2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解

专题2021年上海各区分类汇编・25题

专题一动点函数下的相似三角形

【知识梳理】

作垂线，构造直角三角形

动点函数的辅助线连接线

作平行线，构造A型X型

勾股定理

动点边长的函数关系式相似三角形

解三角形

求本身三角形的面积

动点面积的函数关系式令----------------------

V利用相似三角形求面积转换

动点函数专题归题型

作垂线求本角的锐角三角比

动点锐角三角比的国数关系式e

角度等里代换求锐角三角比

两条边分别求，参照翻折边长

Y动点比例的函数关系式在相似三角形找比例

利用两个比例式组合

根据对应边成比例求解

动点下的相似三角形根据对应角相等后等里代换

得出其他的三角形关系求解

【历年真题】

1.(2020秋•闵行区期末)如图，在矩形ABCQ中，AB=2,AD=\,点E在边AB上(点

E与端点A、B不重合)，联结力E,过点。作。FJ_Z)E,交BC的延长线于点凡联结EF,

与对角线AC、边CQ分别交于点G、H.设AE=x,DH=y.

(1)求证：XADEsf\CDF,并求的正切值；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；

(3)联结BG,当△8GE与△£>£：〃相似时，求x的值.

备用图

2.（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt/VIBC中，ZACB=90°,AC=BC=4,点。

为边BC上一动点（与点8、C不重合），点E为A8上一点，NEDB=NADC,过点E作

EF±AD,垂足为点G,交射线AC于点F.

（1）如果点。为边BC的中点，求/D4B的正切值；

（2）当点F在边AC上时，设CO=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及x的取值范围;

（3）联结。F,如果△（?£>/与aAGE相似，求线段C。的长.

备用图

3.（2020秋•松江区期末）如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC=5>/5,tanZABC=2,

BF1AC,垂足为R点。是边48上一点（不与48重合）.

（I）求边BC的长；

（2）如图2,延长。F交BC的延长线于点G,如果CG=4,求线段4）的长；

(3)过点。作QELBC,垂足为E,DE交BF于点Q,联结。F,如果△QQF和△ABC相

似，求线段B。的长.

专题二动点函数背景下的面积问题

【知识梳理】

作垂线，构造直角三角形

动点函数的辅助线连接线

作平行线，构造A型X型

勾股定理

F动点边长的函数关系式相似三角形

解三角形

求本身三角形的面积

动点面积的国数关系式

利用相似三角形求面积转换

题型

动点函数专题技作垂线求本角的锐角三角比

r动点锐角三角比的函数关系式a

角度等里代换求锐角三角比

两条边分别求，参照翻折边长

动点比例的函数关系式在相似三角形找比例

利用两个比例式组合

直接求三角形的面积（公式法）

间接求三角形的面积（割补法）

动点下的面积问题

用相似三角形求解面积

同底或者同高（高或者底成比例）

【历年真题】

1.（2020秋♦静安区期末）已知/MAN是锐角，点3、C在边AM上，点。在边AN上，Z

3

EBD=NMAN,KCE//BD,sin/K4N=—,AB=5,AC=9.

5

（1）如图1,当CE与边AN相交于点F时，求证：DF・CE=BC・BE；

（2）当点E在边AN上时，求AO的长；

（3）当点E在/M4N外部时，设AZ）=x,ZXBCE的面积为y,求y与x之间的函数解析式,

并写出定义域.

图1备用图

专题三动点函数背景下的等腰、直角三角形

【知识梳理】

作垂线，构造直角三角形

动点函数的辅助线连接线

作平行线，构造A型X型

勾股定理

T动点边长的函数关系式相似三角形

解三角形

求本身三角形的面积

动点面积的函数关系式

利用相似三角形求面枳转换

动点函数专题题型

作垂线求本角的锐角三角比

动点锐角三角比的函数关系式

角度等里代换求锐角三角比

两条边分别求，参照粉折边长

\r动点比例的困数关系式守’在相似三角形找比例

利用两个比例式组合

用边相等，列出关系式求解

动点下的等腰三角形作垂线解三角形（一般垂线都是横平竖直的垂直）

不一定是三娱合一

【历年真题】

1.（2020秋•崇明区期末）如图，RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8.点。为斜

边AB的中点，ED1AB,交边2C于点E,点P为射线AC上的动点，点。为边2C上

的动点，且运动过程中始终保持

（1）求证：△AOP〜△E。。；

（2）设AP=x,BQ=y.求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；

（3）联结PQ,交线段于点F.当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长.

