2021年中考数学压轴题100题含答案

2021年中考数学压轴题100题精选含答案

【001］如图，抛物线y=a(x—l)2+3x5(aWO)经过点A(—2,0),抛物线的顶点为。，

过。作射线。0〃A£>.过顶点。平行于x轴的直线交射线于点C,B在x轴正半

轴上，连结BC.

(1)求该抛物线的解析式；

12)假设动点P从点。出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线Q0运动，设点P运动

的时间为问当f为何值时，四边形ZMOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

(3)假设OC=QB,动点P和动点。分别从点。和点8同时出发，分别以每秒1个长度

单位和2个长度单位的速度沿0C和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停

止运动.设它们的运动的时间为f(s),连接尸。，当f为何值时，四边形6cp。的面积最

小？并求出最小值及此时尸。的长.

［002］如图16,在Rt/XW中，Z6>90°,AC=3,AB=5.点尸从点C出发沿CA以每

秒1个单位长的速度向点1匀速运动，到达点力后立刻以原来的速度沿4C返回；点0从点

力出发沿48以每秒1个单位长的速度向点6匀速运动.伴随着只0的运动，应保持垂直平

分⑶，且交切于点〃交折线妙叱以于点正点尸、0同时出发，当点0到达点8时停

止运动，点〃也随之停止.设点只。运动的时间是/秒(f>0).

(1)当力=2时，AP=，点0到4c的距离是；

(2)在点P从。向力运动的过程中，求户0的面积S与

t的函数关系式：(不必写出t的取值范围)

(3)在点〃从6向C运动的过程中，四边形磔®能否成B

为直角梯形？假设能，求力的值.假设不能，请说明理由；/

一」

(4)当应经过点。时，请直接写出t的值.//

A<—pC

图16

[003]如图，在平面直角坐标系中，矩形力腼的三个顶点6(4,0)、C(8,0)>D(8,

8).抛物线片ax,班x过尔C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点/从点1出发.沿线段46向终点6运动，同时点。从点C出发，沿线段切

向终点〃运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为力秒.过点一作PEUB交4C于点

E,①过点6作EFUD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段用最长？

②连接员?.在点只。运动的过程中，判断有几个时刻使得△口笫是等腰三角形？

请直接写出相应的Z值。

2Q

【004】如图，直线4：y=y+W与直线4：)=一2x+16相交于点C,卜匀分别交x轴于

A、B两点.矩形OEFG的顶点。、E分别在直线h4上，顶点/、G都在x轴上，且

点G与点8重合.

(1)求△ABC的面积；

(2)求矩形OEFG的边OE与EF的长；

(3)假设矩形。EFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，

设移动时间为“0W/W12)秒，矩形。EFG与△A6C重叠局部的面积为S,求S关

f的函数关系式，并写出相应的/的取值范围.

【005]如图1,在等腰梯形ABC。中，AD//BC,E是AB的中点，过点E作龙广〃6C

交CD于点F.AB=4,BC=6,ZB=60°.

(1)求点E到BC的距离；

(2)点P为线段跖上的一个动点，过P作尸M_L所交BC于点用，过M作MN〃⑷3

交折线ADC于点N,连结尸N,设EP=x.

①当点N在线段上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变？假设不变，求出

△PAW的周长；假设改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形？假设存

在，请求出所有满足要求的x的值；假设不存在，请说明理由.

图1

[006]如图

B

于点C[0,-1),图&Bg省塘积为:。

图5(备用)

(1)求该二次函数的关系式;

(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线，假设该垂线与△ABC的外接圆有公共点，

求m的取值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形？假设存在，求

出点D的坐标：假设不存在，请说明理由。

图13

【007］如图1,在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABC0是菱形，点A的坐标

为［一3,4),

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.

(1)求直线AC的解析式：

(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向

终点C匀速运动，设△PMB的面积为S(SW0),点P的运动时间为t秒，求S与t之间的

函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，/MPB与NBC0互为余角，并求此时直线0P

与直线AC所夹锐角的正切值.

【008】如下图，在直角梯形ABCD中,ZABC=90°,AD//BC,AB=BC,E是AB的中点，CE±

BDo

(1)求证：BE=AD；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；

(3)ADBC是等腰三角形吗？并说明理由。

(第26题图)

k

【009】一次函数丁=公+6的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反比例函数y=—的

x

图象相交于点A,3.过点A分别作AC轴，AEJ_y轴，垂足分别为C,E；过点B分

别作轴，轴，垂足分别为凡D,AC与BD交于点、K，连接。.

k

(1)假设点A5在反比例函数y=—的图象的同一分支上，如图1,试证明：

x

①S四边形AEDK=S四边形CFBK；

②AN=BM.

