巧】证明平面与平面垂直的方法根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．【题型三、线面、面面垂直的综合问题】【例3】如下图，三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D－AP－C的正弦值；(3)假设M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．【变式】如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)假设AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．稳固训练1．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有()A．0个B．1个C．2个 D．3个2．二面角是指()A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形B．一个半平面与另一个半平面组成的图形C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形D．两个相交的平行四边形组成的图形3．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，那么图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对 C．4对 D．5对4．自二面角α－l－β的棱l上任选一点O，假设∠AOB是二面角α－l－β的平面角，必须具有条件()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l且AO⊂α，BO⊂β5．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，那么二面角B－PA－C的大小等于________．6．如右图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.〔三〕直线与平面垂直的性质知识梳理直线与平面垂直的性质定理例题精讲【题型一、线面垂直的性质】【例1】如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.【方法技巧】证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的．【题型二、线面垂直的性质的综合应用】【例2】如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．【方法技巧】线面垂直与平行的相互转化：(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终到达目的．稳固训练1．以下说法中不正确的选项是()A．假设一条直线垂直于一个三角形的两边，那么一定垂直于第三边B．同一个平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与平面垂直2．直线a，b，平面α，且a⊥α，以下条件中，能推出a∥b的是()A．b∥α B．b⊂αC．b⊥α D．b∩α＝A3．直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，那么以下四个说法中正确的选项是()①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.A．②④ B．①②C．③④ D．①③4．如右图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，那么DE与平面PAC的位置关系是________．5．AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如下图，且AF＝DE，AD＝6，那么EF＝________.6．如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD.〔四〕平面与平面垂直的性质知识梳理平面与平面垂直的性质定理例题精讲【题型一、平面垂直性质定理的应用】【例1】：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.【方法技巧】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．【题型二、与面面垂直有关的计算】【例2】如下图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长．【方法技巧】1.与面面垂直有关的计算问题的类型：(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．(3)求几何体的体积或平面图形的面积．2．计算问题的解决方法：(1)上述计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．【题型三、线线、线面、面面垂直的综合应用】【例3】如下图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE.【方法技巧】：(1)空间垂直关系的判定方法.(2)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终到达目的，其转化关系如下：(3)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．稳固训练1．设两个平面互相垂直，那么()A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直2．点P到平面四边形ABCD四条边的距离相等，那么四边形ABCD是()A．某圆的内接四边形 B．某圆的外切四边形C．正方形 D．任意四边形3．在空间中，用x、y、z表示不同的直线或平面，假设命题“x⊥y，x⊥z，那么y∥z”成立，那么x、y、z分别表示的元素是()A．x、y、z都是直线B．x、y、z都是平面C．x、y是平面，z是直线D．x是直线，y、z是平面4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出以下命题：①假设a∥b，b∥c，那么a∥c；②假设a⊥b，b⊥c，那么a⊥c；③假设a∥γ，b∥γ，那么a∥b；④假设a⊥γ，b⊥γ，那么a∥b.其中真命题的序号是()A．①② B．②③C．①④ D．③④5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，那么直线m与n的位置关系是________．6．如下图，：α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.课后作业【根底稳固】1．以下命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个 D．5个2．以下命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，那么a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的选项是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②3．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，那么下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面A