C.

E

D

备用图

2.（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，/ABC=90°,AB=3,8c=4,过点A作

射线AM〃8C,点。、E是射线AM上的两点（点。不与点A重合，点E在点。右侧），联

结BD、BE分别交边AC于点尸、G,ZDBE=ZC.

（1）当AQ=1时，求尸2的长；

（2）设AO=x,FG=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）联结。G并延长交边8c于点”，如果是等腰三角形，请直接写出AZ）的长.

备用图

3.（2020秋•青浦区期末）在△ABC中，NC=90°,AC=2,BC=26，前D为边.AC

的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、8A上的动点，且BQ=4~BP,联结PQ、QD、

DP.

(1)求证：PQVAB-,

(2)如果点尸在线段BC上，当△尸。力是直角三角形时，求BP的长；

(3)将△PQD沿直线QP翻折，点。的对应点为点。，如果点。位于△4BC内，请直接

写出BP的取值范围.

4.(2020秋•奉贤区期末)已知。0的直径AB=4,点P为弧AB上一点，联结外、PO,

点C为劣弧AP上一点(点C不与点A、P重合)，联结2c交以、PO于点。、E.

7

(1)如图，当cos/CBO=一时，求BC的长；

8

(2)当点C为劣弧AP的中点，且△££>/>与△AOP相似时，求/A8c的度数;

(3)当AQ=2OP,且△8EO为直角三角形时，求四边形AOE。的面积.

专题四二次函数与线段

【知识梳理】

作垂线，构造直角三角形

动点函数专题-9-----------题型

【历年真题】

1.(2020秋•嘉定区期末)在矩形ABC£＞中，AB=6,AL)=8,点£在8边上，tan/EA。

=一.点F是线段AE上一点，联结2F,CF.

2

3

(1)如图1,如果tan/CBP=二，求线段AF的长；

4

(2)如图2,如果CF=』BC,

2

①求证：NCFE=NDAE；

②求线段EF的长.

3Q：：--------------.D

图1图2图3

2.(2020秋•金山区期末)定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如

图1,/A=—cNO.

2

己知：如图2,AC是的一条弦，点。在上(与A、C不重合)，联结。C交射线A。

3

于点E,联结0£),。0的半径为5,tan/O4C=—.

4

(1)求弦AC的长.

(2)当点E在线段0A上时，若△DOE与AAEC相似，求NOC4的正切值.

(3)当OE=1时，求点A与点。之间的距离(直接写出答案).

3.(2020秋•黄浦区期末)如图，四边形ABC。中，AB=AD=4,CB=CD^3,乙4BC=

ZADC=90Q,点M、N是边AB、AD匕的动点，且/MCN=』NBCC,CM、CW与对角

2

线BO分别交于点P、Q.

(1)求sinNMCN的值；

(2)当£>N=QC时，求NCNM的度数；

(3)试问：在点M、N的运动过程中，线段丝的比值是否发生变化？如不变，请求出这

MN

个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置.

4.(2020秋•宝山区期末)如图，已知△48C中，ZACB=9O°,AC=BC,点。、E在边

AB上，ZDCE=45°,过点A作AB的垂线交CE的延长线于点联结MD.

(1)求证：Cf=BE・DE；

(2)当AC=3,AO=2BO时，求。E的长；

(3)过点”作射线C£)的垂线，垂足为点F,T^.—=X,tanZFMD=y,求y关于x的函

BC

数关系式，并写出定义域.

5.(2020秋•长宁区期末)已知，在矩形ABC。中，点M是边AB上的一个点(与点4、B

不重合)，联结CM,作NCMF=90°,且MF分别交边AO于点E、交边CQ的延长线于点

F.点G为线段MF的中点，联结。G.

(1)如图1,如果AO=AM=4,当点E与点G重合时，求AMFC的面积；

(2)如图2,如果AM=2,BM=4.当点G在矩形ABC£>内部时，设A£>=x,DG2=y,求

y关于x的函数解析式，并写出定义域;

(3)如果AM=6,CD=8,NF=NEDG,求线段A。的长.(直接写出计算结果)

图1图2

6.(2020秋•徐汇区期末)如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=\2,BC=5,点、D

是边AC上的动点，以CO为边在aABC外作正方形CDEF,分别联结AE、BE,BE与AC

交于点G

(1)当AE_L2E时，求正方形CDEF的面积：

(2)延长交AB于点儿如果△BE”和△ABG相似，求sinNABE的值；

(3)当AG=AE时，求CD的长.