(2)假设点A8分别在反比例函数y=A的图象的不同分支上，如图2,那么AN与

x

6M还相等吗？试证明你的结论.

[010]如图，抛物线y=内：2+云-3与x轴交于AB两点,与y轴交于。点，且经过点

(2,-3a),对称轴是直线x=l,顶点是A/.

(1)求抛物线对应的函数表达式：

(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点

P,AC,N为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在,

请说明理由；

(3)设直线y=-x+3与y轴的交点是。，在线段8D上任取一点E(不与8,。重合)，

经过AB,£三点的圆交直线6C于点/，试判断尸的形状，并说明理由；

(4)当E是直线y=-x+3上任意一点时，(3)中的结论是否成立？(请直接写出结论).

(第10题图)

【011】正方形/及力中，i1为对角线划上一点，过E点、作EF1BD交BC于•F,连接加G

为加'中点，连接EG,CG.

(1)求证：阶CG；

(2)将图①中△呼绕8点逆时针旋转45°,如图②所示，取〃中点G,连接EG,CO.问

(1)中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由.

(3)将图①中△颇绕夕点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1)

中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)

第24题图②第24题图③

【012］如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心。在坐标原点，且与两坐标

轴分别交于A、B、C,。四点.抛物线丁=依2+区+。与y轴交于点。，与直线y=x交

于点M、N,且M4、NC分别与圆。相切于点4和点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结。E,并延长交圆。于尸，求EF的长.

(3)过点3作圆。的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上，说明理由.

【013]如图，抛物线经过A(4,0),5(1,0),C(0,—2)三点.

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上一动点，过一作轴，垂足为M是否存在0点，使得以4P,

."为顶点的三角形与△OAC相似？假设存在，请求出符合条件的点尸的坐标；假设不存在,

请说明理由；

(3)在直线4c上方的抛物线上有一点〃，使得△OC4的面积最大，求出点〃的坐标.

[014]在平面直角坐标中，边长为2的正方形。钻。的两顶点A、C分别在y轴、x轴

的正半轴上，点O04BC绕。点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,

旋转过程中，AB边交直线y=兀于点M,边交x轴于点N(如图).

(1)求边Q4在旋转过程中所扫过的面积；

[2)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形

Q4BC旋转的度数；

(3)设AWBN的周长为p,在旋转正方形

的过程中，〃值是否有变化？请证明你的结论.

Nx

(第26题)

【015】如图，二次函数的图象经过点D(0,Lg,且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴

上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小，求出点P的坐标：

⑶在抛物线上是否存在点Q,使aQAB与AABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果

不存在，请说明理由.

[016]如图9,正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).

(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；

(2)把直线04向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求加的值和这个一次函

数的解析式；

(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于GD,求过爪B、〃三点的二

次函数的解析式；

14)在第(3)间的条件下，二次函数的图象上是否存在点£,使四边形0以力的面积，与

2

四边形04»的面积S满足：，=—S?假设存在，求点£的坐标；

13

假设不存在，请说明理由.

O3

【017］如图，抛物线丁=1+笈+。经过4(1,0),3(0,2)两点，顶点为。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将△Q46绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后

经过点C,求平移后所得图象的函数关系式；

(3)设(2)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为顶点为A，假设点N在平移后的

抛物线上，且满足△NB片的面积是面积的2倍，求点N的坐标.

【018］如图，抛物线y=or2+法一4。经过A(—1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点8.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点£>(〃?，加+1)在第一象限的抛物线上，求点。关于直线8C对称的点的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接BO,点P为抛物线上一点，且NO6P=45°,求点P的坐

标.

【019】如下图，将矩形OABC沿AE折叠，使点。恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形

CFGH,延长BC至M,使CM=ICF—E0I,再以CM、CO为边作矩形CMN0

(1)试比拟E0、EC的大小，并说明理由

⑵令加=S四边形CFG”，请问m是否为定值？假设是，请求出m的值；假设不是，请说明理

S四边形CMWV:

由

1?

