高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题3 数列 第11讲 等差数列与等比数列专题限时集训 理-人教版高三数学试题

专题限时集训(十二)等差数列与等比数列(建议用时：45分钟)1．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，S5＝10，则a9的值是________．20[法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝10，所以a3＝2.所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，化简得aeq\o\al(2,2)＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]2．(2016·苏北三市三模)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S5,S3)＝3，则eq\f(a5,a3)的值为________．eq\f(17,9)[∵{an}为等差数列，Sn为其前n项的和，故S5＝5a3，S3＝3a2.又eq\f(S5,S3)＝3，∴5a3＝9a2，∴a2＝eq\f(5,4)d.∴eq\f(a5,a3)＝eq\f(a2＋3d,a2＋d)＝eq\f(\f(5,4)d＋3d,\f(5,4)d＋d)＝eq\f(17,9).]3．(2016·苏北四市摸底)在等比数列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a74[∵{an}是等比数列，∴a3a5＝aeq\o\al(2,4)，由aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1)得a4＝2，又a1＝1，∴q3＝2，∴a7＝a4q3＝2×2＝4.]4．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11的值为________．【导学号：19592036】44[由S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝20，解得a6＝4，又由S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝eq\f(11×2a6,2)＝11a6＝44.]5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.－1[依题意得，数列{an}是等比数列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1.]6．(2015·江苏高考)设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))前10项的和为______．eq\f(20,11)[由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(n－12＋n,2)＝eq\f(n2＋n－2,2).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n∈N*)．∴eq\f(1,an)＝eq\f(2,n2＋n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).∴S10＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,11)))＝eq\f(20,11).]7．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.1[法一：设{an}的公差为d，则a3＋3＝a1＋1＋2d＋2，a5＋5＝a1＋1＋4d＋4，由题意可得(a3＋3)2＝(a1＋1)(a5＋5)．∴[(a1＋1)＋2(d＋1)]2＝(a1＋1)[(a1＋1)＋4(d＋1)]，∴(a1＋1)2＋4(d＋1)(a1＋1)＋[2(d＋1)]2＝(a1＋1)2＋4(a1＋1)(d＋1)，∴d＝－1，∴a3＋3＝a1＋1，∴公比q＝eq\f(a3＋3,a1＋1)＝1.法二：∵{an}成等差数列，1,3,5也成等差数列，∴a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列，又a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等比数列，故a1＋1，a3＋3，a5＋5为非零常数列，故公比q＝1.]8．在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，则S2014＝________.－2014[∵eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，∴eq\f(\f(12a1＋a12,2),12)－eq\f(\f(10a1＋a10,2),10)＝2，故a12－a10＝4，∴2d＝4，d＝2，∴S2014＝2014a1＋eq\f(2014×2013,2)×d＝－20142＋eq\f(2014×2013,2)×2＝－2014.]9．数列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋3n＋4(n∈N*，n≥2)，若存在实数λ，使得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,3n)))为等差数列，则λ＝________.2[记bn＝eq\f(an＋λ,3n)，得an＝3nbn－λ，代入已知得3nbn－λ＝3(3n－1bn－1－λ)＋3n＋4，变形为3n(bn－bn－1－1)＝－2λ＋4，这个式子对大于1的所有正整数n都成立．由于{bn}是等差数列，bn－bn－1是常数，所以bn－bn－1－1＝0，－2λ＋4＝0，可得λ＝2.]10．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝________.4[依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.]11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8>0且S9<0，则当Sn最大时n的值是________．4[由题意知eq\f(a1＋a8,2)＝eq\f(a4＋a5,2)>0，eq\f(a1＋a9,2)＝eq\f(2a5,2)<0，所以a4>0，a5<0，所以数列的前4项和最大．]12．设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列，且eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差数列，则eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)的值是________．eq\f(34,15)[由9x,12y,15z成等比数列，可得(12y)2＝9x×15z，即144y2＝135xz,16y2＝15xz，又eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差数列，则eq\f(2,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)，化简得x＋z＝eq\f(2xz,y)，平方得x2＋z2＝eq\f(64,15)xz－2xz＝eq\f(34,15)xz，而所求eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)＝eq\f(x2＋z2,xz)＝eq\f(\f(34,15)xz,xz)＝eq\f(34,15).]13．(2016·苏锡常镇调研二)设公差为d(d为奇数，且d>1)的等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－9，Sm＝0，其中m>3，且m∈N*，则an＝________.3n－12[∵Sm＝eq\f(ma1＋am,2)＝0，∴a1＋am＝0.又Sm－1＝eq\f(m－1a1＋am－1,2)＝－9，∴(m－1)d＝18.又am＝Sm－Sm－1＝9，由a1＋(m－1)d＝9得a1＝－9.又m>3，且d为奇数，d>1，由(m－1)d＝18可知d＝3或9，若d＝3，则m＝7，合题意，若d＝9，则m＝3，舍去，故d＝3，m＝7.∴a7＝9，an＝a7＋(n－7)×3＝9＋3n－21＝3n－12.]14．(2016·常州期末)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝eq\f(4,9)，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则eq\f(a7＋a8＋a9,9)的值为________．【导学号：19592037】117[∵{an}是等比数列，设公比为q，则a3＋a4＝(a1＋a2)q2，a5＋a6＝(a1＋a2)q4，∴a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2)(q2＋q4)＝40，即eq\f(4,9)(q2＋q4)＝40，解得q2＝9.又q>0，∴q＝3，由a1＋a2＝eq\f(4,9)得a1＝eq\f(1,9)，∴eq\f(a7＋a8＋a9,9)＝eq\f(\f(1,9)q6＋q7＋q8,9)＝eq\f(36＋37＋38,81)＝117.]15．(2016·南京一模)设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．20[设等比数列的公比为q，则q>0且q≠1.由S6－2S3＝5可知，eq\f(a1q6－1,q－1)－eq\f(2a1q3－1,q－1)＝5，∴eq\f(a1q3－12,q－1)＝5，∴q>1.则S9－S6＝eq\f(a1q9－1,q－1)－eq\f(a1q6－1,q－1)＝eq\f(a1q6q3－1,q－1)＝eq\f(5q6,q3－1)＝5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(q3－1＋\f(1,q3－1)))＋10≥5×2eq\r(q3－1·\f(1,q3－1))＋10＝20，当且仅当q3＝2，即q＝eq\r(3,2)时取等号．∴S9－S6的最小值为20.]16．(2013·江苏高考)在正项等比数列{an}中，a5＝eq\f(1,2)，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为________．12[设{an}的公比为q(q＞0)，则由已知可得eq\b\lc\{\rc\