2020-2021学年人教A版数学选修4-5学案：第四讲用数学归纳法证明不等式

第四讲用数学归纳法证明不等式

-数学归纳法

考纲定位重难突破

1.了解数学归纳法的原理.重点：1.数学归纳法的原理.

2.了解数学归纳法的使用范围.2.数学归纳法的应用.

3.会用数学归纳法证明一些简单问题.难点：掌握数学归纳法的应用.

01懦前自主梳理@------------------------------------------------------掌握基本知识，注重基础训练

授课提示：对应学生用书第37页

［自主梳理］

一、数学归纳法的概念

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数处的所有正整数〃都成立时，可以用

以下两个步骤：

(1)证明当〃=小时命题成立；

(2)假设当〃=©/eN+,且时命题成立，证明〃=4+1时命题也成立.

在完成了这两个步骤后,,就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证

明方法称为数学归纳法.

二、数学归纳法的步骤

（2）证明：若n=k（kE

（1）证明：n—?i）（n>GN•旦no）时命题

N）时命题成立成立.则n=k1时命

题也成立

奠基假设与递推

对所有的n（N.九》如）命题成立

［双基自测］

1—〃“十2

1.用数学归纳法证明：“l+〃+a2+―+〃&i=1——mwi）”，在验证〃=1时，左

\~a

端的项为（）

A.1B.1+。

C.i+a+a2D.\+a+a2+a3

解析：当〃=1时，左端为1+«+/,故选C.

答案：C

2.用数学归纳法证明12+22H--1~〃2=，（〃+［）（2〃+1）（〃£^）时从〃=左/£弗）到〃=

Z+1,左边应增添的式子为.

解析：当〃=攵时，左边=12+22-1----FA2,

当n=k+1时左边=F+22H---FF+（4+1产

・•・增添的式子为（及+1）2.

答案：（4+1）2

3.数列｛。〃｝中,已知。1=1,当—22（〃eN+）时,an=an-\+2n—l9依次计算。2，。3,

〃4后，猜想。〃的表达式是.

解析：Vtzi=l,・・・〃2=〃I+2X2—1=4,

03=42+2x3—1=9,44=43+2X4—1=16,

猜想：Cl〃="2.

2

答案：an=n

02懦堂合作探究3--------------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第37页

［题型探究］探耍点•究所”

探究一用数学归纳法证明等式

3）（1WK］弓）=嘿.

[例1]证明:当心2,“CN+时,

132+13

［证明］(1)当〃=2时，左边=1一团=不右边=方不=不

...当〃=2时，等式成立.

⑵假设〃=碌22,AWN+)时等式成立,即：

(TXTiTYW

当〃=&+i时，(i一货一目…。一哥—舟司

伙+1)2」

k+1k(k+2)

=W%+1)2

k+2

=2(^+1)

(k+l)+l

=2(A+1).

，当"=A+1时，等式也成立，由⑴⑵知，对任意”，2,"6N+等式成立.

「方法归纳」

I.用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点

一是准确表述"="o时命题的形式，二是准确把握由〃=k到"=k+l时，命题结构的

变化特点.

2.应用数学归纳法时的常见问题

(1)第一步中的脸证，对于有些问题脸证的并不是〃=1,有时需验证”=2,〃=3.

(2)对〃=%+1时式子的项数以及〃=女与n=k+\的关系的正确分析是应用数学归纳法

成功证明问题的保障.

(3)“假设〃=&时命题成立，利用这一假设证明〃=&+1时命题成立”，这是应用数学

归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、

规范.

学以致用le

1.求证：1+77^+11112T----匕」oL[=-^7(〃eN+).

1+21+2+31十2十3十…十〃〃十1

2x1

证明：(1)当〃=1时，左边=1,右边=占不=1,

所以左边=右边，等式成立.

(2)假设当〃=k(k》l,&eN+)时等式成立，即1+1十{2+-1十L2十.3+…+1十2十3十…4十2

_2k

~lc+\,

则当“=A+I时'I+7^+1+2+3+…+1+2+3H---F++1+2+3+…+++(%+1)

_2k__________1___________2%2_2(%+Ip_2伏+1)

=ITT+]+2+3+…+k+(k+l)=ITT+(k+l)(k+2)=(A+l)(k+2)=也+1)+1

这就是说，当〃=k+l时，等式也成立.

