河北省石家庄市高三上学期教学质量检测（一）数学试题

2021届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）数学一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】集合，，则.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.若，则复数（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的除法运算直接计算即可.【详解】解：因为，所以故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题.3.北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，再求出恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，最后计算恰有1枚吉祥物邮票的概率即可【详解】解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，则恰有1枚吉祥物邮票的概率，故选：C【点睛】本题考查实际问题中的组合计数问题、利用古典概型计算概率，是基础题.4.已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求的最小值【详解】解：将圆的方程化为标准方程，则圆心为，半径，则圆心到定点的距离为，最小值为.故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值，是基础题.5.在边长为2的等边三角形ABC中，若，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】根据条件，转化，再根据数量积公式计算结果.【详解】，所以.故选：A【点睛】本题考查向量数量积，平面向量基本定理，重点考查转化与计算，计算能力，属于基础题型.6.原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（）A.12贝克 B.12ln2贝克 C.6贝克 D.6ln2贝克【答案】A【解析】【分析】由时，钍234含量的瞬时变化率为，可求，从而可求.【详解】解：，所以，，(贝克)，故选：A.【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.7.已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得和的值，再结合余弦定理计算离心率.【详解】不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.8.已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A.25︰1 B.1︰25 C.1︰5 D.5︰1【答案】D【解析】【分析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.【详解】设点是三棱柱外接球和内切球的球心，点是底面等边三角形的中心，点是底边的中点，连结，，，，设底面三角形的边长为，则，，因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以，即三棱柱内切球的半径，，所以，即三棱柱外接球的半径，所以内切球的表面积为，外接球的表面积，所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为故选：D【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，设，，，满足，此时不满足，故A错误；对选项B，因为，且，所以，故B正确.对选项C，设，，，满足，此时，，不满足，故C错误；对选项D，因为，所以，，所以，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查不等式的比较大小，特值法为解题的关键，属于简单题.10.记函数的零点为，则关于的结论正确的为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可判断A、B选项的正误，利用指数与对数的转化可判断B、D选项的正误.【详解】由于函数在上单调递增，且，，，由于是函数的零点，则，即，，即，则，故A、D选项错误，B、C选项正确.故选：BC.【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围，同时也考查了指数与对数转化的应用，考查计算能力，属于中等题.11.2020年初，突如其来疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A.该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费【答案】ABD【解析】【分析】根据折线图逐个判断每个选项的正误.【详解】对于A，由折线图可知，该超市这8个月中，线上收入的平均值为，线下收入的平均值为，可知，因此线上收入的平均值高于线下收入的平均值，故A正确；对于B，由折线图可知，该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月，相差1万元，故B正确；对于C，由折线图可知，该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现正相关，故C错误；对于D，由折线图可知，从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查折线统计图的分析和理解，属于基础题.12.动点P（x，y）在单位圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24秒旋转一周．已知时间t＝0时，点P坐标为，当t∈[0，24]时，记动点P的横、纵坐标之和x＋y为关于t（单位：秒）的函数g（t），则关于函数g（t）描述正确的是（）A. B.g（t）在[5，17]上单调递减C.g（13）＝g（21） D.g（t）在区间[0，24]上有3个零点【答案】ABC【解析】【分析】根据题意表示单位圆上点的横坐标和纵坐标，并表示函数，再依次判断选项.【详解】由已知条件可知该函数的周期为，，当时，，所以，，，故A正确；时，，所以在区间上单调递减，所以B正确；，，所以，故C正确；，则，，或，解得：或，只有2个零点，故D不正确.故选：ABC【点睛】本题考查三角函数模型的简单综合应用，重点考查读懂题意，三角函数性质的的应用，属于中档题型.三、填空题：本题共4小题．13.已知实数x，y满足，则的最大值为________．【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.【详解】解：由约束条件，画出可行域，如图，有题意，解得点，根据图象可得，当目标函数过点时，取得最大值，故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.14.已知，2sin2α＋1＝cos2α，则cosα＝________．