河南省示范中学2022年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120。，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在

背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度

为()

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

sin"------]<x<3

2.已知函数=｛25-，若函数/(x)的极大值点从小到大依次记为卬电？%，并记相应的极

2/(x-2),3<x<100

大值为乙也,?••"，则伪)的值为()

;=1

A.25°+2449B.25°+2549C.249+2449D.249+2549

3.已知m,n为异面直线，m_L平面a,n_L平面0,直线1满足1_Lm,1_Ln,/Za,/民则

()

A.a〃0且/〃aB.aJ_0且

C.a与相交，且交线垂直于/D.a与口相交，且交线平行于/

4.若x,均为任意实数，且(0+2)2+仅一3)2=1,贝U(x—a『+(lnx—bp的最小值为()

A.3亚B.18C.372-1D.19-6>/2

5.已知等差数列｛〃“｝的前〃项和为S“，％=2,$6=21,则为=

A.3B.4C.5D.6

6.已知集合4={》|1082(%-1)<2},8=%,则408=()

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{1,234}D.{0,123,4}

7.设等差数列也,｝的前〃项和为S,,,且$8=0,4=-3,则Sg=()

A.9B.12C.-15D.-18

cinv

8,已知函数/(x)=------的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合

l+2sinx

的变换方式有()

①绕着x轴上一点旋转180。；

②沿x轴正方向平移；

③以x轴为轴作轴对称；

④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A.①③B.③④C.②③D.②④

9.已知函数/(x)=cos2x+J5sin2x+1,则下列判断错误的是()

A./(x)的最小正周期为万B./(x)的值域为[-1,3]

C.f(x)的图象关于直线》=工对称D.的图象关于点对称

6I4J

10.点。为AABC的三条中线的交点，且。4_LO6,AB=2,则恁.反的值为()

A.4B.8C.6D.12

11.单位正方体ABC。-A&G。，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段白蚂蚁

爬地的路线是441T4。-一，黑蚂蚁爬行的路线是ABTBBL一，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i

段所在直线必须是异面直线(ieM).设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两

蚂蚁的距离是()

A.1B.0C.>/3D.0

fv2

12.设尸为双曲线C：々—==1(“>(),/»0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆*2+炉="2交于尸、

a-h"

。两点.若|P0=|OF|,则C的离心率为

A.垃B.A/3

C.2D.V5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.正四面体ABC。的一个顶点A是圆柱。4上底面的圆心，另外三个顶点BCQ圆柱下底面的圆周上，记正四面体

V.

A8CD的体积为匕，圆柱。4的体积为匕，则，的值是.

y2

14.已知双曲线的一条渐近线为y=2x,且经过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的标准方程为.

15.抛物线＞=立*2的焦点坐标为.

16.AABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为“，b,c,已知26cosA=2c+W,则NB=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数〃x）=lnx-g办2+笈，函数”X）在点（1,/。））处的切线斜率为0.

（1）试用含有。的式子表示匕，并讨论了（%）的单调性；

（2）对于函数/（X）图象上的不同两点4（%,%）,3（々,%），如果在函数/（x）图象上存在点

加（%0，%乂/«%，9）），使得在点M处的切线〃MB，则称存在“跟随切线”.特别地，当/=五当时，又称

AB存在“中值跟随切线试问：函数/（x）上是否存在两点A5使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A,8的坐

标，若不存在，说明理由.

18.（12分）已知椭圆石：m+/=13＞。＞0）的离心率为乎，且过点（，,（），点p在第一象限，A为左顶点，

8为下顶点，R4交）'轴于点C,PB交x轴于点O.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若CD//AB,求点P的坐标.

19.（12分）新高考，取消文理科，实行“3+3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中

学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在［15,45）称为

中青年，年龄在［45,75）称为中老年），并把调查结果制成下表:

年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

频数515101055

了解4126521

(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

(2)请根据上表完成下面2x2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?

了解新高考不了解新高考总计

中青年

中老年

总计

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(3)若从年龄在［55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X,求X的分

布列以及E(X).