由(1)(2)可知，对任何xCN+等式都成立.

探究二用数学归纳法证明整除性问题

[例2]用数学归纳法证明(3〃+l)7—1能被9整除(〃GN+).

[证明](1)当〃=1时，原式=(3X1+1)X7-1=27,能被9整除，命题成立.

(2)假设当〃=%(kGN+,时，(34+1)7—1能被9整除，则当"=&+1时,

[3也+1)+斗7*+1-1

=[21(k+l)+7]-lk~\

=[(3k+l)+(18k+27)]-7J

=[(3k+D­71]+9(2k+3)7.

：[(3k+l)-7”—1]才。9(2k+3>7人都能被9整除，

，[(3k+1>7k—1]+9(2k+3>7k能被9整除，

即[3伙+1)+1卜7l1-1能被9整除,

即当〃=A+1时命题成立.

由(1)(2)可知，对任何〃GN+,命题都成立，

即(3〃+1)-7'-1能被9整除(“GN+).

「方法归纳」

1.用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒

等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证.

2.与〃有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从〃=&+1时的表

达式中分解出”=左时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.

学以致用le

2.求证：二项式/"一广I(〃eN+)能被x+y整除.

证明：(1)当n=l时，JC2—/=(x+y)(x—y),

,能被x+y整除.

⑵假设〃=碌=1,且及GN+)时，一一产能被x+y整除,

当n=k+1时，即

:/"一)"与『一y2都能被x+y整除，

.'.+/V-)2)能被x+y整除，

即〃=左+1时，/+2一浮+2能被x+y整除.

由(1)(2)可知，对任意的正整数〃命题均成立.

探究三用数学归纳法证明几何问题

［例3］平面内有"个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求

证：这n个圆将平面分成共〃)=〃2—〃+2个部分(〃GN+).

［证明］(1)当〃=1时，一个圆将平面分成两个部分，且＜1)=1—1+2=2,所以〃=1

时命题成立.

(2)假设"=MkGN+,AN1)时命题成立，即％个圆把平面分成式灯=3一女+2个部分.

则〃=4+1时，在Z+1个圆中任取一个圆0,剩下的％个圆将平面分成人k)个部分，而

圆。与&个圆有2A个交点，这2A个交点将圆。分成2A段弧，每段弧将原平面一分为二，

故得以%+1)=/(%)+2%=9-k+2+2k=(k+l)2—(k+l)+2.

所以当”=左+1时，命题成立.

由(1)(2)可知，对一切"GN+,命题成立，即这几个圆将平面分成八〃)=”2—〃+2个部

分(“GN+).

「方法归纳」

用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从"=%到”=k+l时，新增加的量是多少.一

般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们

也可以从k+1个中分出1个来，剩下的4个利用假设.

学以致用le

3.证明凸〃边形的对角线条数：/(〃)=%(〃一3)(心4).

证明：(1)当〃=4时，负4)=；义4义(4-3)=2.四边形有两条对角线，命题成立.

(2)假设当〃=&(心4)时，命题成立，即凸A边形的对角线的条数加)='("-3)妗4).当

"=k+l时，凸k+1边形是在左边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A*+i,增加的

对角线条数是顶点4+i与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边44,增加的对角线条数

为［(k+1)—3+1］=左一1,

,穴4+1)=3%(%一3)+%—1

=2(您一4一2)==(A:+1)(A—2)

=1(^+l)［(k+l)-3］.

故〃=4+1时，命题也成立.

由(1)(2)可知，对任何〃£N+,〃24,命题成立.