⑶在⑵的条件下，假设C0=l,CE=-,Q为AE上一点且QF=W,抛物线yumx'bx+c

33

经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，假设抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存

在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与4AEF相似?假设存在，请求直线KP与y轴

的交点T的坐标?假设不存在，请说明理由。

【020】如图甲，在AABC中，NACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD,以AD为

一边且在AD的右侧作正方形ADEFo

解答以下问题：

(1)如果AB=AC,ZBAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图乙，

线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果ABWAC,/BAC#90°点D在线段BC上运动。

试探究：当AABC满足一个什么条件时，CF1BC（点C、F重合除外）？画出相应图形,

并说明理由。（画图不写作法）

（3）假设AC=4亚，BC=3,在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交

于点P,求线段CP长的最大值。

【001］解：（1）;抛物线［=4（》物）2+3百（4X0）经过点4—2,0）,

0=9a+3A/3ci------1分

3

・••二次函数的解析式为：=x2+—x+.........................3分

333

⑵为抛物线的顶点.百）过。作于N,那么。'=38,

A7V=3,r.A。=J32+©KA=6AZDAO=60°4分

\-OM//AD

①当A£)=OP时，四边形D4OP是平行四边形

OP=6t=6(s)•••••••••••••5分

②当。P_LQM时，四边形。AOP是直角梯形

过。作于“，49=2,那么AH=1

(如果没求出ZDAO=60°可由RtAOHAsRtZ\£)N4求AH=l)

・•,OP=DH=5f=5(s)................................................................................................6分

③当PD=Q4时，四边形D4OP是等腰梯形

.•.OP=AO—2A//=6—2=4.」=4(s)

综上所述：当£=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.7分

(3)由(2)及，NCQB=60°,OC=OB4OCB是等边三角形

那么O8=OC=AQ=6,OP=t,BQ=2r,r.OQ=6—2r(0＜，＜3)

过P作PEJ.OQ于E,那么2£=立，......................................8分

•q

••OBCPQ=1x6x3^-1x(6-2/)x^=^^-|j+畀.......9分

当f=?时，Sy”。的面积最小值为国G

10分

28

此时0。=3,OP=-,OE=t:.QE^3--=-PE=—

24444

11分

[002]解：(1)1,-；

5

⑵作中UC于点月如图3,AQ=CP-t,：.AP=3-t.

由△?!什△腋，BC=y/52-32=4,

得如/.QF=-t.A5=-(3-O--r,/

即三

(3)能.A-P

①当比〃/时，如图4.图'

,JDEA.PQ,J.PQLQB,四边形M力是直角梯形.

此时//华90°.

由△｛闾s丛ABC,得丝=丝，

ACAB

②如图5,当国〃比1时，DELBC,四边形败》是直角梯形.

此时/"。=90°.

D

c(f)

由△/Q/5S/\ABC,得箜=竺

ABAC

即解得y

538

【注：①点夕由C向4运动，场经过点C

方法一、连接“，作梦_!根于点G,如图6.

PC=t,QC-=QG2+CG2=r|(5-0]2+r4-^(5-r)]2.

SPC2=QC2,^t2=[|(5-r)]2+[4-1(5-f)]2,解得f=g.

方法二、由CQ=CP=AQ,得NQAC=NQC4,进而可得

ZB=NBCQ,得CQ=BQ,...AQ=80=5：^=~

②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.

(6-02=[|(5-/)J2+l4-^(5-/)]2t=—

5514]

【003】解.(1)点A的坐标为(4,8)..............1分

将A(4,8)>C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx

「8=16a+4b

得J

I0=64a+8b

J_

解得a=-2,b二4

抛物线的解析式为：y=-..............3分

2X2+4X

PEBCPE4

(2)①在RtZ\APE和RtZ\ABC中，tan/PAE=AP=AB,即AP=8

J_

；.PE=2AP=2t.PB=8-t.

£

点E的坐标为(4+2t,8-t).

_L_L11

22

...点G的纵坐标为：一2(4+t)2+4(4+t)-8t2+8...............5分

/.EG=-8t2+8-（8-t）=-8t2+t.

2

：-8<o,.•.当t=4时，线段EG最长为2...........................7分

②共有三个时刻...............8分

16408后

tl=3,t2=13,t3=2+石...............11分

[004]（1）解：由3'得x=-4./.A点坐标为（TQb

由—2x+16=0,得x=&;.3点坐标为（8,0）....AB=8—（~4）=12.（?分）

由［尸一2x+16.解得［y=6.，C点的坐标为（5,6）・㈠分）

=：X12>

<6=36.

22（4分）

28

=x»=8,y=_x84—=8./QQ\

(2)解：•.•点。在4上且“D33,。点坐标为（&8>（5分）

又...点E在4上且%=%=*；,.一24+16=8.；.4=4...E点坐标为（4,8）.［6分）

OE=8—4=4,EF=8.(7分）

(3)解法一：①当°W,<3时，如图1,矩形DEFG与△A8C重叠局部为五边形。川七/?