备用图

7.(2020秋•浦东新区期末)四边形ABCO是菱形，NBW90。，点E为边BC上一点，联

结AE,过点E作EFLAE,EF与边CD交于点F,且EC=3CF.

(1)如图1,当/B=90°时，求SAABE与&ECF的比值；

(2)如图2,当点E是边BC的中点时，求cosB的值；

(3)如图3,联结AF,当乙4FE=N8且CF=2时，求菱形的边长.

图1图2图3

8.（2020秋•普陀区期末）如图,矩形ABC。中，AB=1,BC=3,点E是边BC上一个动

点（不与点8、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F.点G在线段）上，满足

FG：GE=1：2.设BE=x.

求证：丝=生

(1)

ABBE

(2)当点G在△AQF的内部时，用x的代数式表示/AOG的余切;

(3)当/FGD=N4FE时，求线段BE的长.

D

B

备用图

专题2021年上海各区分类汇编・25题

专题一动点函数下的相似三角形

【历年真题】

1.（2020秋•闵行区期末）如图，在矩形4BCZ）中，AB=2,AD=1,点E在边48上（点

E与端点A、B不重合），联结力E,过点。作。尸，力E,交8c的延长线于点凡联结£尸,

与对角线AC、边C£>分别交于点G、H.设AE=x,DH=y.

（1）求证：XADEs/\CDF,并求/EF£）的正切值；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；

（3）联结8G,当△BGE与△OEH相似时，求x的值.

【考点】相似形综合题.

【专题】图形的相似；几何直观；推理能力.

【分析】（1）根据矩形的性质得到NAQC=NOCB=90°,根据余角的性质得到N

CDF,由相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答；

（3）根据相似三角形的性质分两种情况解答.

【解答】解：（1）VZADE+ZCDE=90<:,ZCDF+ZCDE=90°,:.NADE=NCDF,

在Rt/\EAD与RtADCF中，

2ADE=NCDF

NEAD=NFCD=90"'

（2）由（1）可知尸C=2E4=2x,

;四边形ABC。是矩形，：.AB//CD,:.丛FCHs丛FBE,：.——=——，

FBBE

2x：2y

2x+l2-x

可得：Z£±2(o<%<2)；

-2x+\

(3)BE=2-x>DH=y>DE=+x?>EH=^1+(y—x)~，

EGAE.AE/

-----=-----，.•EG=------------・EH,

GHCHAE+CH

'：NBEG=NDHE,

若aBEG与△。/7E相似，则有两种情况,

第一种：

:NEGB=NHED,

.BD_丝•我—BE

,•丽一玩''"~DH~AE+CH

2x(2—x)

即2x+l=,，

x2

-5+屈--5-炳」、

解得：x=——--或——--（舍）,

44

第二种：

NEGB=ZHDE,

.BEEGAE

：.BE・HD=,HE"

AE+CH

即（2—x）y=--——41+（y-x）2].

x+2-y

解得：x=1.5.

-5+^89

综上所述，x的值为x“丝或15

4

【点评】本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式,

矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

2.（2020秋♦杨浦区期末）如图，已知在RtZ\ABC中，ZACB=9QQ,AC=BC=4,点。

为边8c上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，NEDB=NADC,过点E作

EF1AD,垂足为点G,交射线AC于点F.

（1）如果点力为边BC的中点，求ND4B的正切值；

（2）当点F在边AC上时，设CD=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及x的取值范围;

(3)联结QF,如果△CQF与AAGE相似，求线段C。的长.

备用图

【考点】相似形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【分析】(1)过点。作于H.解直角三角形求出4H即可解决问题.

(2)如图2中，过点A作AT_LAC,延长FE交AT于T,直线OE交A7于K,交AC的延

长线于凡想办法证明AR=AT=8,再证明△ACDsanR可得J=—=-,推出AF

AFTA2

=2CD=2x,可得结论.

(3)利用△CFD与△4。”相似，可得色=型或空=£2,由此构建方程求出CD,

DHAHAHDH

当点尸在下方时，同法可求C。.

【解答】解：(1)如图1中，过点D作DHLAB于H.

图1

；C4=CB=4,NACB=90°,：.AB^y]AC2+BC2=A/42+42=472,

"：CD=DB=2,NB=45°,NDHB=90°,ADH=BH=-DB=72,

2

:.AH=AB-BH=3应,

C.tdnADA.B=^-—

AH3

(2)如图2中，过点A作AT,AC,延长FE交AT于7,直线。E交A7于K,交AC的延

长线于R.