20.(12分)如图1,已知四边形5CDE为直角梯形，ZB=90°,BEUCD,且3E=2CQ=23C=2,A为BE

的中点•将△£/%沿A。折到△PD4位置(如图2),连结PC,构成一个四棱锥P-ABCZ).

(II)若A4_L平面ABCD.

①求二面角B-尸C一。的大小;

②在棱PC上存在点满足府=4斤(OW2W1),使得直线AM与平面P3C所成的角为45°,求X的值.

21.(12分)如图，已知椭圆「+太=l(a>8>0)经过点-乎］，且离心率6=^,过右焦点厂且不与坐标

轴垂直的直线/与椭圆C相交于M,N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

1c+k

（2）设椭圆C的右顶点为A，线段MN的中点为“，记直线AM,AN的斜率分别为亳求证：六占

为定值.

22.（10分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的

占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积

为5公顷和邑公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为S、公

顷和S4公顷.

（1）设N84c=e,用关于。的函数s（e）表示E+S2+S3+S4,并求s（e）在区间（0,乃）上的最大值的近似值（精确

到0.001公顷）;

（2）如果与+S2+S3+S4=52,并且\＜邑，试分别求出豆、S、S3、的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.

【详解】

因为弧长比较短的情况下分成6等分，

所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，

故导线长度约为,X30=20万«63(厘米).

3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.

2.C

【解析】

对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当x=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,

而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点a„的通项公式4=2〃，且相应极大值

b„=2'-',分组求和即得

【详解】

»、兀

当时，f(x)=—cos\l-7TX-—-71|I,

显然当x=2时有，/'(幻=0,

.•.经单调性分析知

x=2为Ax)的第一个极值点

又•••3<x4100时，/(x)=2/(x-2)

x=4>x=6,x=8,…，均为其极值点

V函数不能在端点处取得极值

/.an=2n,1<n<49>〃eZ

二对应极值以=2"T,l<n<49,neZ

...f(a,+小(2+98)x49+1x5)=2皿+2449

仟，〃21-2

故选：C

【点睛】

本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列

和函数的熟悉程度高，为中档题

3.D

【解析】

试题分析：由加，平面a,直线/满足/_Lm,且所以///。，又〃，平面/，/所以〃/£,由

直线人〃为异面直线，且相，平面a,〃，平面则。与仅相交，否则，若a//£则推出相〃〃，与人〃异面矛盾,

所以必尸相交，且交线平行于/,故选D.

考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论.

4.D

【解析】

该题可以看做是圆上的动点到曲线y=Inx上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线y=lor上的

动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直

的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.

【详解】

由题意可得，其结果应为曲线y=1M上的点与以。（-2,3）为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可

以求曲线y=山上的点与圆心。（一2,3）的距离的最小值，在曲线y=扇上取一点,曲线有y=lar在点

M处的切线的斜率为％'=，,从而有七时/'=一1,即她二』.1=一1,整理得］n〃7+m2+2〃L3=0,解得加=1,

mm+2m

所以点（1,0）满足条件，其到圆心c（—2,3）的距离为d=，（一2-1）2+（3—0）2=3近,故其结果为

（372-1）2=19-672,

故选D.

【点睛】

本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.

5.C

【解析】

q+d=2

4=1

方法一：设等差数列｛4｝的公差为小贝叫,6x5,，解得，,,所以%=1+(5—l)xl=5.故选C.

6a,+-----xd=21a=1

2

方法二：因为S6=*匈=3(02+4),所以3(2+%)=21,则%=5.故选C.

6.B

【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.

【详解】

集合4={%|蜒2("1)<2},解得4=何1<%<5},

B=N,

由集合交集运算可得AcB={x[1<x<5}cN={2,3,4},

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.

7.A

【解析】

由S8=0,%=-3可得4，”以及为，而S9=S8+%,代入即可得到答案.

【详解】

ci,1+2d=-3,(Z7—__/

设公差为d,则。8x7,八解得rc'

8q+-^—4=0,[d=2,

4=4+8d=9,所以S9=SR+4=9.

故选：A.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.

8.D

【解析】

计算得到/(x+2S=/(x),/仁一[=/6+“，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像

知①③错误，得到答案.

