2022届高考数学提分题及答案解析

2022年高考数学考前提分题

1.如图，在长方体NBCD-38cle1中，2AB=BC=AAi，点M为棱上的动点.

(1)求三棱锥。与长方体488-小囱CiOi的体积比；

(2)若M为棱Cid的中点，求直线与平面D4M/所成角的大小.

【分析】(1)设2AB=BC=AA\=2,直接求出三棱锥D-A\B\M与长方体ABCD-

小历CD的体积,然后相比即可；

(2)求出各棱长，设81到平面043的距离为肌由等体积法可知八=孥，进而得到

所求线面角.

【解答】解：不妨设2/8=8C=44i=2,

1I2

(1)丁力-AiBiM=wX)xlx2x2=w，匕BCo-ABiCMi=1x2x2=4,

2

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V46

ABCD-A1B1C1D1

・・・三棱锥。-4向M与长方体45CD-4151clz>1的体积比为1：6；

(2)易知，04=V22+22=2VLDM=J22+(1)2=孚，DB1=V12+22+22=

3,=止2+(扔=字,

・应…=|x2V2xJ(孚1一(烟2=空

13722

设与到平面D41M的距离为h,则由％―4逮加=/「DAiM，可得］X-^―h=

•,•.八2=/下2’

设直线DB\与平面所成角的大小为0,则sin。=儡=翠=等，

直线DB\与平面D41/W所成角的大小为arcs讥竽.

【点评】本题考查常见几何体体积以及线面角的求法，考查等体积法的运用，考查逻辑

推理能力及运算求解能力，属于中档题.

2.如图，在多面体/3CDEF中，平面■尸_L平面/5CD,底面N88为直角梯形，AD//

BC,ABLBC,AB=AD=3BC=2,与EE平行并且相等，AF=y[2BF=2A/2.

(1)证明：COJ_8/：

V3

(2)在线段CE上是否存在点〃，使得二面角F-BD-M的平面角余弦值为若存

在，求出丝的值；若不存在，说明理由.

【分析】(1)由勾股定理证明结合面面垂直的判定定理，即可得到8尸，平面

ABCD,进一步证明CDLBF；

(2)建立合适的空间直角坐标系，设cG=ack求出所需点的坐标和向量的坐标，然

后利用待定系数法求出平面BDF和平面的法向量，由向量的夹角公式建立等式，

求解入即可.

【解答】解(1)证明：：43=2,BF=2,AF=2衣,

：.AB2+BF2=AF2,：.BFLAB,

又平面平面ABCD,平面ABEFC平面ABCD=AB,8尸u平面ABEF,

.•.8F_L平面ABCD,又CZ)u平面ABCD,

；.CDLBF；

(2)由(1)可知，8/口_平面/BCD,S.ABA.BC,

以8为坐标原点，以B4BC,8F所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

则B(0,0,0),D(2,2,0),F(0,0,2),E(-2,0,2),C(0,4,0),

：.BD=(2,2,0),BF=(0,0,2),

设£=(x,y,z)是平面8DF的法向量,

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