山西省同煤一中联盟校2024年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

山西省同煤一中联盟校2024年高三第一次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（）A． B． C． D．2．定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．4．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为A． B．C． D．6．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（）A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立7．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（）A． B．C． D．8．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（）A．3 B． C． D．9．若复数是纯虚数，则实数的值为()A．或 B． C． D．或10．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（）A． B． C． D．11．已知集合A，B=,则A∩B=A． B． C． D．12．设全集U=R，集合，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知在等差数列中，，，前n项和为，则________.14．二项式的展开式中项的系数为_____．15．设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的一次函数与轴的交点为，且互不相等，则称为关于函数的平均数，记为.当_________时，为的几何平均数.（只需写出一个符合要求的函数即可）16．已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中.（1）当时，求在的切线方程；（2）求证：的极大值恒大于0.18．（12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.（1）求频数分布表中，的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.19．（12分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”为假命题，求的取值范围.20．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：．21．（12分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．（1）求p的值；（2）求证：数列{an}为等比数列；（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．22．（10分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等比数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.【详解】，故，所以曲线在处的切线方程为：.令，则，故切线的纵截距为.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.2、B【解析】

由题意可得的周期为，当时，，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数，满足任意，，令，又，为周期为的偶函数，当时，，当，当，作出图像，如下图所示：函数至少有三个零点，则的图像和的图像至少有个交点，，若，的图像和的图像只有1个交点，不合题意，所以，的图像和的图像至少有个交点，则有，即，.故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.3、D【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4、A【解析】

根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数为幂函数时，，解得或，∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.5、A【解析】

作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果.【详解】如图，作交于点，则，由题意，，，且，所以又，所以，，即，所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.6、C【解析】

写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.7、A【解析】

先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.【详解】因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.8、C【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故选：C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.9、C【解析】试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数10、B【解析】

把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．【详解】由题意，，或，，不妨取或，若，则函数为，四个选项都不合题意，若，则函数为，只有时，，即是对称轴．故选：B．【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．11、A【解析】

先解A、B集合，再取交集。【详解】,所以B集合与A集合的交集为，故选A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。12、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【详解】，，则，故选：A．【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、39【解析】

设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.【详解】设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.故答案为：39【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.14、15【解析】

由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.【详解】由题得，，令，解得，所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为：15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.15、【解析】

由定义可知三点共线，即，通过整理可得，继而可求出正确答案.【详解】解：根据题意，由定义可知：三点共线.故可得：，即，整理得：，故可以选择等.故答案为:.【点睛】本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.16、【解析】

求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（2）分类讨论得出极大值即可判断.【详解】（1），当时，，，则在的切线方程为；（2）证明：令，解得或，①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，∴函数无极值；②当时，令，解得，令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，∴；③当时，令，解得，令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，∴，综上，函数的极大值恒大于0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18、（1）；（2）680元.【解析】

（1）根据题意，列方程，然后求解即可（2）根据题意，计算出10000元使用“余额宝”的利息为（元）和10000元使用“财富通”的利息为（元），得到所有可能的取值为560（元），700（元），840（元），然后根据所有可能的取值，计算出相应的概率，并列出的分布列表，然后求解数学期望即可【详解】（1）据题意，得，所以.（2）据，得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人.10000元使用“余额宝”的利息为（元）.10000元使用“财富通”的利息为（元）.所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）.，，.的分布列为560700840所以（元）.【点睛】本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题，属于基础题19、（1）（2）【解析】

（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式的解集.（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.【详解】解：（1）当时，由，得.故不等式的解集为.（2）因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以.因为，所以，则，所以，即，解得，即的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.20、（Ⅰ），．（Ⅱ）见解析【解析】

（1）由，分和两种情况，即可求得数列的通项公式；（2）由题，得，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）解：由题，得当时，，得；当时，，整理，得．数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，故．故得证．【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.21、（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析【解析】

（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.【详解】（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，当n＝2时，，解得a2＝0或，而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；（2）当p＝2时，①，则②，②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，④﹣③得（n∈N*