【详解】

sin(x+2Z〃)sinx

/⑺=7^’”…)==/(x),keZ,

1+2sin(x+2Z万)1+2sinx

当沿x轴正方向平移2Qr,左£Z个单位时，重合，故②正确;

sin|J+xJ

71COSXCOSX

y-X

l+2cosx'l+2sinfy+xl+2cosx'

71xj=/ly+xl,函数关于x=7'1对称，故④正确;

故/

2

根据图像知：①③不正确;

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.

9.D

【解析】

先将函数/(x)=cos2x+百sin2x+l化为/(x)=2sin2x+2+1,再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结

果.

【详解】

*.*/(x)=cos2x+>/3sin2x+1

、

可得/(x)=25・COS2X+5-•sin2x+1=2sin2x+—+1

6

7

T2〃2»

对于A,f(x)的最小正周期为7=「=-丁=〃,故人正确；

l<y|2

对于B,由一l〈sin2x+^«l,可得—"/(x)<3,故B正确;

jrjr

对于C,•.•正弦函数对称轴可得：2x0+—=4万+一,(%€z)

62

解得：x0=1^+p(^eZ),

IT

当Z=o,x0=-,故C正确；

6

jr

对于D,•.•正弦函数对称中心的横坐标为：2xo+^=Z^,（keZ）

6

1JT

解得：Xq=—k兀+一AkGZ）

212、7

若图象关于点l-E，。］对称，则1左乃+々=一工

I4J2124

2

解得：％=-§，故D错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基

础题.

10.B

【解析】

2AC-BC=3WAC=2AO+W

可画出图形，根据条件可得,从而可解出，,然后根据。4_LQ6,AB=2进

2BC-AC=3BO阮=2丽+而

行数量积的运算即可求出ACBC=（2AO+BO）（2Bd+40）=8.

【详解】

如图:

点。为AABC的三条中线的交点

.-.AO=1(AB+AC)=1(2AC-BC),BO=1(BA+BC)=^(2BC-AC)

2AC-BC=3AO=2AO+W

二由＜可得:

2BC-AC=3BO®=2BO+AO

又因。4_LO6,AB=2,

222

ACBC^(2AO+BO)■(2BO+AO)=2AO+2BO=2AB=8•

故选：B

【点睛】

本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运

算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.

11.B

【解析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段

后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离.

【详解】

由题意，白蚂蚁爬行路线为AAITAIOITOCI—GCTCBTBA,

即过1段后又回到起点，

可以看作以1为周期，

由2020+6=336…4,

白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；

同理，黑蚂蚁爬行路线为

黑蚂蚁爬完2020段后回到Di点，

所以它们此时的距离为血.

故选B.

【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

12.A

【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.

【详解】

设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ，x轴,

又••.|尸。|=|0可=，，为以OE为直径的圆的半径,

.•.4为圆心|。4|=£.

2

）又P点在圆工2+y2="上,

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，

运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半

功倍，信手拈来.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.也

4万

【解析】

设正四面体的棱长为“，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解.

【详解】

解：设正四面体的棱长为“，

则底面积为Lxax且a=底面外接圆的半径为Y3。，

2243

高为

正四面体的体积v=-x^-a2x*4^-a=—a\

'34312

圆柱。4的体积匕=;rx怦J*生邛小

v&

6

匕也府34〃

9

故答案为：且.

4万

【点睛】

本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题.

14.》2一匕=1

4

【解析】

2

设以直线丁=±2尤为渐近线的双曲线的方程为一一二=2(2/0),再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点E(l,0),能

4

求出双曲线方程.

【详解】

解：设以直线丫=±21为渐近线的双曲线的方程为/—£="/1/0),

4

・・•双曲线经过抛物线丁=以焦点b(1,0),

/-1=A9

2

...双曲线方程为一一匕=1,

4

2

故答案为：X2——-1.

4

【点睛】

本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题.

15.（0,3）

【解析】

变换得到丁=12y,计算焦点得到答案.

【详解】

抛物线>=卷》2的标准方程为/=]2>，p=6,所以焦点坐标为（0,3）.

故答案为：（0,3）

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.

16.150°

【解析】

n

利用正弦定理边化角可得2sinAcos8+bsinA=0，从而可得cos5=-上，进而求解.

