湘教版数学七年级下册2.2.1 平方差公式 同步课件

2.2乘法公式2.2.1平方差公式1.使学生理解和掌握平方差公式.2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用.3.经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力.4.在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯，质疑的精神.【教学重点】弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点.【教学难点】准确理解和掌握公式的结构特征.多项式与多项式是如何相乘的？(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn思考计算下列各式，你能发现什么规律：(a+1)(a-1)=a2-a+a-12=

，(a+2)(a-2)=a2-2a+2a-22=

，(a+3)(a-3)=a2-3a+3a-32=

，(a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42=

.a2-12a2-22a2-32a2-42同学们通过观察这几个式子的左右两边，有什么发现吗？左边是两个二项式相乘，这两个二项式的两项中，有一项相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去互为相反数项的平方。我们用多项式乘法来推导一般情况：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.(a+b

)(

a

-

b

)=a2-

ab+ab

-b2=

.a2-b2(a+b

)(

a

-

b

)=a2-b2平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.1、公式特征:2、使用公式应该注意:相乘的两个括号中有一对相同的数（式子），有一对互为相反数的数（式子）找清哪个是相同的，即公式中的a；哪个是互为相反数的，即公式中的b3、平方差公式对我们的帮助:可以使我们在计算这种类型的多项式乘法时直接用公式更加快速和简便1、口答下列各题：(l)(－a+b)(a+b)=_________.(2)(a－b)(b+a)=_________.(3)(－a－b)(－a+b)=________.(4)(a－b)(－a－b)=_________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a22、练一练相同项相反项结果(x+y)(x-y)(3x-5)(3x+5)（-2a-b)(b-2a)(-7m+8n)(-8n-7m)(2a-6b)(-2a-6b)x-6b-7m-2a3x-b,b-5,58m,-8m2a,-2a(-6b)2-(2a)2(-7m)2-(8m)2(-2a)2-b2(3x)2-52x2-y2y,-y讨论如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2）所示的长方形，你能用这两个图解释平方差公式吗？ab（1）aba-b（2）图（2）中的面积为：(a+b)(a-b)，图（1）中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知，图（2）的面积为图（1）剩余部分的面积，所以(a+b)(a-b)=a2-b2.对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.（1）(2x+1)(2x-1)；

（2）(x+2y)(x-2y).【例1】运用平方差公式计算：分析：第（1）题，可以把“2x”看成平方差公式中的“a”，“1”看成“b”；第（2）题，可以把“x”看成平方差公式中的“a”，“2y”看成“b”.解：（1）(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1.（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y21、利用平方差公式计算：(1)(5＋6x)(5－6x)；(2)

(x－2y)(x＋2y)；(3)

(－m＋n)(－m－n).解：(1)原式

＝52－(6x)2＝25－36x2.(2)原式

＝

x2－(2y)2＝

x2－4y2.(3)原式

＝(－m)2－n2＝

m2－n2.注意：1.先把要计算的式子与公式对照；

2.哪个是

a?哪个是

b?【例2】运用平方差公式计算：（1）；（2）(4a+b)(-b+4a).解：（1）（2）(4a+b)(-b+4a)

=(4a+b)(4a-b)=(4a)2-b2

=16a2-b2.将括号内的式子转化为平方差公式形式.自主探究想一想：(1)计算下列各式，并观察他们的共同特点：6×8=4814×16=22469×71=48997×7=49

15×15=225

70×70=4900

(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母

表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(a−1)(a+

1)=a2

−

1，【例3】计算：1002×998解：1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22=1000000-4=9999962、计算：(1)103×97；(2)118×122.解：103×97=(100＋3)(100－3)=1002－32=10000－9=9991.解：118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.1.下列式子可用平方差公式计算吗?为什么?

如果能够，怎样计算

?(1)(a+b)(

a

b)；(2)(a−b)(b−a)；(3)(a+2b)(2b+a)；

(4)

(a−b)(a+b)；(5)(

2x+y)(y−2x).(不能)(不能)(不能)(能)(不能)−(a2

−b2)=

−a2

+b22、下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－2；（2）(－2x－1)(2x－1)＝4x2－1．解：（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－4；（2）(－2x－1)(2x－1)＝(-1-2x)(-1+2x)＝1-4x2

3、计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2；(2)(2x－5)(2x+5)

－2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4.(2)原式

=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.4.运用平方差公式计算：（2）(3a+b)(3a-b)；（1）(m+2n)(m-2n)；（4）(-1+5a)(-1-5a).（3）=9a2-b2=m2-4n2

=1-25a2.=

x2-y2(1)(a+3b)(a-

3b)；解：原式

=(2a+3)(2a－3)=(2a)2－32=4a2－9.=a2－9b2.解：原式

=a2－(3b)2(2)(3+2a)(－3+2a)；5.利用平方差公式计算：(3)(－2x2－y)(－2x2+y)；解：原式

=(－2x2)2－y2=4x4－y2.(4)(－5+6x)(－6x－5).解：原式

=(－5+6x)(－5－6x)=(－5)2－(6x)2=25－36x2.6、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，

其中

x＝1，y＝2.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)

＝4x2－y2－(4y2－x2)

＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.

当

x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算．解：(1)原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12

＝2500－1＝2499.(3)原式＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6)

＝3x2－5x－10.(1)51×49；(3)(3x+4)(3x-

4)-

(2x+3)(3x-

2).(2)13.2×12.8；7.利用平方差公式计算：(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22

＝169－0.04＝168.96.（1）202×198；（2）49.8×50.2.8.计算：解:（1）202×198=(200+2)(200-2)=40000–4