第3章 函数的数值逼近

1第三章函数的数值逼近

代数多项式插值分段插值与保形插值样条函数插值曲线拟合的最小二乘方法函数的最佳平方逼近引言

一、函数的工程化表达对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，表达形式上为函数表，无解析表达形式。2.虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使用，通常也会造一个函数表。(例如：大家熟悉的三角函数表，对数表，平方根表，立方根表。)

需求：为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。解决方法：用易于计算的简单函数近似函数表和复杂函数。设函数y=(x)在区间[a,b]上有定义，且已知(x)在点上的值为，若存在一简单函数,使得成立，就称为的插值函数，点称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求解函数的方法称为插值法。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)用曲线g

(x)来近似f(x)，以此计算x点值二维插值前二维插值后若是次数不超过n的代数多项式，即其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。如果为分段的多项式，就是分段插值，若为三角多项式，就称为三角插值。研究问题：（1）满足插值条件的P(x)

是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P(x)

存在，如何构造P(x)？（3）如何估计用P

(x)近似替代f

(

x)产生的误差？一.插值多项式的存在唯一性由(1)式可得(2)设是的插值多项式，表示次数不超过n的所有多项式的集合。且。称插值多项式存在且唯一，就是指在中有且仅有一个满足(1)式。插值多项式的唯一性

方程组(2)有唯一解即，证明：上式称为范德蒙(Vandermonde)行列式范德蒙行列式的性质：由于时，，故定理1满足条件(1)的插值多项式存在且唯一。y

0x

y=f(x)

的几何意义一、线性插值与抛物线插值1.线性插值(n=1)设已知区间端点处的函数值，求线性插值多项式，使其满足y=L1(x)xk

xk+1

代数多项式插值

——过两点(xk

,yk)与

(xk+1,

yk+1)

的直线或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点上的线性插值基函数线性函数可以把的表达式写为

y10

xk

xk+1

x

y10

xk

xk+1

x

lk(x)

lk+1(x)满足线性插值基函数2.抛物插值法

(n

=2时的二次插值)

设插值节点为：,求二次插值多项式，使得

先求

插值基函数lk-1(x),lk(x),lk+1(x),且在节点满足的几何意义，--过三点的曲线。插值多项式L2(x)是三个二次函数的线性组合y

1

0

xy

1

0

xy

1

0

xxk-1

xk

xk+1

xk-1

xk

xk+1

xk-1

xk

xk+1

拉格朗日多项式插值(n次)niyxPiin,...,0,)(==求n

次多项式使得条件：无重合节点，即基函数必须满足：li(x)

-==j

ijiiiixxCxl)(11)(拉格朗日插值多项式与有关，而与无关节点f每个li

有n

个根x0…

xi…xn问题：这种插值得到的

近似的截断误差如何？截断误差：这个截断误差也被称为插值多项式的余项。为理论上分析方便，我们引入记号：它的一阶导数：拉格朗日插值基函数也可以写成：定理设在[a,b]上连续，在(a,b)内存在，节点，是节点上的插值多项式，则对于任何，插值余项为证明：由给定条件知在节点上为零，即，于是其中是与x有关的待定系数。现在把x看成[a,b]上一个固定点，作函数根据插值条件及余项定义，可知在点及x处均为零，故在[a,b]上有n+2个零点，根据罗尔(Rolle)定理，在的两个零点之间至少有一个零点。故在[a,b]内至少有n+1个零点。对再应用罗尔定理，可知在[a,b]内至少有n

个零点。依次类推，在[a,b]内至少有一个零点，记为，使于是将它带入原式，得到余项表达式。注：

通常不能确定

x

,而是估计,

x(a,b)

将作为误差估计上限。

当

f(x)为任一个次数

n

的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数

n的多项式是精确的。例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50

并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算

利用这里而

sin50=0.7660444…)185(50sin10

pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的实际误差

0.01001

利用sin50

0.76008,内插

/*interpolation*/

的实际误差

0.00596内插通常优于外推。选择要计算的x

所在的区间的端点，插值效果较好。n=2)185(50sin20

pL0.76543

sin50=0.7660444…2次插值的实际误差

0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……分段低次插值与保形插值例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象Ln(x)

f(x)

分段低次插值尽量充分利用已有的信息插值多项式的次数不能持续无限制的增大&&Runge现象矛盾低次分段插值实际上,很少采用高于7次的插值多项式分段线性插值：所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近f（x）

分段线性插值在每个区间上，用1阶多项式

(直线)逼近f(x):记，易证：当时，一致失去了原函数的光滑性。为什么前面分析的分段线性插值完全没有光滑性呢？解决方法：不仅令插值函数在节点上与原函数值相等，还令其导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等。原因之一是插值函数的导数没能逼近原来函数的导数。厄密插值多项式法

我们一般只考虑一阶导数的情况，以及函数值与导数值个数相等的情况。已知节点及在其上的函数表及导数表要求插值多项式满足条件分析：这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式，其形式为2n+2个系数呢？问题：分析：直接根据来确定这些系数显然非常复杂。如何确定中这仍然采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。令插值基函数为及共2n+2个，每一个基函数都是2n+1次多项式，且满足条件于是，插值多项式，可以写成用插值基函数表示的形式求求求解其中为拉格朗日基函数，

c，d为待定系数令？由得：如何求取对数求导故：求解其中为拉格朗日基函数，

e，f为待定系数令？同理代入：得：设有及都是厄密插值问题的解。证明厄密插值的唯一性。证明：那么为次数的多项式，且满足条件：这说明都是的二重零点，即共有2n+2个零点。即，n次方程最多有n个零点。为Hermite插值多项式，