2

【详解】

由2〃cosA=2c+6a，

由正弦定理可得2sinficosA=2sinC+百sinA，

即2sin5cosA=2sin（A+5）+V§sinA,

整理可得2sinAcos8+gsinA=0，

又因为sinAHO,所以cosB=-走，

2

因为0<B<180,

所以5=150°，

故答案为：150°

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）b^a-\,单调性见解析；（2）不存在，理由见解析

【解析】

(1)由题意得/'⑴=0,即可得8=a—1；求出函数/(X)的导数/'(x)=—-5+1),再根据。20、

-i<«<o>。=一1、”-1分类讨论，分别求出r(x)>。、ra)<o的解集即可得解；

(2)假设满足条件的A、3存在，不妨设A(%1,X),8(马，必)且0<%<々，由题意得心8=号1j可得

/、

2五一1x

lnA=_k^_2,令，=2(0</<1),构造函数g(f)=ln/—3S(0<r<l),求导后证明g(r)<0即可

x2五+i%r+1

X2

得解.

【详解】

(1)由题可得函数y=/(x)的定义域为(0,+8)且/")=——℃+乩

由/'(1)=0,整理得8=a—1.

、1,1.(ar+l)(-x+l)

f(x)=——ax+b=——ax+df-l=-----------

xxx

(i)当aNO时，易知xe(O,l),/'(x)>0,xe(l,+8)时r(x)<0.

故丁=〃x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

(ii)当。<0时，令/'(x)=0,解得％=1或》=---,贝！|

①当一：=1,即。=一1时，/'(X)20在(0,+©)上恒成立，则y=/(x)在(0,+8)上递增.

②当一L>1,即一1<。<0时，当xe(O,l)u时，/,(x)>0；

当xe(L—时，/(x)<0.

所以y=〃x)在(o，i)上单调递增，［，一£|单调递减，，+\|单调递增.

③当一，<1,即"一1时，当xe(0,)"1,+8)时，/'(x)>0；当xe［-L1］时，

所以y=/(x)在(0，-口上单调递增，单调递减，(1,+8)单调递增.

综上，当4N0时，y=/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减.

当一l<a<0时，y=/(x)在(0,1)及卜上单调递增；y=/(x)在，一；|上单调递减.

当。=一1时,y=/(尤)在(0,+8)上递增.

当“<_1时，)=/(力在］(),-'及0,+8)上单调递增；y=/(x)在［一:,1］上递减.

(2)满足条件的A、8不存在，理由如下:

假设满足条件的A、8存在，不妨设A(%,y),B(X2,必)且0〈无1<々，

>，2lnX,ln%2

贝！1心"=-="-1«(x,+x2)+a-l,

x,-x2x,-x22

,X|+九22X,+x9,

又/'■)=/I2-------ax—----+6Z-1,

X1+%22

、

2五-1

］卢=2%-2々=1/

由题可知上45=/'(/)，整理可得：m内=_2_7

］］X

X-x2X+x22%+/i+i

£

令，=•1k(0<?<1)>构造函数g⑺=lnf-(0<Z<l).

4(1)一

贝!1短(。=；->0,

(f+1)2d+1)2

所以g(。在(0,1)上单调递增，从而g(r)<g(l)=0,

所以方程口：二2；二无解,即左.=/'(%)无解.

综上，满足条件的4、8不存在.

【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.

18.(1)+y2=1；(2)j

【解析】

£=在

a2

222

(1)由题意得《a^b+c，求出进而可得到椭圆后的方程;

79

4a②+16b2

(2)由(1)知点A,8坐标，设直线AP的方程为y=-x+2),易知0＜上＜(,可得点C的坐标为(0,2&),联立方

y-k(x+2)

程《22，得到关于丁的一元二次方程，结合根与系数关系，可用人表示p的坐标，进而由三点共线,

―x+/=]

I4,

即kBD=kpB，可用攵表示。的坐标，再结合k8=&"，可建立方程，从而求出攵的值，即可求得点P的坐标.

【详解】

c6

a2

a2=4

(1)由题意得《<z2=b~+C1，解得

b2=1

79

V+16F-

丫2

所以椭圆E的方程为土+y2=i.

