计算机导论课件：数制与编码

1.1数制1.2编码数制与编码1.1数

制1.1.1进位制数及其相互转换1.进位制数1)十进制数日常生活中采用的进位制数是十进制数(Decimal)，具有如下特点：选用的数字符号是符号0～9，共十个；采用的计数规则是低位向高位逢十进一；基数为10，第i位的位权为10i(整数部分最低位为第0位)，即每个位上的数字符号意义不同。例如，11的第一个1是1×101=10，第二个1是1×100=1。例1-1(16.5625)10=1×101+6×100+5×10-1+6×10-2+2×10-3+5×10-42)二进制数计算机采用的进位制数是二进制数(Binary)，具有如下特点：选用的数字符号是符号0~1，共两个；采用的计数规则是低位向高位逢二进一；基数为2，第i位的位权为2i(整数部分最低位为第0位)。例1-2(1100.011)2=1×23+1×22+1×2-2+1×2-3计算机学科也采用八进制数(Octal)和十六进制数(Hexadecimal)，但是在计算机中只采用二进制，引入八进制和十六进制是因为它们比二进制简洁，而且二进制与它们的转换比与十进制的转换简单。各进制数的特点如表1-1所示。(2)小数转换。十进制小数转换为二进制小数采用乘2取整法，即首先用2连续乘该十进制小数及得到的积的小数，并列出积的整数，直至积的小数为0，然后把积的整数按得到的先后顺序，从高位到低位排列。若出现积的小数不可能为0的情况，则转换过程的终止可由转换精度确定。例1-6(0.3)10=(0.01001100110011……)22)二进制数与八进制数的转换由于81=23，所以八进制数与二进制数之间存在简单的转换方法，即1位八进制对应3位二进制。二进制数与八进制数及十六进制数的对应关系如表1-2所示。八进制数转换为二进制数的方法是：1位八进制直接转换为对应的3位二进制。例1-7(16.14)8=(001110.001100)2=(1110.0011)2二进制数转换为八进制数的方法是：首先以小数点为界，整数部分从低位向高位每3位1组划分，高位组不足3位时，高位补0；小数部分从高位向低位每3位1组划分，低位组不足3位时，低位补0，然后将每组的3位二进制直接转换为对应的1位八进制。例1-8(10011.00101)2=(010011.001010)2=(23.12)83)二进制数与十六进制数的转换由于161=24，所以十六进制数与二进制数之间也存在简单的转换方法，即1位十六进制对应4位二进制，对应关系如表1-2所示。十六进制数转换为二进制数的方法是：1位十六进制直接转换为对应的4位二进制。例1-9(3A.B2)16=(00111010.10110010)2=(111010.1011001)2二进制数转换为十六进制数的方法是：首先以小数点为界，整数部分从低位向高位每4位1组划分，高位组不足4位时，高位补0；小数部分从高位向低位每4位1组划分，低位不足4位时，低位补0，然后每组的4位二进制直接转换为对应的1位十六进制。例1-10(1111111.1110011)2=(01111111.11100110)2=(7F.E6)161.1.2定点与浮点表示在计算机中，小数点不用专门的器件表示，而是按约定的方式标出，有两种方法表示小数点的位置：定点表示与浮点表示。定点表示的数称为定点数，浮点表示的数称为浮点数。在介绍它们之前，首先简单介绍计算机采用的存储单位。数据的存储与处理以字节为基本单位。1个1或0称为1个位(bit)，8个位称为1个字节(Byte)，210个字节称为1K个字节(KB)，220个字节称为1M个字节(MB)，230个字节称为1G个字节(GB)，240个字节称为1T个字节(TB)1.定点表示定点表示是指小数点位置固定不变，分为定点整数与定点小数，定点整数的小数点位置隐式地固定在数值位之后，表示纯整数；定点小数的小数点位置隐式地固定在数值位之前，表示纯小数，如图1-1所示。数值的位数n决定了所能表示的数值范围，如机器数采用原码，则定点整数的二进制数值范围为±，十进制数值范围为±(2n-1)，定点小数的二进制数值范围为±，十进制数值范围为±(1-2-n)。例1-11以定点整数为例，设字长为8位(采用8位存储数据)，从高位到低位依次是：符号1位，数值7位，小数点位置隐式地固定在数值位之后，所能表示的二进制数值范围为±1111111，对应的十进制数值范围为±(27-1)。(-10000)2的定点整数存储如图1-2所示，其中，负号用1表示，正号用0表示。2.浮点表示浮点表示是指小数点位置随着阶的变化而左右浮动。浮点表示用于实数，称为浮点实数。事实上，浮点表示采用记阶表示，即任何二进制数N都可以采用如图1-3所示的记阶表示，其中，阶数为二进制正整数，尾数为二进制正小数。例1-12(-11.01)2=(-0.1101×2+10)2=(-0.01101×2+11)2=(-0.001101×2+100)2从例中可以看到，小数点位置随着阶的变化而左右浮动。在计算机中，浮点实数表示格式如图1-4所示，小数点位置隐式地表示在尾数位之前，尾数随着阶的变化而变化，因此小数点位置也随着阶的变化而左右浮动。阶符和阶数的位数m决定了其所能表示数值的范围及小数点的实际位置。尾符决定了数值的正负，尾数的位数n决定了数值的精度。如浮点实数为非规范化浮点数时，其表示范围如图1-5所示。