则定理

(Hermite插值余项)证明与拉格朗日余项公式证明类似.问题：已知，函数表及导数表分段三次厄密插值(保形插值)对于每个小区间求3次多项式使其满足插值条件这种插值即为分段三次厄密插值，也叫保形插值。存在且唯一，具体表达式：高次插值出现龙格现象L-插值Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（不需要每点的导数值，并满足二阶光滑的工程需求）发展背景三次样条插值(Cubicsplineinterpolation)前面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数。问题：早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条(样条)用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，成为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续。解决方案：数学定义：若函数,且在每个小区间上是三次多项式，其中是给定节点，则称

是节点上的三次样条函数。若在节点给定函数值，并成立则称为三次样条插值函数。分析：

因在上是3次多项式，即为4n个待定系数:共有个条件

要唯一确定，还必须附加条件(2边界条件)。个条件已有条件：内部条件：

个条件

连续性4n个待定系数常见边界条件有三种：注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。三次样条插值函数的构造(三转角方程)现在构造满足插值条件及加上相应边界条件的三次样条函数S(x)的表达式。若假设在节点处的值为，仿分段三次厄密插值公式，可得：

是未知的解决方法利用及边界条件为求出，考虑S(x)在上的表达式：(首先令)对S(x)求二次导数得同理可得在上的表达式：(首先令)由条件可得：式子两边除以令有说明：(b)上式有n-1个方程,要确定n+1个未知量缺少两个方程,由边界条件补足.方程组成的方程组.

mj(j=0,1,…,n)在力学上叫做细梁xj(j=0,1,…,n)处的转角，数学上叫做变化率。上式反映了mj与mj-1,mj+1的关系,因此叫做三转角方程。的n-1个(a)上式是关于n+1个未知量上面的方程组为关于所满足的方程组：(1)增加第1种边界条件：则方程组变为关于所满足的方程组可写为：矛盾方程组n+1个未知量，n-1个方程如果边界条件为第二类：如果边界条件为自然边界条件：如果边界条件为第三类：令这些方程组的系数矩阵都是严格对角占优矩阵，由此可知这些方程组的系数阵为非奇异矩阵，则方程组有唯一解可由解方程组的方法求解，从而可以得出的表达式，且S(x)具有连续的一阶,二阶导数(即S(x)为3次样条插值函数）。说明：注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f在所有插值点的导数值。例

已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529分析：属于第一类边界条件三次样条插值问题由第一类边界条件：厄密插值公式由于数值逼近问题在生产实际和科学实验中有很多函数，它的解析表达式是不知道的，仅能通过实验观察的方法测得一系列节点上的值。即得到一组数据或者说得到平面上一组点，现在的问题是寻求的近似表达式。用几何语言来说就是寻求一条曲线，来拟合（平滑）这m个点，简言之求一曲线拟合。曲线拟合是求近似函数的又一类数值方法。它不要求函数在节点处与函数同值，即不要求近似曲线过已知点，只要求它尽可能反映给定数据点的基本趋势，在某种意义下“逼近”函数。函数逼近的两种度量1.最佳一致逼近寻求次数的多项式P*n(x)，使的n次最佳一致逼近多项式。相应的逼近问题称为最佳一致逼近（或称为极大极小逼近，或称为理论上可以证明，对存在且唯一。多项式次最佳一致逼近切比雪夫（Chebyshev）逼近）。若存在称为f(x)2.最佳平方逼近均方误差寻求使其中权函数ω(x)满足：这种逼近问题称为最佳平方逼近问题。中的最佳平方逼近多项式。在[a,b]上可积在[a,b]任意小区间内不恒等于0(1)在各种度量意义下最佳逼近多项式是否存在？是否唯一？（主要讨论：最小二乘逼近）(2)如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式问题：1.基础知识已知关于点集上函数，(1)内积：定义:

内积满足以下四条性质：定义

设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.(2)函数的欧几里德范数性质：(3)正交:若满足则称与在[a,b]上带权正交。若函数族，满足关系则称是[a,b]上带权的正交函数族。当且仅当时成立(4)函数组的线性相关与线性无关设有函数组在[a,b]上连续若在[a,b]上线性无关称否则，称函数组在[a,b]上线性相关若函数族中的任意有限个线性无关，则称为线性无关函数族。例如：就是[a,b]上的线性无关函数族。定理：在[a,b]上线性无关的充分必要条件是它的克莱姆(Gramer)行列式，其中曲线拟合的最小二乘法在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系。由于贯彻数据往往不准确，因此不要求经过所有点，而只要求在给定点上误差按照某种标准最小。若记，误差最小即要求向量的范数最小。如果采用最大范数，计算上困难较大，通常就采用欧式范数作为误差量度的标准。关于最小二乘法的一般提法是：对给定的一组数据，要求在函数类中找到一个函数，使误差平方和其中这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。的一般表达式是用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定的形式。这不单纯是数学问题，还与所研究的运动规律及所得观测数据有关。通常要从问题的运动规律及给定的数据描图，确定的形式，并通过实际计算选出较好的结果。所表示的线性形式。若是k次多项式，那么就是n次多项式。为了使问题的提法更具有一般性，通常把最小二乘法中都考虑成加权平方和。其中是[a,b]上的权函数，它表示不同点处的数据比重不同。例如可表示在点处重复观测的次数。用最小二乘法求拟合曲线的问题，即求下式的最小值问题:转化为求多元函数的极小值问题由多元函数极值的必要条件有：若记那么上式可写为上面这个方程成为法方程，可以写成矩阵形式：其中由于线性无关，故从而得到函数的最小二乘解为因为