Rb

图2

：AT±ACfBC.LAC,：.AT//BC,

•・NADC=NDAK,/EDB=/AKD,

:/ADC=/EDB,:・/DAK=/DKA,：.DA=DK,

：ZR+ZDKA=90°,ND4C+ND4K=90°,:・/DAC=/R,：.DA=DRf

：DCLAR,：・AC=CR=4,

：ZAFE+ZCAD=90°,NAKE+NR=90°,AZAFE=ZAKEf

：ZEAF=ZEAK=45°,AE=AEf

\/\AEF^/\AEK(A4S),：.AF=AK,

：ZRAK=ZTAF^Q0,/AKR=/AFT,•\△AKR丝△AFT(ASA),

・・AR=AT=8,NR=NT=NDAC,

：ZACD=ZTAFf：./XACD^/XTAF,

.CDACi・4£_”八_0

AFTA2

；CF+AF=4,r.y+2x=4,

\y=4-2x(0<xW2).

(3)如图3中，连接。凡作于”.

图3

ZGAE=ADAH,ZAGE=NAHD,

：.△AGEs

"?△CDF与AAGE相似，；.△CFD与△A。”相似,

.CFCDCFCD

-----------或----=----，

DHAHAHDH

.4-2尤_x或4-2x__x

#（4—x）4G乎（4一x）40—冬4—x）*（4r）

整理得，f+8x-16=0或x2-16x+16=0,

解得，X=4A/2-4或-4及-4（舍弃）或8-46或8+46（舍弃），

・・.CZ）=4夜-4或8-46,

当点尸在下方时，同法可得，（7。=生巨，

3

综上所述，满足条件的C£＞的值为4行-4或8-46或迪.

3

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

3.（2020秋•松江区期末）如图，已知在等腰△ABC中，4B=AC=5逐，tan/ABC=2,

BF±AC,垂足为F,点。是边AB上一点（不与A,8重合）.

（1）求边BC的长；

（2）如图2,延长。F交BC的延长线于点G,如果CG=4,求线段的长；

（3）过点。作。EJ_8C,垂足为E,DE交BF于点、Q,联结。F,如果△力。尸和△ABC相

【考点】相似形综合题.

【专题】综合题；推理能力.

【分析】（1）先利用等腰三角形的性质判断出BC=2BH,再用三角函数和勾股定理求出BH,

即可得出结论；

(2)先利用勾股定理和三角函数求出CF,再判断出△CFKsZVlF。和△CGKs/\BG£),

得出比例式，即可得出结论；

(3)先求出BF=4卮再判断出△BEQsaBFC,得出第=^，设EQ=gm,则

BQ=5m,BE=2亚tn,进而表示出BD=10m,DQ=3亚m,ZDQF=ZC,再分两种情

况，利用相似得出比例式表示出厂。，最后用8尸=4后建立方程求出机，即可得出结论.

【解答】解(1)如图1,过点A作。HJ_BC于“，，乙4”8=90°,

'：AB=AC=5A/5,：.BC=2BH,

A”

在RtZ\A”B中，tanNABC=——=2,：.AH=2BH,

BH

根据勾股定理得，AH2+BH2=AB2,

：.(2BH)2+BH2=(5A/5)2,：.BH=5,

：.BC=2BH=l0i

(2)"：AB=AC,：.ZABC=ZACB,

；tan/ABC=2,；.tan/AC8=2,

由(1)知，BC=10,

'：BF±AC,，/BFC=90°,

BF

在RtZSBFC中，tanZACB=—=2,：.BF=2CF,

CF

根据勾股定理得，BF1+CF2=BC1,

...(2CF)2+CF2=102,：.CF=2y/5,

：.AF=AC-CF=5y/5-2石=3逐，

如图2,过点C作CK//AB交FG于K,

.CK一CF.CK_275_2CKCG

:.XCFKsXAFD,•.---=诉,，二△CGKS/XBG。，，茄一茄'

