充分条件与必要条件

复习回顾

在初中，我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫作命题，判断为真的命题叫真命题，判断为假的命题叫假命题。

在命题中我们会经常遇到“若p,则q”的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。充分条件与必要条件探究发现问题1：下面“若，则”的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若，则；（4）若平面的两条直线和均垂直于直线,则。假真假真探究发现思考：对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题。如果“若，则”是真命题，则条件与结论有何关系？归纳：对于命题“若，则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，则一定成立。换句话来说，只要有条件就能够充分地保证结论成立，这时，我们称是成立的充分条件。探究发现

一般地，“若，则”是真命题，是指由经过推理能推出，这时，我们就说由可推出，记作：，并且说“是成立的充分条件”请用充分条件来叙述（1）（4）中条件和结论的关系？

对于（2）（3）,考虑其逆命题是否成立？如果成立，请用充分条件来说明？问题1：下面“若，则”的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若，则；（4）若平面的两条直线和均垂直于直线,则。对于充分条件还可以这样来理解：条件是结论成立的充分条件。探究发现例题分析

例1：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？（1）若四边形的两组对角相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若，则；（5）若，则；（6）若、为无理数，则为无理数。解：（1）（2）（3）（5）命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？例题分析下列命题均为真命题：①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。

例1中命题（1）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理。

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。探究发现问题2：既然判断定理提供了相应数学结论成立的充分条件，那么性质定理又能提供相应数学结论成立的什么条件呢？如：若四边形ABCD为平行四边形，则AB//CD，那么AB//CD是四边形ABCD成为平行四边形的什么条件呢？探究发现请用必要条件来叙述问题2中条件和结论的关系？问题2：若四边形ABCD为平行四边形，则AB//CD

“若，则”是真命题，是指由经过推理能推出，这时，我们就说由可推出，记作：，并且说“是的必要条件”（AB//CD是四边形ABCD成为平行四边形的必要条件）探究发现下列说法对吗？“”是“”成立的必要条件；“”是“”成立的必要条件；“”是“”成立的必要条件；“”是“方程有两个不相等的实数解”成立的必要条件。

对于必要条件还可以这样来理解：结论是条件成立的必要条件。例题分析例2：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中是的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若，则；（5）若，则；（6）若为无理数，则、为无理数。解：（1）（2）（4）命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”。这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他的必要条件吗？例题分析下列命题都是真命题：①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分。

例2中命题（1）及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理。

一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。充分条件与必要条件的关系

“若，则”是真命题，是指由经过推理能推出，即，则可以说“是成立的充分条件”，也可以说“是的必要条件”。

如果舍去、则还可以说“条件是结论的充分条件，结论是条件的必要条件”，分别与判断定理和性质定理相对应。例题分析例3：填空（1）是成立的

条件；（2）若，则是偶函数；那么是的

条件.充分充分、必要动练：写出成立的