2024年高考数学二轮复习第一篇核心专题突破专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质

第一篇专题五第2讲一、单项选择题1.(2023·榆林四模)双曲线eq\f(y2,8)－eq\f(x2,6)＝1的一条渐近线方程为(D)A．3x－4y＝0 B．4x－3y＝0C.eq\r(3)x＋2y＝0 D．2x－eq\r(3)y＝0【解析】由eq\f(y2,8)－eq\f(x2,6)＝0，得eq\f(y2,8)＝eq\f(x2,6)，得y＝±eq\r(\f(8,6))x＝±eq\f(2\r(3),3)x，即2eq\r(3)x±3y＝0，即2x±eq\r(3)y＝0.故选D.2.(2023·海淀区一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|＝(D)A．2 B．3C．4 D．5【解析】∵抛物线方程为y2＝4x，∴eq\f(p,2)＝1，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，∴|PF|＝eq\f(p,2)＋4＝5.故选D.3.(2023·顺义区二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线过双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的一个焦点，则p＝(C)A．1 B．2C．4 D．8【解析】双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标(±2,0)，抛物线y2＝2px(p＞0)的准线过双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的一个焦点，所以eq\f(p,2)＝2，可得p＝4.故选C.4.(2023·临泉县校级三模)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若△ABF为直角三角形，则该椭圆的离心率为(C)A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,4)【解析】椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若△ABF为直角三角形，则只有AB⊥BF，∴kAB·kBF＝－1，不妨取A为右顶点(a,0)，B为上顶点(0，b)，则F为左焦点(－c,0)，则－eq\f(b,a)·eq\f(b,c)＝－1，即b2＝ac，∴a2－c2＝ac，两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(－1±\r(5),2)(舍负)．故选C.5.(2023·镇江三模)点(0,4)到双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为eq\f(16,5)，则双曲线的离心率为(C)A.eq\f(5\r(6),12) B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．5【解析】点(0,4)到双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线ax＋by＝0的距离为eq\f(16,5)，可得eq\f(4b,\r(a2＋b2))＝eq\f(16,5)，即25b2＝16a2＋16b2,9b2＝16a2，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(5,3).故选C.6.(2023·山东模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点在圆x2＋y2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为(C)A．1 B．2C．4 D．8【解析】由于抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点在x轴正半轴上，x2＋y2＝4与x轴正半轴的交点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以eq\f(p,2)＝2⇒p＝4，因此抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.故选C.7.(2023·淄博模拟)直线x－2y＋2＝0经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若＝3，则该椭圆的离心率为(C)A.eq\f(\r(17)＋\r(5),8) B．eq\f(\r(17)－\r(5),4)C.eq\f(\r(17)－\r(5),2) D．eq\f(\r(17)＋\r(5),9)【解析】由直线方程可得F(－2,0)，M(0,1)，则c＝2，又∵＝3，即|FM|＝3|MA|，根据相似三角形可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))，则2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(2(\r(17)＋\r(5)),3)，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4,\f(2(\r(17)＋\r(5)),3))＝eq\f(\r(17)－\r(5),2)，故选C.8.(2023·哈尔滨二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，直线y＝kx(k＞0)与双曲线C交于P，Q两点，且∠PF1Q＝eq\f(2π,3)，·＝4，则当eq\f(1,2)a2＋eq\f(b2,a2)取得最小值时，双曲线C的离心率为(D)A．3 B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(2)【解析】不妨设P位于第一象限，双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，F2Q，如图所示：∵O为PQ，F1F2中点，∴四边形PF1QF2为平行四边形，∴＝，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m，n＞0)，则m－n＝2a，又·＝4，即·＝mncoseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)mn＝4，解得mn＝8，在△PF1F2中，|F1F2|2＝m2＋n2－2mncoseq\f(π,3)＝(m－n)2＋mn＝4a2＋8＝4c2，∴b2＝c2－a2＝2，∴eq\f(1,2)a2＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(a2,2)＋eq\f(2,a2)≥2eq\r(\f(a2,2)·\f(2,a2))＝2(当且仅当a2＝2时取等号)，∴当eq\f(1,2)a2＋eq\f(b2,a2)取得最小值时，双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2)，故选D.二、多项选择题9.(2023·茂名二模)已知O为坐标原点，椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在C上，且＝，则下列说法正确的是(ACD)A．△PQF2周长的最小值为14B．四边形PF1QF2可能是矩形C．直线PB，QB的斜率之积为定值－eq\f(9,16)D．