AD"AD3753

CK42AD3AD3

・・・CG=4,,.----=一，•・，••

BD10+47BD7AB10

3AD36

：.AD=—AB=—X5A/5=二---------，

1010AB2

(3)如备用图,

在Rt^BFC中，根据勾股定理得，BF='BO?_C产=02_Q&)2=4指,

,：DELBC,：.ZBEQ=90°=NBFC,

•：NEBQ=NFBC,:.ABEQs/\BFC,，言=震，

,:CF=2后,BC=10,,

2610BQ5

.,.设EQ=&〃z,则2Q=5〃?，

根据勾股定理得，BE=2出m,

在Rt^BEQ中，tanZABC=-----=2,

BE

：.DE=2BE=4逐m,

根据勾股定理得，BD=\Qm,

：.DQ=DE-EQ=3加m,

'：DE1BC,：.ZBEQ=90°,；.NCBF+NBQE=90°,

"：ZBQE=ZDQF,：.ZCBF+ZDQF=90",

VZBFC=90°,：.ZCBF+ZC=90°,:"DQF=/C,

"：AB=AC,：.NA8C=NC=ZDQF,

•.•△QQF和△ABC相似，

二①当△DQ尸s^ACB时，.•.型="，乎二二",AQF=6m,

ACBC5后10

"**BF=4-\/5,5m+f)m—4\[5,'.m——,

406

.•.80=10〃?=-------,

11

②当时,DQ=QF

SC-AC

...3遥mFQ,,-.Fe=—zn,A—/n+5w=4^,：.m=—

105A/52225

.八1675

・・BD—10m--------

5

M…40石tJ6石

N即NBO的长为-----或-----.

115

D,

(图1)

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理,

相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键.

专题二动点函数背景下的面积问题

【历年真题】

1.(2020秋•静安区期末)已知NMAN是锐角，点B、C在边AM上，点。在边AN上，Z

EBD=NMAN,且CE〃B。，sir\ZMAN=~,AB=5,AC=9.

5

(1)如图1,当C£与边AN相交于点尸时，求证：DF・CE=BC,BE；

(2)当点E在边AN上时，求的长；

(3)当点E在/MAN外部时，设A£>=x,ABCE的面积为)，，求y与x之间的函数解析式,

并写出定义域.

E

【考点】相似形综合题.

【专题】几何综合题；运算能力；推理能力.

【分析】(1)根据平行线的性质得到NDBA=NBCE,由相似三角形的性

质即可得到结论；

(2)过8作BHLAN于H,根据相似三角形的性质得到80=迫竺="=3,根据勾

93

股定理即可得到结论；

(3)过B作与H,BH=4,AH=3,DH=\x-4\,根据相似三角形的性质即可得

到结论.

【解答】解：(1)'JCE//BD,

：.NCEB=NDBE,NDBA=NBCE,

A£)EB

VZA=ZDBE,：.ZA=ZBEC,:.△ABDs/\ECB,：.——=——，

ABEC

ADDFEBDF

'"EC-SC'

：.DF・CE=BOBE；

(2)过8作于H,

CE//BD,：.ZCEB=ZEBD=NA,

:ZBCE=ZECA,；.△CEBs△CAE,

,CECA.2

••-----=------,••CE=CB•CA；

CBCE

・18=5,AC=9,ABC=4,

，CE2=4X9=36,：.CE=6,

..BDAB.ccABCE5x610

CEACAC93

3

在RtZSABH中，8"=A8・si"=5X—=3,

：.AH^^AB2-BH2=4,DH=y]BD2-BH2=

(3)过B作8”_LAN与，，BH=3,AH=4,DH=\x-4\,

.•.BZ)2=O”2+BH2=a_4)2+32=*,8》+25,

sBC2

■:/\ECBS*ABD,：.^^=——-,

SBD2

^ADB

13

■:SAABD=—AD・BH=-x,

一22

.y_16

"3~~X2-SX+25

-X

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，正确的理解题意

是解题的关键.

专题三动点函数背景下的等腰、直角三角形

【历年真题】

1.(2020秋•崇明区期末)如图，RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8.点。为斜

边48的中点，EDLAB,交边BC于点E,点P为射线AC上的动点，点。为边BC上

的动点，且运动过程中始终保持PO_LQD.

(1)求证：△4DP〜△ED0；

(2)设4P=x,BQ^y.求)，关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；

(3)联结P。，交线段EO于点凡当△?£)尸为等腰三角形时，求线段AP的长.

备用图

【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；分类讨论；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及

其应用；推理能力.