(，=°时，为四边形CHFG).过C作CM_LA6于M,那么RtARGBsRtaCMB.

.XV|oGMy；^G|o-M\x

(图1)（图2）（图3）

BGRGtRG

—CM，即3一6，二RG=It.•：RtAA/77sRtAAMC,

1i2

.S=SAABC-S4BRG-SAAFH=36--X/X2/--(8-r)x-(8-/).

)(乙乙〉

s，/+£+丝.

即333(10分)

[005](1)如图1,过点E作EG,BC于点G.

E为AB的中点,

BE=-AB^2.

2

图1

在RfAEBG中,ZB=60°,ZBEG=30°.2分

BG=-BE=\,EG=&-，=瓜

：.2

即点E到BC的距离为瓜3分

(2)①当点N在线段ADI；.运动时，△PMN的形状不发生改变.

•/PM±EF,EG±EF,PM//EG.

，：EF〃BC,：.EP=GM,PM=EG=M.

同理肱V=A8=4.4分

如图2,过点P作WMN于"，

/NMC=NB=60°,NPMH=30°.

PH=-PM=~.

22

3

MH=PM.cos30°=-.

2

35

NH=MN—MH=4—±='.

那么22

PN=>JNH2+PH2=(->|+—=不.

在RtAPNH中,'八2127

/\PMN的周长=PM+PN+MN=+J7+4.6分

②当点N在线段DC上运动时，2MN的形状发生改变，但AM7VC恒为等边三角形.

当PM=PN时，如图3,作PR工MN于R,那么MR=NR.

3

MR=~.

类似①，2

MN=2MR=3.7分

是等边三角形，MC=MN=3.

此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6—1—3=2.8分

A___________D

当MP=MN咏如图的这时C=MN

N

此向百。5—£F(P)

N

的加如闭/N啊=/PMN=3(.

p=MVf",3(C

GMGM

那么NP碗二120。,又/M/VC=60。，图4图5

/PNM+/MNC=180°.

因此点尸与尸重合，△尸吹为直角三角形.

A/C=PA/.tan30°=l.

此时，x=EP=GM=6—1—1=4.

综上所述，当x=2或4或（5—6）时，为等腰三角形.

55

XAB=4,得AB=2,

_____,5+3_3

设A(a,0),B(b,0)AB=b-a=J(a+bf-4ab=万,解得p=-5,但p<o,所以p=2o

…2'1

所以解析式为：2

x2--x-l=0=2--

(2)令y=0,解方程得2，得2，所以A(2,O),B(2,0),在直

角三角形AOC中可求得AC=2,同样可求得BC=^,显然AC2+BC2=AB2,得4ABC是直角

三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=2,所以440

(3)存在，AC1BC,①假设以AC为底边，那么BD〃AC,易求AC的解析式为y=-2x-l,可设

[23

y=x——x-1

V2

BD的解析式为y=-2x+b,把B⑵0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组3=-2犬+4

_5

得D(2.9)

②假设以BC为底边，那么BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-l,可设AD的解析式为

y-x1--x-1

2

y=0.5x+b,把A(2,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组〔＞=°.5"+025得

53_553

D(5'5)综上，所以存在两点：(5,9)或(5'5)。

【007】.⑴过点A作AEJLX轴垂足为E(如图1)

•■•A(-3,4),-.AE=4OE=3,-.OA=VAE2+OE2=5

•.•四边形ABCO为菱形.-.OC=CB=BA=OA=5.-.C(5,0)................................

设直线AC的解析式为:y=kx+b桂:I。...

l-3k+b=4b=y-

直线AC的解析式为:产-/x+*.......................................................................................................1分

(2)由(1)得M点坐标为(0,1-).-.0M=|-

如图1,当P点在AB边上运动时

由题意得0H=4

.•.S=}BP-MH=:(5-2t)

.•.S=-1-t+詈(OWt吟)...............2分

当P点在BC边上运动时，记为P,

vZOCM=ziBCMCO=CBCM=CM

.-.△OMC^ABMC.-.OM=BM=1-NMOC=aMBC=90°

.•.S』HB・BM』(2t-5)件.岳％筌得VtW5)...............................................................2分

444J*T乙

(3)设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K•.•乙AOC二乙ABC/.ZAOM=Z.ABM