△PQF2的面积最大值为3eq\r(7)【解析】由＝，可知P，Q关于原点对称，对于A，根据椭圆的对称性，|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋|PF2|＋|PF1|＝|PQ|＋8，当PQ为椭圆的短轴时，|PQ|有最小值6，所以△PQF2周长的最小值为14，故A正确；对于B，因为tan∠F1AO＝eq\f(c,b)＝eq\f(\r(7),3)，所以∠F1AO<eq\f(π,4)，则∠F1AF2<eq\f(π,2)，故椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝eq\f(π,2)，又四边形PF1QF2是平行四边形，所以四边形PF1QF2不可能是矩形，故B不正确；对于C，由题意得B(4,0)，设P(x，y)，则Q(－x，－y)，所以kPB·kQB＝eq\f(y,x－4)·eq\f(－y,(－x)－4)＝eq\f(y2,x2－16)＝eq\f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,16))),x2－16)＝－eq\f(9,16)，故C正确；对于D，设△PF2Q的面积为S＝eq\f(1,2)|OF||yP－yQ|，所以当PQ为椭圆的短轴时，|yP－yQ|＝6最大，所以S＝eq\f(1,2)|OF||yP－yQ|≤eq\f(1,2)×eq\r(7)×6＝3eq\r(7)，故D正确．故选ACD.10.(2023·福田区校级模拟)已知点F1、F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＝3|PF2|，则(BCD)A．|PF1|与双曲线的实轴长相等B．△PF1F2的面积为eq\f(3,2)a2C．双曲线的离心率为eq\f(\r(10),2)D．直线eq\r(3)x＋eq\r(2)y＝0是双曲线的一条渐近线【解析】因为|PF1|＝3|PF2|，又由题意及双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|＝a，|PF1|＝3a≠2a，所以A不正确；因为P在以F1F2为直径的圆上，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)·3a·a＝eq\f(3,2)a2，所以B正确；在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10a2，即4c2＝10a2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)，所以C正确；因为b2＝c2－a2＝eq\f(3,2)a2，所以渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),\r(2))x，即eq\r(3)x±eq\r(2)y＝0，所以D正确；故选BCD.11.(2023·德州三模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，直线l与x轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则(ACD)A．若x1＋x2＝8，则|AB|＝12B.·＝－27C.eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2)D．△PAB面积的最小值为16【解析】抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线l：x＝－2，P(－2,0)，设直线AB为x＝my＋2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x＝my＋2，))即y2－8my－16＝0，Δ＝64m2＋64＞0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝8m，,y1y2＝－16，))yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝64x1x2＝162，故x1x2＝4，对选项A：|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4＝12，正确；对选项B：·＝x1x2＋y1y2＝4－16＝－12，错误；对选项C：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋2)＋eq\f(1,x2＋2)＝eq\f((x1＋x2)＋4,x1x2＋2(x1＋x2)＋4)＝eq\f((x1＋x2)＋4,2(x1＋x2)＋8)＝eq\f(1,2)，正确；对选项D：S△PAB＝eq\f(1,2)×|PF|×|y2－y1|＝2eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝2eq\r(64m2＋64)≥16，当m＝0时等号成立，正确；故选ACD.12.(2023·菏泽二模)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1.F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为x＋eq\r(2)y－3＝0，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是(ACD)A．椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝3B．记点A到直线l的距离为d，则d－|AF2|的最小值为eq\f(4\r(3),3)C．一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6D．△AOB的面积的最小值为eq\f(2,3)，最大值为eq\f(\r(2),2)【解析】对于A，当直线MA，MB一条斜率为0，另一条斜率不存在时，则M(±eq\r(2)，±1)，由蒙日圆的定义可得蒙日圆方程为；x2＋y2＝2＋1＝3，故A正确；对于B，∵A为椭圆C上的点，|AF1|＋|AF2|＝2a＝2eq\r(2)，∴d－|AF2|＝d－(2eq\r(2)－|AF1|)＝d＋|AF1|－2eq\r(2)；∵d＋|AF1|的最小值为点F1到直线l的距离，又F1(－1,0)，∴(d＋|AF1|)min＝eq\f(4,\r(1＋2))＝eq\f(4\r(3),3)，∴(d－|AF2|)min＝eq\f(4\r(3),3)－2eq\r(2)，B错误；对于C，矩形四条边均与C相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，设矩形的长为m，宽为n，蒙日圆的半径r＝eq\r(3)，∴m2＋n2＝(2eq\r(3))2＝12，∴mn≤eq\f(1,2)(m2＋n2)＝6(当且仅当m＝n＝eq\r(6)时取等号)，此矩形面积最大值为6，C正确；对于D，设A(x1，y1)位于椭圆上半部分，即y＝eq\r(1－\f(1,2)x2)，∴y′＝－eq\f(x,2\r(1－\f(1,2)x2))，在A处的切线斜率k＝－eq\f(x1,2\r(1－\f(1,2)x\o\al(2,1)))＝－eq\f(x1,2y1)，切线方程为：y－y1＝－eq\f(x1,2y1)(x－x1)，即x1x＋2y1y＝xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝2，∴在A处的切线方程为eq\f(1,2)x1x＋y1y＝1，同理可得：当A(x1，y1)位于椭圆下