【分析】(1)证ZEDQ=ZADP,即可得出△AOPSAEQQ；

1cOSAPAD

(2)证△EQBs△AC以求出ED=—,EB=—,由(1)得：/\ADP^AEDQf得一=一,

44EQED

解得：EQ=-x,进而得出结论：

4

(3)vEtanZQPD=^-=—=—=tanB,得NQPO=NB,再证△PDFSZ\B£)Q,得^

DPADBD

P。尸为等腰三角形时，LBDQ也为等腰三角形，再分三种情况：①若DQ=BQ,②

③分别求解即可.

【解答】(1)证明：•.•/ACB=90°,二/4+/8=90°,

'：ED±AB,ZEDS=90°,：.ZDEQ+ZB=90°,

/A=/OE。，

又•./£)，Q£>,AZPDQ=9Q°,

；.NEDQ+NPDE=NADP+NPDE=90°,：.ZEDQ^ZADP,

：.XADPs/\EDQ；

(2)解：VZACB=90°,AC=6,BC=8,，AB=病7记=10,

:点D为斜边4B的中点，：.AD=BD^1AB=5,

:NEDB=NACB=90°,NB=NB,：./\EDB^/\ACB,

.EDEBBDEDEB5

••-----=-----=-----，即nn-----=-----=一,

ACABBC6108

解得：ED=21,EB=21,

44

ApAn

由(1)得：XADPsXEDQ,

EQED

253253

BQ=BE~EQ=———Xf即y=-—一x,

4444

•・"20,.”20,

253

•・・BQ20,・・・---------x^O,

44

325

一-x(OWxW—)；

EOEDED

(3)解：由(1)得：△A。尸〜△E。。，A—=——=—

APADBD

9：PD±QD,：.ZPDQ=90Q,

/.VdnZQPD=^-=—=—=tanB,

DPADBD

：.ZQPD^ZB,

又,：/PDQ=NBDE=90°,：.ZPDF=ZBDQ,

：.4PDFs丛BDQ,

...△POF为等腰三角形时，△8QQ也为等腰三角形,

①若DQ=BQ,过。作于G,如图所示:

…15BGBC8_4

贝!]DG=BG——BD=­,•cosB=---=----

22BQAB10-5

5

X42525

二”2=*,解得：x=—,即”=三；

253566

------x

44

②若BQ=BD,则-2-5--当Q=5,解得：x=-5,

443

.5

即AP——；

3

③若DQ=DB,贝IJ/B=NDQB,

VZB+ZDQB+ZBDQ=2ZB+ZBDQ<\S0°,此种情况舍去;

综上所述，当△「£)/为等腰三角形时，线段AP的长为空或空

63

【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等

腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角

形和直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型.

2.(2020秋•虹口区期末)如图，在△48C中，NABC=90°,AB=3,BC=4,过点A作

射线AM〃8C,点。、E是射线4M匕的两点(点。不与点A重合，点E在点。右侧)，联

结BD、BE分别交边AC于点尸、G,ZDBE=ZC.

(1)当AO=1时，求F8的长；

(2)设AO=x,FG=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)联结QG并延长交边BC于点从如果△08”是等腰三角形，请直接写出AQ的长.

备用图

【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【分析】(1)利用勾股定理计算AC和8。的长，再证明△AOFSACBF,列比例式可得8F

的长；

(2)如图1,先证明得乙一=——，再证明△AOFs/xcBF,得

BFFG

-=—=—=分别表示。F,A尸和BF的长，代入比例式计算即可；根据乙DBE无

BFCFBC4

限接近NOBC时，A。的值接近4,可得x的取值；

(3)分三种情况：①当8。=。，时，②当时，③当BH=。”时，分别根据平行

线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答.

【解答】解：(1),：AM//BC,

，N£MB+NABC=180°,

VZABC=90a,：.ZDAB=90°,

由勾股定理得：BD=y/AD2+AB2=712+32=屈,

ADDF

'：AM//BC,：./\ADF^/\CBF,：.——=——

BCBF

.1回-BF

'：AD=\,.•——-------------

4BF

：.BF=­M；

5

(2)如图1,'：AM//BC,

图1

：.ZC^ZCAM,

/DBE=ZC,JZDBE=ZCAM,

Apnp

•：/BFG=/AFD,：.AADF^ABGF,——=——,

BFFG

:・AF*FG=BF・DF,

•:NM"BC、

:.△ADFsMBF,

.DFAFADx

••--——,

BFCFBC4

.DFxAFx

••]:—f—，

y]x2+9犬+4ACx+4

.卜=2Ar5x

y=3x+4

4Jr24-0

同理得：BF=----------,

x+4

5xx\Jx2+94dxi+9