•••Z.MPB+乙BCO=90。乙BAO二4BCOZ.BAO+Z.AOH=90°y

・・・Z.MPB=乙AOH/.Z.MPB=Z.MBH

当P点在AB边上运动时，如图2\

vZ.MPB=Z.MBH/.PM=BMvMH.LPB^A\PHB

.*.PH=HB=2/.PA=AH-PH=1.・.t=1-…1分

•」AB〃OC.-.ZPAQ=ZOCQ|\\\

•.2AQPMCQ0/.△AQP-ACQO,量=能=/j\

在RtAAEC中AC=VAE2+EC2=V^+^=4VT-p--------菜-----：

.AQ_2VTQC-IOV5~\

•八丫一3丫J3\

在RtAOHB中OB=VHB2+HO2=VT+4r=2A/T

vAC±OBOK=KBAK=CK图2

.-.OK=VTAK=KC=2V5"...QK=AK-AQ=^^.-.tanZOQC=^-=^-...................1分

当P点在BC边上运动时，如图3•.•Z.BHM=ZPBM=90°ZMPB=zLMBH

53

...tan4MPB=tan乙MBH:•^=揩轰=/

.耻=乎.•*=*••1分

3o

.•.PC=BC-BP=5-4F-=^-

33

由PC〃OA同理可证△PQC-ZkOQA,鲁=票

AQAU

.CQ_=LCQ=-J-AC=V5~.•.QK=KC-CQ=V5-

"AQ3

■.OK=V5".".tanLOQK=/§*=11分

i图3

综上所述，当t=:时，4MPB与乙BCO互为余角，直线0P与直线AC所夹锐角的正切值为今

当t=¥-时,NMPB与ZBCO互为余角，直线0P与直线AC所夹锐角的正切值为1

6

[008]证明：(1)：NABC=90°,BD±EC,

与/3互余，/2与N3互余,

.••Z1=Z2.......................................1分

VZABC=ZDAB=90°,AB=AC

.'.△BAD^ACBE.................................2分

，AD=BE......................3分

⑵是AB中点，

；.EB=EA由(1)AD=BE得：AE=AD......................5分

•；AD〃BC，/7=NACB=45°VZ6=45°/.Z6=Z7

由等腰三角形的性质，得：EM=MD,AMIDEo

即，AC是线段ED的垂直平分线。................7分

⑶ADBC是等腰三角(CD=BD)................8分

理由如下：

由(2)得：CD=CE由(1)得：CE=BD/.CD=BD

.♦.△DBC是等腰三角形。......................10分

【009】解：(1)①:ACLx轴，AE'y轴,

二.四边形AEOC为矩形.

轴，BO'y轴，

•••四边形尸为矩形.

•.•AC_Lx轴，轴，图1

:•四边形AEDK，DOCK,CFBK均为矩形.i分

..0C—玉，AC—•y,玉・丁1=k

•,

S矩形Ago。=OC»AC=Xj=k

..OF-x,FB=y2,x•y-k

•222,

s矩形如「=OF*FB=/•%=%

/.S矩形AEOC=S矩形800广

•«,S矩形AEOK-S矩形AEOC—S矩形,

S矩形CF8K二S矩形8QO/-S矩形,

/.S矩形A&JK=S矩形5K.2分

②由(1)矢口S矩形AEOK-S矩形c尸8K.

.・.AK，DK=BK*CK

AKBK

CKDK.4分

ZAKB=NCKD=90。,

:.△AKBsMKD.5分

:.4CDK=ZABK.

AB//CD,6分

...AC〃y轴，

•••四边形ACDN是平行四边形.

AN=CD7分

同理BM=CD.

/.AN=BM.g分

(2)AN与3M仍然相等.9分

•/S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC,

S矩形BKCF=S矩形切RF+S矩形0QKC,

q=q=k

又,/“矩形AEOC一“矩形BQOF一儿，

S矩形A£DK=S矩形BKCF.]0分

AK.DK=BKCK.

CKDK

:.~AK~~BK,图2

NK=NK,

△COKMABK.

ZCDK=ZABK.

AB//CDu分

...AC〃y轴，

•••四边形栖DC是平行四边形.

AN=CD

同理3M=CD

AN=BM.12分

—3a=4a+2b—3,

-±=1

[010]解：（1〕根据题意，得2a

解得伍=-2-抛物线对应的函数表达式为y=V-2“一3.3分

(2)存在.弋，

在y=f_2x_3中，令％=0,得y=-3.

