2021新高考数学二轮总复习学案第2讲函数与方程思想数形结合思想

第2讲函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考考查的重点和热点.一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识运用的交汇处,思想方法和相关能力的结合处进行考查.思想方法诠释1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.3.函数思想与方程思想的联系:函数思想与方程思想密切相关,对于函数y=f(x),当y=0时,转化为方程f(x)=0,也可以把函数y=f(x)看作二元方程yf(x)=0.函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)g(x)与x轴的交点问题.思想分类应用应用一函数思想与方程思想的转换

【例1】设函数f(x)=1x,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0思维升华求两个函数f(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数F(x)=f(x)g(x)的零点问题.而函数F(x)的零点问题也可以转化为两个函数图象的交点问题.【对点训练1】已知函数f(x)的定义域为R,且有2f(x)+f(x21)=1,则f(2)=.

应用二函数与方程思想在解三角形中的应用

【例2】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1m,且AC比AB长12m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为(A.1+32m BC.(1+3)m D.(2+3)m思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.【对点训练2】已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,S为△ABC的面积,sin(B+C)=2S(1)证明:A=2C;(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求S的取值范围.应用三函数与方程思想在比较大小或不等式中的应用

【例3】(1)(2020全国Ⅰ,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2(2)(2020安徽合肥一中模拟,理12)已知关于x的不等式ax2e1xxlnx1≤0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[0,1] B.(∞,0]C.(∞,1] D.-思维升华1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.2.函数f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0.已知恒成立求参数取值范围可先分离参数,再利用函数最值求解.【对点训练3】(1)(2020全国Ⅲ,文10)设a=log32,b=log53,c=23,则(A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b(2)若x∈(0,+∞),ex-1x≥xlnx+a恒成立,则aA.1 B.1e C.0 D.应用四函数与方程思想在数列中的应用

【例4】(2020湖南长郡中学四模,文4)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13=13π4,则cos2a5+cos2a7+cos2a9=(A.1 B.32 C.52 D思维升华在解决数列问题时,应充分利用函数的有关知识,解题往往以函数的概念、图象、性质为纽带,建立起函数与数列间的桥梁,揭示它们内在的联系,从而有效快速解决数列问题.【对点训练4】已知在数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=n+23an,则anaA.3 B.1 C.3 D.1应用五函数与方程思想在概率中的应用

【例5】(2020河北沧州一模,理12)2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID19)疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p),当p=p0时,f(p)最大,则p0=()A.163 B.63 C.12 D思维升华关于概率的应用题,首先应用概率的相关知识得到两个量的等量关系,然后利用函数模型研究函数的最值、极值问题,重在考查考生的“数学建模”的核心素养和知识的迁移能力等.【对点训练5】(2018全国1,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?应用方法归纳函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.二、数形结合思想数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.思想方法诠释以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质思想分类应用应用一利用数形结合求函数的零点

【例1】(2020天津,9)已知函数f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函数g(x)=f(x)|kx22x|(k∈A.-∞,-12∪(22B.-∞,-12C.(∞,0)∪(0,22)D.(∞,0)∪(22,+∞)思维升华讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.【对点训练1】(2020安徽安庆二模,理12)函数f(x)=|lnx|ax恰有两个零点x1,x2,且x1<x2,则x1所在区间为()A.0,1eC.1e2,应用二利用数形结合思想求参数的范围或解不等式

【例2】(2020湖南永州二模,理9)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2|x+2|.若对任意的x∈[1,2],f(x+a)>f(x)成立,则实数a的取值范围是()A.(0,2) B.(0,2)∪(∞,6)C.(2,0) D.(2,0)∪(6,+∞)思维升华在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.【对点训练2】(2020北京,6)已知函数f(x)=2xx1,则不等式f(x)>0的解集是()A.(1,1) B.(∞,1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(∞,0)∪(1,+∞)应用三数形结合思想在解析几何中的应用

