高考数学二轮复习 3个附加题专项强化练（二）随机变量、空间向量、抛物线 理-人教版高三数学试题

3个附加题专项强化练(二)随机变量、空间向量、抛物线(理科)1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)设eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为eq\f(9\r(10),50)，求λ的值；(2)若点D是AB的中点，求二面角D­CB1­B的余弦值．解：(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5，得∠ACB＝90°，故直线CA，CB，CC1两两垂直．以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(3，0,0)，C1(0，0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，设D(x，y，z)，则由eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，得eq\o(CD,\s\up7(→))＝(3－3λ，4λ，0)，而eq\o(AC,\s\up7(→))1＝(－3,0,4)，根据题意知eq\f(9\r(10),50)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－9＋9λ,5\r(25λ2－18λ＋9))))，解得λ＝eq\f(1,5)或λ＝－eq\f(1,3).(2)由(1)知eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2，0))，eq\o(CB,\s\up7(→))1＝(0,4,4)，设平面CDB1的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(CB,\s\up7(→))1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x1＋2y1＝0，,4y1＋4z1＝0，))取x1＝4，则y1＝－3，z1＝3，故n1＝(4，－3,3)为平面CDB1的一个法向量，而平面CBB1的一个法向量为n2＝(1,0,0)，并且〈n1，n2〉与二面角D­CB1­B相等，所以二面角D­CB1­B的余弦值为cos〈n1，n2〉＝eq\f(4,\r(34))＝eq\f(2\r(34),17).故二面角D­CB1­B的余弦值为eq\f(2\r(34),17).2．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题．(1)求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；(2)设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解：(1)设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E.甲选做D题的概率为eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,3))＝eq\f(1,3)，乙，丙不选做D题的概率都是eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2).则P(E)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).故甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为eq\f(1,12).(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(1,3)×Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(1,12).所以X的概率分布为X0123Peq\f(1,6)eq\f(5,12)eq\f(1,3)eq\f(1,12)故X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(4,3).3.如图，以正四棱锥V­ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O­xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))〉＝－eq\f(15,49).(1)求eq\f(h,a)的值；(2)求二面角B­VC­D的余弦值．解：(1)由题意，可得B(a，a,0)，C(－a，a,0)，D(－a，－a,0)，V(0，0，h)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)，\f(h,2)))，∴eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3a,2)，－\f(a,2)，\f(h,2)))，eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(3a,2)，\f(h,2))).故cos〈eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))〉＝eq\f(h2－6a2,h2＋10a2)，又cos〈eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))〉＝－eq\f(15,49)，∴eq\f(h2－6a2,h2＋10a2)＝－eq\f(15,49)，解得eq\f(h,a)＝eq\f(3,2).(2)由eq\f(h,a)＝eq\f(3,2)，得eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3a,2)，－\f(a,2)，\f(3a,4)))，eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(3a,2)，\f(3a,4))).且eq\o(CB,\s\up7(→))＝(2a,0,0)，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(0,2a,0)．设平面BVC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(BE,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3a,2)x1－\f(a,2)y1＋\f(3a,4)z1＝0，,2ax1＝0，))取y1＝3，得n1＝(0,3,2)，设平面VCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·eq\o(DE,\s\up7(→))＝0，,n2·eq\o(DC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)x2＋\f(3a,2)y2＋\f(3a,4)z2＝0，,2ay2＝0，))取x2＝－3，得n2＝(－3,0,2)，∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(4,13).由图象知二面角B­VC­D的平面角为钝角．∴二面角B­VC­D的余弦值为－eq\f(4,13).4．在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C的坐标满足eq\o(OC,\s\up7(→))＝teq\o(OM,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(ON,\s\up7(→))(t∈R)，且点C的轨迹与抛物线y2＝4x交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由eq\o(OC,\s\up7(→))＝teq\o(OM,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(ON,\s\up7(→))(t∈R)，可知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，所以点C的轨迹方程为y＋3＝eq\f(1－－3,5－1)(x－1)，即y＝x－4.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－4，,y2＝4x，))化简得x2－12x＋16＝0,设C的轨迹方程与抛物线y2＝4x的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝16，y1y2＝(x1－4)(x2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＝－16，因为eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0,所以OA⊥OB.(2)假设存在这样的P点，并设AB是过抛物线的弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，其方程为x＝ny＋m，代入y2＝4x得y2－4ny－4m此时y1＋y2＝4n，y1y2＝－4m所以kOAkOB＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4))·eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4))＝eq\f(16,y1y2)＝－eq\f(4,m)＝－1，所以m＝4(定值)，故存在这样的点P(4,0)满足题意．设AB的中点为T(x，y)，则y＝eq\f(1,2)(y1＋y2)＝2n，x＝eq\f(1,2)(x1＋x2)＝eq\f(1,2)(ny1＋4＋ny2＋4)＝eq\f(n,2)(y1＋y2)＋4＝2n2＋4，消去n得y2＝2x－8.5．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.eq\a\vs4\al(停车时间)取车概率停车人员(0,2](2,3](3,4](4,5]甲eq\f(1,2)xxx乙eq\f(1,6)eq\f(1,3)y0(1)求甲、乙两人所付车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．解：(1)由题意得eq\f(1,2)＋3x＝1，解得x＝eq\f(1,6)，由eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋y＝1，解得y＝eq\f(1,2).记甲、乙两人所付车费相同的事件为A，则P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,9)，故甲、乙两人所付车费相同的概率为eq\f(2,9).(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0,1,2,3,4,5.P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(7,36)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,36)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).所以ξ的概率分布为：ξ012345Peq\f(1,12)eq\f(7,36)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(1,12)∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(7,36)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(5,36)＋5×eq\f(1,12)＝eq\f(7,3).6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2＝2py(p>0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．解：(1)抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－eq\f(p,2)，因为M(m,1)到焦点F的距离为2，由抛物线定义，知MF＝1＋eq\f(p,2)＝2，即p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.(2)因为y＝eq\f(1,4)x2，所以y′＝eq\f(1,2)x.设点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t2,4)))，t≠0，则抛物线在点E处的切线方程为y－eq\f(t2,4)＝eq\f(1,2)t(x－t)．令y＝0，则x＝eq\f(t,2)，即点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)，0)).因为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)，0))，F(0,1)，所以直线PF的方程为y＝－eq\f(2,t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(t,2)))，即2x＋ty－t＝0.则点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t2,4)))到直线PF的距离为d＝eq\f(