令y=0,得％2_2_¥—3=0,♦.・玉=_1，X2=3

A(-LO)，8(3,0)，C(0,-3)•

又>=(1>-4,...顶点M(L-4).5分

容易求得直线CM的表达式是'=一％一3.

在y=_x_3中，令y=0,得x=-3.

，N(-3,0),；,AN=2.6分

在y=x2_2x_3中，令y=-3,得X|=0,x2-2

:.CP=Z:.AN=CP.

•・•/W〃CP,.•.四边形A7VCP为平行四边形，此时尸(2,-3),8分

(3)△AM是等腰直角三角形.

理由：在y=_%+3中，令x=o,得y=3,令y=o,得*=3.

...直线y=—X+3与坐标轴的交点是0(0,3),8(3,0).

：.OD=OB,;.NOBD=45°9分

又•.点C(0,—3),：.OB=OC.;.NOBC=45°.分

由图知NAEE=NABE=45°.“分

.•.NE4尸=90°,且AE=AF..•.△AEE是等腰直角三角形.此分

(4)当点后是直线丁=一1+3上任意一点时，(3)中的结论成立.14分

【011］解：(1)证明:在Rt^FCD中，；G为DF的中点，...CG=FD......1分

同理,在Rt/XDEF中,EG=FD.........2分，CG=EG...............3分

⑵(1)中结论仍然成立，即EG=CG.....................4分

证法一：连接AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于N点.

在4DAG与4DCG中，；AD=CD,ZADG=ZCDG,DG=DG,

ADAG^ADCG.；.AG=CG...................5分

在与△FNG中，*.•NDGM=NFGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,

ADMG^AFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN........6分

在RtZ\AMG与Rt^ENG中，；AM=EN,MG=NG,

AAMG^AENG.AG=EG./.EG=CG....................8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG,

连接MF,ME,EC,................4分

在4DCG与△FMG中，VFG=DG,ZMGF=ZCGD,MG=CG,

AADCG^AFMG..\MF=CD,NFMG=NDCG.

；.MF〃CD〃AB...................5分；.在Rt^MFE与RtZXCBE中，

MF=CB,EF=BE,AAMFE^ACBE.AZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCEB+ZCEF=90°.△

MEC为直角三角形.VMG=CG,；.EG=MC......8分

(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG.其他的结论还有:EG_LCG.……10分

【012］解：(1).•・圆心。在坐标原点，圆。的半径为1,

.•.点A、B、C、。的坐标分别为4(一10)、8(0,-1)、C(l,0)>£)(0,1)

.•・抛物线与直线y=x交于点M、N,且M4、NC分别与圆。相切于点A和点C,

...M(-1,-1)、N(l,l)....点。、“、N在抛物线上，将。(。，1)、A/(-L-l)>N(l,l)的坐

-1=a-b+c

a+b+c

标代入y="+"+c,得:解之，得:

:•抛物线的解析式为：y=—x-+x+L4分

,/y=-x+x+1

x—_1

,抛物线的对称轴为2,

连结3F,NBFD=90°,

DEOP

：./\BFD^/\EOD"DB~FD,

DE=—,0D=\,DB=2

又2,

：.FD=-

5

.-.EF=FD-DE=---=—

5210.8分

(3)点尸在抛物线上.9分

设过0、0点的直线为：y="+",

将点C(l，0)、0(0,1)的坐标代入户依+b,得：k=-l,b=l,

二直线oc为：y=—x+Lio分

过点B作圆°的切线BP与X轴平行，P点的纵坐标为y=~1,

将y=-l代入尸一无+1,得：x=2.

二户点的坐标为(2，-1),当x=2时，y=_/+x+l=_22+2+l=_l,

所以，尸点在抛物线'=一无2+x+l上.12分

【013】解：(1).••该抛物线过点以°，—2),可设该抛物线的解析式为y=^^+法-？

将44,0),8(1,0)代入，

16。+46—2=0,]5

〈b=—

得口+。一2=0,解得〔2

1，5°

y=——x+—x-2

，此抛物线的解析式为22（3分）

（2）存在.（4分）

如图，设尸点的横坐标为〃，，

1，5c

——m+—m-2

那么尸点的纵坐标为22

当1vm＜4时，

15

PM=——根9~+一加一2

AM=4—机，22

又・・・NCQ4=NQA例=90。，

AMAO2

①当PMocT时，

△APAf^AACO,

4-m=2|--+-m-2|

HPI22J.

解得叫=2,吗=4（舍去），,仍2,1）,8分）

AMOC1c125

--------=--=—A2（4-77?）