高考数学一轮复习 专题2.9 函数模型及其应用（练）-人教版高三数学试题

专题2.9函数模型及其应用基础巩固题组一、填空题1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．【答案】102．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝R－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a表示)【答案】eq\f(1,4)a2【解析】D＝R－A＝aeq\r(A)－A，令t＝eq\r(A)(t＞0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.所以当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.【答案】9【解析】设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0＜x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3＜x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x＞8，))由y＝22.6，解得x＝9.4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是________．(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)【答案】1.7%【解析】设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________．【答案】800【解析】设这个广场的长为x米，则宽为eq\f(40000,x)米．所以其周长为l＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))≥800，当且仅当x＝200时取等号．6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．【答案】4.24【解析】因为m＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．【答案】108．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)．【答案】2019【解析】设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝eq\f(20,13)，∴x＝log1.12eq\f(20,13)＝log1.1220－log1.1213＝eq\f(lg20,lg1.12)－eq\f(lg13,lg1.12)＝eq\f(lg2＋lg10－lg1.3＋lg10,lg1.12)＝eq\f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元．二、解答题9．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？能力提升题组11．某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于eq\f(1,20)，说明理由．解(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一依题意x＝0.2a所以P＝eq\f(mx,y)＝eq\f(x,kax＋5)＝eq\f(0.2a,k0.2a2＋5)＝eq\f(a,ka2＋25)≤eq\f(a,3a2＋25)＝eq\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(25,a))))≤eq\f(1,3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(a×\f(25,a)))))＝eq\f(1,30)<eq\f(1,20).P不可能大于eq\f(1,20).法二依题意x＝0.2a所以P＝eq\f(mx,y)＝eq\f(x,kax＋5)＝eq\f(0.2a,k0.2a2＋5)＝eq\f(a,ka2＋25).假设P>eq\f(1,20)，则ka2－20a＋25k<0.因为k≥3，所以Δ＝100(4－k2)<0，不等式ka2－20a＋25k<0无解，假设不成立．P不可能大于eq\f(1,20).12．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝eq\f(1260,x＋1)；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－beq\r(x)(a，b为实常数)．(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．综上，当x＝80元时，总利润取得最大值240000元．13．如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千