例1-13设字长为8位，从高位到低位依次是：阶符1位，阶数2位，尾符1位，尾数4位，则浮点实数表示格式如图1-6所示，小数点位置隐式地表示在尾数位之前，所能表示数值的正数范围为2-3×2-4~23×(1-2-4)，负数范围为-23×(1-2-4)~-2-3×2-4。(-11.01)2=(-0.1101×2+10)2的浮点实数存储可见图中。一个二进制数的记阶表示不唯一，不同的记阶表示需要的阶数位数和尾数位数不同，为了提高浮点表示的精度，人们引入了规范化浮点数。尾数最高位为1的浮点实数称为规范化浮点数。当对非规范化浮点数进行规范化时，尾数左移1位，阶数减1，尾数右移1位，阶数加1。1.1.3机器数在计算机中，二进制数的正号与负号也必须转换为0和1的形式，用0表示正号，用1表示负号，未转换的二进制数称为真值，转换后的二进制数称为机器数。机器数有多种表式形式，这里将介绍原码与补码。1.原码原码是最简单的机器数，它仅将真值的正号(+)与负号(-)分别转换为0与1。设字长为n位，二进制整数x的原码[x]原定义为二进制纯小数x的原码[x]原定义为二进制数x转换为原码[x]原的简单方法是：当x为正数时，[x]原的符号位为0，数值位不变；当x为负数时，[x]原的符号位为1，数值位不变。反之，原码[x]原转换为二进制数x的简单方法是：当[x]原的符号位为0时，x为正数，数值位不变；当[[x]原的符号位为1时，x为负数，数值位不变。例1-14设字长为8位，采用定点表示，“|”分隔符号位与数值位，“.”表示小数点位置。显然，在原码中，数值0有两种形式：[+0]原=0|0000000.，[-0]原=1|0000000.。2.补码对于加法运算，原码与真值的运算步骤较复杂。为了简化运算，引入了补码。设字长为n位，二进制整数x的补码[x]补定义为二进制纯小数x的补码[x]补定义为二进制数x转换为补码[x]补的简单方法是：当x为正数时，[x]补的符号位为0，数值位不变；当x为负数时，[x]补的符号位为1，数值位为取反加1(整数相当于加1，纯小数相当于加2-(n-1))。反之，补码[x]补转换为二进制数x的简单方法是：当[x]补的符号位为0时，x为正数，数值位不变；当[x]补的符号位为1时，x为负数，数值位为取反加1(整数相当于加1，纯小数相当于加2-(n-1))。例1-15设字长为8位，采用定点表示，“|”分隔符号位与数值位，“.”表示小数点位置。对于补码，[+0]补=0|0000000.，[-0]补=0|0000000.，数值0有唯一的形式。对于所能表示数值的范围，补码比原码多1个负数[-10000000]补=1|1000000.3.补码运算对于加法运算，补码具有如下特点，可以简化运算。(1)[x+y]补=[x]补+[y]补，即二进制数的加法运算可以转换为补码的加法运算；(2)在补码的加法运算中，符号位直接参加运算。事实上，在计算机中，二进制数的乘法可以用移位与加法实现，除法可以用移位与减法实现，减法可以用加法实现，而加法可以用补码加法简化运算，所以在计算机中只需加法器。例1-16设字长为8位，采用定点表示，“|”分隔符号位与数值位，“.”表示小数点位置。在③的补码加法中，由于字长为8位，和的最高位1无法保存，自动丢弃，但是结果仍然是正确的，这是因为和仍然在字长8位所能表示数值的范围之内。在④的补码加法中，和的补码的符号位为1，这说明和的真值为负，但是两个正数的和应该为正，这说明④的补码加法出错，原因是字长不够，即和超出字长8位所能表示数值的范围，这种现象称为溢出。1.2编码1.2.1字符编码字符编码的方法是：如果编码长度为n位，则至多可以得到2n个编码，至多可以区分2n个字符；反之，如果为m个字符编码，则编码长度至少应为lbm位。确定编码长度之后，为不同的字符指派不同的编码即可。根据字符编码方法，可以有很多字符编码方案，但是为了方便计算机之间的相互通信，必须标准化字符编码。ASCII码(美国标准信息交换代码)是一种最常用的字符编码标准，它采用的编码长度是7位，可以表示27即128个字符，包括英文字母、数字、标点符号共计94个普通字符以及34个控制字符，ASCII码与字符的对应关系如表1-3所示。计算机的基本单位是字节，因此1个字符在计算机中采用8位存储。要注意的是，十进制数32在计算机中可以表示为二进制数00100000，称为二进制格式，也可以表示为ASCII码0011001100110010，称为文本格式。1.2.2汉字编码汉字编码的原理类似于字符编码，但是汉字较多，显然编码长度应更长。1980年我国发布了汉字国标码GB2312—80(国家标准信息交换汉字编码)，它的编码长度是2个字节，每个字节的最高位为0，实际采用每个字节的低7位，共计14位进行汉字编码，最多可编码214个汉字，实际表示最常用的6763个汉字和682个非汉字图形符号。在计算机中，字符ASCII码的字节最高位也为0，为了区别汉字编码与ASCII码，将汉字国标码的每个字节最高位由0变为1，称为汉字机内码。汉字编码除了GB2312—80外，还有一些其它编码，例如GBK、GB18030、UCS、Unicode等，所以在查看汉字时，有时会出现乱码，主要原因就是使用了不同的汉字编码。1.2.3图像编码表示图像的技术可以划分为位图技术与矢量技术。图像的位图编码方法是：将图像分成若干行若干列，一个交叉点称为一个像素，整幅图像由若干像素构成，只要像素被编码了，整个图像也就被编码