湘教版数学七年级下册1.4 三元一次方程组 同步课件

1.4

三元一次方程组的解法1.了解三元一次方程组的概念.2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.4.让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”、“加减”消元的方法.5.让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.【教学重点】三元一次方程组的解法及“消元”思想.【教学难点】根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.1.解二元一次方程组有哪几种方法？2.解二元一次方程组的基本思路是什么？二元一次方程组代入加减消元一元一次方程化二元为一元化归转化思想代入消元法和加减消元法消元法思考：若含有

3个未知数的方程组如何求解？思考小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的.问这家人的年龄分别是多少岁?可建立二元一次方程组来解决.设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为（x-6）岁.根据题意得：解上述方程组得x=38，y=10.因此爸爸的年龄为38岁，妈妈的年龄为32岁，小丽的年龄为10岁.想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？因为要求三个人的年龄，所以可设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁.根据题意得：x+y+z=80，x-y=6，x+y=7z.本问题涉及的等量关系有:小丽+爸爸＋妈妈＝80，爸爸－妈妈＝6，小丽＝（爸爸＋妈妈）×.分析三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这三个方程联立在一起写成：可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.三元一次方程组注：三元一次方程特点：

含有三个未知数

含有未知数的项的次数均为1；

必须有三个方程，且是整式方程；

三元一次方程组中，只需三个方程共含有三个未知数就可以思考解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，使其转化为一元一次方程来求解，那么我们在解三元一次方程组时，能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转化为二元一次方程组或一元一次方程呢？x＋y＋z=80,x－y=6,x＋y＝7z.解：因为要求三个人的年龄，设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁，根据题意得:①②③①＋②，得2x＋z＝86，②＋③，得2x－7z＝6，解这个方程组，得x=38,z=10.把x=38，z＝10代入①式，得38＋y＋10＝80，解得y＝32.因此，三元一次方程组的解为x=38,z=10.y=32,1、同学们，你还记得解二元一次方程组的基本思想是什么吗？消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。2、类比解二元一次方程组的基本思想，我们如何解三元一次方程组？（同学之间相互讨论讨论）x＋y＋z=80,x－y=6,x＋y＝7z.①②③①＋②，得2x＋z＝86，②＋③，得2x－7z＝6，解这个方程组，得x=38,z=10.把x=38，z＝10代入①式，得38＋y＋10＝80，解得y＝32.因此，三元一次方程组的解为x=38,z=10.y=32,同桌讨论，解三元一次方程组的基本想法是什么？“三元”“二元”“一元”加减消元法代入消元法解三元一次方程组的基本想法是：消去一个未知数，将解三元一次方程进而转化为解一元一次方程.组转化为解二元一次方程组，消元的基本方法仍然是：代入法和加减法.1、下列方程组不是三元一次方程组的是(

)A.B.C.D.D[注意]组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．【例】解三元一次方程组：分析：通过观察发现，z或y的系数较为简单，可以先下去消去z或y来求解.①②③解：②×4-①，得7x-17z=4.

②-③，得2x-5z=3.两次转化都必须是消去同一个未知数.由此得到解这个二元一次方程组得把x=-31，z=-13代入③式，得y=42.所以原方程组的解为请你用其他方法来解例题的方程组.5x＋4y＋z=0,①3x＋y－4z=1,②x＋y＋z＝﹣2.

③通过观察发现，z的系数较为简单，可以先消去z来求解.分析解：①×4－②，得23x＋17y＝1.①－③，得4x＋3y＝2.解这个二元一次方程组得x=﹣31，

y=42.把x=﹣31，y＝42代入③式，得z＝﹣13.所以原方程组的解为x=﹣31，z=﹣13.y=42，“三元”“二元”“一元”解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行

，把

转化为

，使解三元一次方程组转化为解

，进而再转化为解

.三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元消元“三元”“二元”二元一次方程组一元一次方程【例】在等式y=ax2＋bx＋c中，当

x=－1时，y=0；当

x=2时，y=3；当

x=5时，y=60.求

a，b，c的值.解：根据题意，得三元一次方程组a－b＋c=0，

①4a＋2b＋c=3，

②25a＋5b＋c=60.③②－①，得a＋b=1.④③－①，

得4a＋b=10.⑤④与⑤组成二元一次方程组a＋b=1，4a＋b=10.a=3，b=-2.解这个方程组，得把代入①，得a=3，b=-2c=-5.a=3，b=-2，c=-5.因此1.解下列三元一次方程组：x＋y=7,①2y＋z=6；②x－z=7；③（1）2x＋2y＋z=4,①2x＋y＋2z＝7；②x＋2y＋2z＝﹣6；③（2）解：②＋③，得x＋2y＝13.由此得到x＋y＝7.解得x=1，

y=6.把x=1代入③式，得z＝﹣6.所以原方程组的解为x=1，z=﹣6.y=6，解：②－③，得x－y＝13.①×2－②，得2x＋3y＝1.解这个二元一次方程组得x=8，

y=﹣5.把x=8，y＝﹣5代入③式，得所以原方程组的解为x=8，z=﹣2.y=﹣5，x＋2y＝13.z＝﹣2.2.解方程组得

x＝____，y＝____，z＝____.x＋y－z＝11，y＋z－x＝5，z＋x－y＝1，①②③【解析】通过观察未知数的系数，可将①+②求出

y，②+③求出

z，最后再将

y与

z的值代入任何一个方程求出

x即可.6833.若

x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则

x＋y＋z的值为（）A.2

B.3C.4

D.5解析：通过观察未知数的系数，可将两个方程相加，得

5x+5y+5z=25，所以

x+y+z=5.D4、有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为17岁，则甲、乙、两三人的年龄分别为多少岁?解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为x岁，y岁，z岁，则x＋y=15,y＋z=16,x＋z＝17.解得x=8,y=7,z＝9.答：甲、乙、丙三人的年龄分别为8岁，7岁，9岁.5.某加工厂专门安排210名工人进行手工加工部分，每个产品由2个A型零件、1个B型零件、1个C型零件组成。如果每人每天能够加工A型零件10个，或B型零件15个，或C型零件12个。如何安排工人才能使每天加工出的产品正好完整？答：负责A型零件，负责B型零件，负责C型零件的人数分别是：120人，40人，50人．解：解设x个人负责A型零件，y个人负责B型零件，z个人负责C型零件．根据题意得

解方程组，得

答：负责A型零件，负责B型零件，负责C型零件的人数分别是：120人，40人，50人．6、一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为

x、y、z.则有

解得