半部分，即y＝－eq\r(1－\f(1,2)x2)，切线方程为eq\f(1,2)x1x＋y1y＝1，在点A处的切线方程为eq\f(1,2)x1x＋y1y＝1，同理可知：在点B处的切线方程为eq\f(1,2)x2x＋y2y＝1，设H(x0，y0)，则eq\f(1,2)x1x0＋y1y0＝1且eq\f(1,2)x2x0＋y2y0＝1，可知A，B坐标满足方程，eq\f(1,2)x0x＋y0y＝1，即切点弦AB所在直线方程为eq\f(1,2)x0x＋y0y＝1，当y0＝0时，M(±eq\r(3)，0)，此时AB所在直线方程为：x＝±eq\f(2\r(3),3)，∴|AB|＝2eq\r(1－\f(\f(4,3),2))＝eq\f(2\r(3),3)，∴SAOB＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3),3)×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(2,3)；当y0≠0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x0x＋y0y＝1，,\f(1,2)x2＋y2＝1，))得：(2yeq\o\al(2,0))x2－4x0x＋4－4yeq\o\al(2,0)＝0，由A知：xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝3，∴(6－xeq\o\al(2,0))x2－4x0x＋4xeq\o\al(2,0)－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(4x0,6－x\o\al(2,0))，x1x2＝eq\f(4x\o\al(2,0)－8,6－x\o\al(2,0))，|AB|＝eq\r(1＋\f(x\o\al(2,0),4y\o\al(2,0)))·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x\o\al(2,0),6－x\o\al(2,0))))2－4×\f(4x\o\al(2,0)－8,6－x\o\al(2,0)))＝eq\r(\f(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0),4y\o\al(2,0)))·eq\r(\f(16(x\o\al(2,0)－3)(x\o\al(2,0)－4),(6－x\o\al(2,0))2))，又原点O到直线AB的距离d＝eq\f(1,\r(\f(x\o\al(2,0),4)＋y\o\al(2,0)))＝eq\f(2,\r(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\r(\f(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0),4y\o\al(2,0)))·eq\r(\f(16(x\o\al(2,0)－3)(x\o\al(2,0)－4),(6－x\o\al(2,0))2))·eq\f(2,\r(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0)))＝eq\r(\f(4(4－x\o\al(2,0)),(6－x\o\al(2,0))2))＝2eq\r(\f(6－x\o\al(2,0)－2,(6－x\o\al(2,0))2))＝2eq\r(－\f(2,(6－x\o\al(2,0))2)＋\f(1,6－x\o\al(2,0)))，令eq\f(1,6－x\o\al(2,0))＝t，∵xeq\o\al(2,0)∈[0,3)，则t∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,3)))，∵y＝－2t2＋t为开口方向向下，对称轴为t＝eq\f(1,4)的抛物线，ymax＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，ymin＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，(S△AOB)max＝eq\f(\r(2),2)，(S△AOB)min＝eq\f(2,3)，综上所述：面积的最小值为eq\f(2,3)，最大值为eq\f(\r(2),2)，故D正确．故选ACD.三、填空题13.(2023·桐乡市校级模拟)已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,m)＝1的左、右焦点分别为点F1、F2，若椭圆上顶点为点B，且△F1BF2为等腰直角三角形，则m＝_8__.【解析】椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,m)＝1，故a2＝16，b2＝m，△F1BF2为等腰直角三角形，故b＝c，故a2＝2b2，即16＝2m，m＝8.14.(2023·抚松县校级模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|＝eq\r(2)|AB|.则双曲线的离心率为eq\r(2).【解析】由题意可得eq\f(p,2)＝c，即p＝2c，抛物线的准线方程x＝－eq\f(p,2)，联立x＝－c代入双曲线的方程可得y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－1))＝b2·eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(b4,a2)，可得|y|＝eq\f(b2,a)，可得|AB|＝2|y|＝eq\f(2b2,a)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－c，,y＝－\f(b,a)x，))可得y＝eq\f(bc,a)，即|CD|＝eq\f(2bc,a)，因为|CD|＝eq\r(2)|AB|，所以eq\f(2bc,a)＝eq\r(2)·eq\f(2b2,a)，可得c＝eq\r(2)b，即a2＋b2＝2b2，可得a＝b，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2)b,b)＝eq\r(2).15.(2023·武功县校级模拟)已知点F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|·|FB|＝3，则p＝eq\f(3,2).【解析】由题意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，AB的方程为y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入C的方程，得3x2－5px＋eq\f(3p2,4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(5p,3)，x1x2＝eq\f(p2,4)；因为|FA|＝eq\f(p,2)＋x1，|FB|＝eq\f(p,2)＋x2，且|FA|·|FB|＝3，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋x1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋x2))＝3，整理得eq\f(p2,4)＋eq\f(p,2)·(x1＋x2)＋x1x2＝3，所以eq\f(p2,4)＋eq\f(p,2)·eq\f(5p,3)＋eq\f(p2,4)＝3，结合p＞0，解得p＝eq\f(3,2).16.(2023·黄石模拟)设椭