［易错警示］防错误•谋策略

运用数学归纳法证题的常见错误

［典例］设----卜3〃L］(〃eN+)，则式〃+1)—A”)等于()

A，B

A,3〃+20,3”+3〃+1

11111

C・3〃+l+3〃+2D，石+3〃+1+3〃+2

［解析］因为1------h而匕，所以#"+l)=l+T+g_|------^^匕+++

3〃+13n+2'

所以负〃+1)—/(")=界看+世

［答案］D

［规律探究］(1)认清待证命题的结构特征、分清项数与〃之间的关系是用数学归纳法的

基本条件，常见错误有：①没有认清〃o是什么；②不会确定〃=〃。时的具体情形；③误认为

1〃)中就一定有〃项；④误认为4〃+1)的最后一项就是由式〃)变到式〃+1)时增加的项.

(2)证明〃=A+1时命题成立的过程中必须用上归纳假设，即把〃=及时的命题作为必备

的已知条件，只有用上这个条件并推出"+1时的命题成立才正确；如果推证〃=4+1时命

题成立的过程中没用上归纳假设，即使符合数学归纳法证题格式也不是数学归纳法.

03课后巩固提升⑤------------------------------------------------------检测学习效果，体验成功快乐

［随堂训练］对应学生用书第39页

1.在应用数学归纳法证明凸〃边形的对角线为%(〃-3)条时，第一步检验第一个值wo

等于()

A.0B.1

C.2D.3

解析：因为凸〃边形边数最小时为三角开九所以〃23.

•*.〃o=3.

答案：D

2.用数学归纳法证明时，设式%)=1X4+2X7+…+k(3k+l)=如:+1)2,则分+1)=

解析:式&+l)=lX4+2X7+…+k(3A+l)+(k+l>(3Z+4)=(A+l)(A+2)2.

答案:也+1)(无+2)2

3.用数学归纳法证明34"+2+52"+i(〃WN+)能被14整除时,当〃=4+1时,对于3k1)

+2+52俨1)+1应变形为.

解析：当〃=上时，34n+2+52n+l=34A+2+5*12*+l

...当〃=%+1时，34n+2+52n+1=34(*+0+2+52(t+1)+1

=34(34*+2+52i+1)-34-52t+l+52-52i+l

=81(34*+2+52*+1)-56-52A+,.

至此即可以用上归纳假设推出81(3软+2+52W1)是14的倍数，又可以把56SWI看成14

的452rl倍的倍数.

答案：81-(34i+2+52/:+l)-56-52*+l

二用数学归纳法证明不等式举例

考纲定位重难突破

1.会用数学归纳法证明简单的不等式.重点：1.会用数学归纳法证明简单的不等式.

2.会用数学归纳法证明贝努利不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式.

3.了解贝努利不等式的应用条件.难点：贝努利不等式的应用.

01谣前自主梳理您掌握基本知识，注重基础训练

授课提示：对应学生用书第40页

［自主梳理］

一、本节的有关结论

1.〃2<2"(〃GN+,心5).

2.|sin〈用sinO|(〃WN+).

3.贝努利不等式

如果x是实数，且X>-1,x¥0,"为大于1的自然数，那么有(l+x)”>l+nx.

当a是实数，并且满足a>l或者a<0时，有(1+x)“N1+»(x>—1).

当a是实数，并且0<a<l时，有(l+x)MWl+ar(x>—l).

4.如果"(”为正整数)个正数a”42，…，4"的乘积G“2…4"=1，那么它们的和〃1+42

H------

二、用数学归纳法证明不等式

在用数学归纳法证明不等式时,我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是

比较法.

[双基自测]

1.用数学归纳法证明：W1+1+!H---",I]<"(〃eN+,〃>1)"时，由"=%(«>1)不等

式成立，推证〃=%+1时，左边应增加的项数是()

A.2*-'B.2*-1

C.2kD.2*+1

解析：〃=&时，左边为l+T+g^-----卜2上]:〃=人+1时，左边为1+/+；^-------卜j

+*+…+声七+号=7,故增加了2匹|一1-2"+1=2”项，选C・

答案：C

2.对于正整数〃，下列说法不正确的是()

A.3221+2〃B.0.9"，1一0.1〃

C.0.9,,<1-0.1«D.0.1n^l-0.9n

解析：由贝努利不等式

♦.•(l+x)"21+”x,(〃GN+,x2-l),

.•.当x=2时，(1+2)"》1+2",

故A正确.