4-

（2）由⑴知点4—2,0）,8（0,—1）,

由题意可设直线AP的斜率为左，则所以直线AP的方程为y=&(x+2),则点C的坐标为(0,2%),

y^k（x+2）

2

联立方程x,,消去》得：（1+442）/+16忆2%+16%2-4=（）.

一+旷=1

I4-

16/一48k2—2

设P（石,X）,则—2-X]-------,所以％=-------

1+4/11+4公7

由“I，/8&2-2c、4Zg”a8炉一24k、

所以，=«W+2）=所以询）.

设。点的坐标为(不，0),因为点P,8,。三点共线，所以kBD=kpB，即

「力+】

11+4公2_4kbtnN_4k.

,所以不TF，所以O（TF，°）・

8k2—21+2k1+2k

1+4公

2k_1

因为CD//AB,所以k8=左.，即2-4k2»

~1+2k

所以4k2+4左一1=0,解得"=二1主也，

2

又0＜左＜＜,所以左=立二1符合题意,

22

计算可得一"W=4k_近

1+4公i+4/_'T

故点P的坐标为(友,立).

2

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难

题.

2

19.(1)P=~；(2)见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联；(3)分布列见解析,

£(X)=|.

【解析】

(1)分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；

(2)根据数据列出列联表，求出K?的观测值，对照表格，即可得出结论；

(3)年龄在［55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X可能取值为0,1,2,分别求出概率，列出随

机变量分布列，根据期望公式即可求解.

【详解】

2211

(1)由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率百，

Q7

中老年对新高考了解的概率F=^=|.

(2)2x2列联表如图所示

了解新高考不了解新高考总计

中青年22830

老年81220

总计302050

50x(22x12-8x8)2

K2«5.56>3.841

30x20x20x30

所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.

（3）年龄在[55,65）的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人,

则抽取的3人中了解新高考的人数X可能取值为0,L2,

3

则P（X=O）=普P-i）=皆喙

5

2

P(X=2)=3C=C'±3

C；10

所以X的分布列为

E(X)=0x—+lx-+2x—

105105

【点睛】

本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.

2

20.（I）详见解析；（n）①120。，②2=0或九=].

【解析】

（I）可以通过已知证明出平面出B,这样就可以证明出A£）_LP8；

（II）①以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A尸为X,y,z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求

出平面P3C的法向量为万、平面PCD的法向量比，利用空间向量的数量积，求出二面角B-PC-。的大小；

②求出平面P8C的法向量，利用线面角的公式求出X的值.

【详解】

证明：(I)在图1中，•.•AB//CD,AB=CD,

•.NB=90，.-.AD±BE,

当△£/%沿AO折起时，AD±AB,AD±AE,即ADL45,AD±PA,

又ABcQ4=A,ABu面尸46,PAu面批B；.AD±平面PAB,

又必u平面BiB,J.ADJ_PB.

解：(II)①以点A为坐标原点，分别以A8,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由于PA_L平面A3。

则A(0,0,0),5(1,0,0),C(1,L0),P(0,0,1),0(0,1,0)

正=(1,1,-1),前=(0,1,0),DC=(1,0,0),

设平面P8C的法向量为乃=(x,y,Z),

PC-n=x+y-z=0

则取z=l,得历=(1,0,1),

BCn=y-0

设平面PC。的法向量玩=(a,b,c),

in-PC=a+b-c=0

则,取h=l,得比=(0,1,1)，

m-DC=<7=0

设二面角B-PC-D的大小为0,可知为钝角，

„\m-n\11

则c°se=一丽=一反双=一5,'"⑵。.

，二面角8—PC—。的大小为120。.

②设AM与面P8C所成角为a,

AM=AP+PM=(0,0,l)+/l(l,1,—1)=(A,%,1—X),

平面尸5c的法向量力=(1,0,1),

•.,直线AM与平面P8C所成的角为45,

_|2+1-2|巨

sina=cos(AM©

|W|-|H|V2-7/t2+/l2+(l-A)22

2

解得4=()或％.

3

【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式

求定比分点问题.

r2v2

21