【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式化简为，再根据，得到的值.【详解】，即，，①又因为，②由①②可知，，又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数基本关系式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.15.设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），线段FA与抛物线交于点B，且，则|BF|＝________．【答案】【解析】【分析】设，根据可得出用表示的点坐标，再代入抛物线方程可得出值，然后求得两点坐标，利用两点之间的距离公式可得答案.【详解】由题得，设，则，，由得解得，代入椭圆方程得，解得，所以，，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.16.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝1，记bm为数列{an}中能使成立的最小项，则数列{bm}的前99项之和为________．【答案】【解析】【分析】首先根据与的关系，得到数列的通项公式，再根据规律找到满足条件能使成立的最小项，并对于不同的值，计算满足条件的个数，再求和.【详解】因为，所以，所以当时，，即，所以，因为为数列中能使成立的最小项，所以，所以可得当时，，当时，，当时，，当时，，……，，所以数列的前99项之和为：.故答案为：【点睛】本题考查已知和的关系求数列的通项公式，以及数列新定义，分组求和，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型，本题的难点是理解题意，对于每一个值，计算满足条件个数.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①，②asinC＝ccos，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，BD＝5，AD＝7，且________，试判断CD和BD的大小关系________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】【分析】先利用余弦定理求出的长，选条件①：利用辅助公式和正弦定理即可求解；选条件②：利用边化角，然后利用两角差的余弦公式求出，最后根据等边三角形的性质，即可判断CD和BD的大小关系【详解】解：设AB=x，在中由余弦定理可得：即，解得，方案一：选条件①．由得，在中由正弦定理可得：解得：，方案二：选条件②．由正弦定理可得：代入条件得：，，因为A为三角形内角，所以，故，所以为等边三角形，所以，所以CD<BD．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式，属于中档题18.公差不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比数列，（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前项n项和Tn．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由条件可知，代入等差数列的前项和公式，整理为关于的方程求解通项公式；（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由已知可得：，即：，解得（舍）或所以，（2）由（1）可得，所以；所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的点到综合，以及裂项相消法求和，属于基础题型，本题的难点是第二问，注意能使用裂项相消法的类型.19.中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件，是新时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件《意见》强调，坚持“五育”并举，全面发展素质教育．其中特别指出强化体育锻炼，坚持健康第一．某校为贯彻落实《意见》精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到如下频率分布直方图：（1）求这1000名学生满意度打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关．打分性别不满意满意总计男生100女生60总计200附：，P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【答案】（1）6.68；（2）列联表见解析，有的把握认为满意度与性别有关.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数的公式计算平均数；（2）由频率分布直方图计算可得，满意和不满意的学生的比例为，可计算抽取的200人中的满意和不满意的人数，填写列联表，再计算，并和临界值比较，再判断.【详解】解：（1）根据统计数据，计算平均数为：..（2）由频率分布直方图可知满意和不满意的频率比值为，根据比较计算200人中满意的人数为人，不满意的有60分，补充完整的列联表如下：不满意满意总计男生2080100女生4060100总计60140200则.经查表，得，所以有的把握认为满意度与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验的实际应用，重点考查数据分析，计算能力，属于基础题型.20.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，M为AA1的中点，BC＝BD＝1，．（1）求证：MD⊥平面BDC1；（2）求二面角MBC1D的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明BDMD和MDBC1即可证明MD⊥平面BDC1；（2）以DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）因为BC=BD=，CD=AB=，可得BC2+BD2=CD2，BDBC，又ADBC，BDAD.又ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，DD1平面ABCD，DD1BD.，BD平面ADD1A1，BDMD，取BB1中点N，连接NC，MN，且，为平行四边形，，=，，，BC1CN，又MDNC，MDBC1，又BC1=B，MD平面BDC1；（2）以DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，，由（1）可知为平面BDC1的一个法向量，，设平面C1BM的一个法向量为，，则，可取，设二面角MBC1D为，所以，即二面角MBC1D的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求面面角，属于中档题.21.已知椭圆E：过点，离心率为．（1）求椭圆方程；（2）已知不过原