【例3】(2020山东枣庄二模,8)已知点P(m,n)是函数y=-x2-2x图象上的动点,则|4m+3n21|A.25 B.21 C.20 D.4思维升华1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有:(1)b-na-m表示两点(a,b),(m(2)(a-m)2+(b-n)2表示两点(a,b),(m,n)[2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到简便快捷地解决.【对点训练3】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若在以线段AB为直径的圆上存在两点M,N,在直线l:x+y+a=0上存在一点Q,使得∠MQN=90°,则实数a的取值范围为()A.[13,3] B.[3,1]C.[3,13] D.[13,13]应用方法归纳方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面:(1)解方程或解不等式;(2)含参数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用;(3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等;(4)构造方程或不等式求解问题.第2讲函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想思想分类应用【例1】B解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当a<0时,要想满足条件,如图,作出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(x1,y1).由图象知x1<x2,y1>y2,即x1+x2>0,y1+y2<0,同理当a>0时,则有x1+x2<0,y1+y2>0,故选B.对点训练113解析取x=2,则有2f(2)+f(1)=1,①取x=1,则有2f(1)+f(0)=1,②取x=0,则有2f(0)+f(1)=1,③取x=1,则有2f(1)+f(0)=1,④解由③④组成的方程组,得f(0)=13,代入②得f(1)=13,再将f(1)=13代入①,得f(2【例2】D解析设BC的长度为xm,AC的长度为ym,则AB的长度为y-12m.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC22AC·BCcos∠ACB,即y-122=y2+x22yx×12,化简得y(x1)=x214.∵x>1,∴x1>0,∴y=x2-14x-1,即y=(x1)+34(x-1)对点训练2(1)证明由sin(B+C)=2Sa2-c2,即sinA=2Sa2-c2,得sinA=由余弦定理得a2=b2+c22bccosA,则bc=b22bccosA.又b≠0,∴c=b2c·cosA,由正弦定理得sinC=sinB2sinC·cosA,即sinC=sin(A+C)2sinC·cosA=sin(AC).又0<A<π,0<C<π,∴A=2C.(2)解∵A=2C,∴B=π3C,∴sinB=sin3C.∵asinA∴a=2sin2C∴S=12ab·sinC==2sin2=2tan2=4∵△ABC为锐角三角形,∴即0∴π6<C<π4,∴tan∴S=43tan∴S∈【例3】(1)B(2)C解析(1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因为22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.由f(a)<f(2b)可得a<2b.(2)原不等式⇔axe1x≤lnx+1x(x>0),当a≤0时,令g(x)=lnx+1x,则g'(x)=所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,且g(1)=1,所以lnx+1x≥1,显然有axe1x≤lnx+当a>0时,令f(x)=axe1xlnx1x,则f'(x)=1所以f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以f(x)max=f(1)≤0即可,因为f(1)=a1,所以0<a≤1.综上,a≤1.故选C.对点训练3(1)A(2)C解析(1)∵32a=32log32=log3223=log98∵32b=32log53=log5233=log2527>1,∴b>23.又c=2(2)设t=xlnx,则ex-1x=et1,原不等式等价于et1t设g(x)=xlnx,则g'(x)=11x是单调递增的,零点为x=1,所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,所以函数g(x)的最小值为1,故t≥1.令f(t)=et1t,f'(t)=et11,零点是t=1,f(t)在[1,+∞)内单调递增,故f(t)min=0,故a≤0.故选C【例4】B解析S13=13(a1+a13)2=13a7=13π4,则2a7=π2.设f(x)=cosx,cos2a5因为f(x)=cosx图象的对称中心为π2+kπ,0,k∈Z,且2a7=π2,2a5+2a9所以cos2a5即原式=32.故选对点训练4C解析∵Sn=n+23an,∴当n≥2时,an=SnSn1=n+23ann+13·an1,可化为anan-1=n+1n-1=1+2n-1(n≥2).由函数y=2【例5】A解析设事件A:检测5个人确定为“感染高危户”,事件B:检测6个人确定为“感染高危户”,∴P(A)=p(1p)4,P(B)=p(1p)5.即f(p)=p(1p)4+p(1p)5=p(2p)(1p)4.设x=1p>0,则g(x)=(1x)(1+x)x4=(1x2)x4,∴g(x)=(1x2)x4=12×[(22x2)×x2×x2]当且仅当22x2=x2,即x=63时取等号,即p=p0=163.对点训练5解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1p)则f'(p)=C202[2p(1p)1818p2(1p)17]=2C202p(1p)17(1令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.二、数形结合思想思想分类应用【例1】D解析f(x)=x3,x≥0,-x,x<0,g(x)=f(x)|kx22x|有4个零点(1)若k>0,则如图.①∵1k>1k3,∴k3>k,∴左侧无交点.②x3=kx22x要有三个根,即x2kx+2=0有两根,∵Δ=k28>0,∴k>22综上①②,k>22(2)若k<0,如图.∵点1k,-1k恰在y=x上,且过二次函数图象的顶点,∴综上,k∈(∞,0)∪(22,+∞).故选D.对点训练1D解析当a≤0时不符合题意;当a>0时,考查函数g(x)=|lnx|与h(x)=ax的图象的交点.易知,g(x)与h(x)图象在区间(0,1)内必有一个交点,则在区间(1,+∞)内有且仅有一个公共点,当x∈(1,+∞)时,f(x)=lnxax,f'(x)=1-axx,则f(x)在0,1a所以[f(x)]max=f1a=ln1则只需ln1a1=0,故a=当x∈(0,1)时,f(x)=lnx1ex易知f1e=11e2>0,f(1)=1e<0,可知x1【例2】D解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2|x+2|.作出f(x