当刀=一0.1时，(l-0.1)rt>l-0.ln,B正确，C不正确.

答案：C

3.用数学归纳法证明不等式"二<l+g+gH--F*<〃+1(〃WN+,〃>1),当"=2时，

要证明的式子是.

2+211]

解析：当〃=2时，六一<1+]+]+干：2+1.

答案:2<1+1+|+!<3

4.用数学归纳法证明3"》/(〃》3,»GN),第一步应验证______时，3"》/成立.

解析：第一步应脸证〃=3时，成立.

答案：〃=3

02懦堂合作探究硬------------------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第40页

［题型探究］探要点•究所然

探究一贝努利不等式

［例1］求证：(1+1)。+£)(1+£)…(1+^7)*2"+1.

［证明］由贝努利不等式(l+x)”>l+，H"GN+,X>-1且x#0),得(1+壮7)>1+

2X2k~\'其中"=2"*=2『产N+)，即±左一广雄广,

则1+1>A1+豪情,1+?情,…，1+十>"\/1^("。+),

将上述各式两边分别相乘得：

(1+1)(1+()(1+5…(1+嵩)>V§Xyjl%Ayjx-X

二(1+1)(1+；)(1+g)…(1+U1)*2〃+1("WN+).

「方法归纳」

在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)"缩小为简单的1+nx的形

式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用.例如：当x是实数，且Q-l,xWO

时，有贝努利不等式不难得到不等式(1一日)">1一母:对一切不小于2的正整数〃成立.

学以致用le

1.证明：(1+1)(1+?(1+%(1+5日>羽币(可考虑用贝努利不等式〃=3的特

例).

证明：利用贝努利不等式(l+x)〃>l+〃M〃£N+,〃22,x>-l,x/0)的一个特例

得】+号3攵+1

1+2+33左一2此,处〃=3,x=亚刁“分别取

1,2,…，〃时，所得〃个不等式左右两边相乘，得:

47

--3〃+1

14

3〃—2,

得证.

4A7,

探究二用数学归纳法证明不等式

［例2］用数学归纳法证明：++*+…+*<2（〃CN+）.

［证明］不妨把命题----1--3<2,强化为----F-3^2—

证明：（1）当〃=1时，不等式显然成立.

（2）假设当〃=%伙21）时不等式成立，

即=+*+…+*2—£

则当“3+1时,…+*+/铲2—"+寻"

1I1___1

*有一1十（％+］）2+申=一碌+1产

所以一（+舟17<一式7

所以2一十+/了<2—

则当〃=k+1时，不等式也成立.

由（1）、（2）可知，所有正整数不等式都成立.

又2—32,所以----FA<2（"GN+）成立.

「方法归纳」

利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由“=k到”=%+1的变形.为满足题目的

要求，常常要采用“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式,

再证明.

学以致用|肝

1110

2.求证：当且“GN时，'.:+'.'H----

»+1n+2in10

1111199

证明：（1）当〃=2时，不等式的左边=Q+w+彳+/=而>而，

所以，不等式成立.

119

（2）假设当时，不等式成立，即后711---

当n=k+\时，

左边=--—+—-—H---k—+―--+―—+——-——

〜k+2k+3十34十3Z+13左+2十3(攵+1)

=(^TT+H^+r^+，，，+^)+3^+l+3^+2+3(^+l)-I+T>To+3^+l+3Jl+2+

11

3(k+V)~k+i'

,1111

出于3攵+1>3伏+1)，3攵+2>3/+1)，

口此左边>10+3^+1+32+2+3伏+1)-%+1

91111_9

>10十3伙+1)十3(hH)十3(hH)―&+1—10-

所以，当”=k+l时，不等式也成立.

由(1),(2)知，不等式对大于1的正整数都成立.

探究三归纳、猜想、证明

［例3］设/〃)X)(〃GN+),对任意自然数小和“2总有火〃|+"2)=式〃1次〃2)，又42)=4.

(1)求丸1),式3)的值;

(2)猜想共〃)的表达式，并证明你的猜想.

［解析］(1)由于对任意自然数"1和〃2,

总有人小+〃2)=/5|)7(〃2).

取用=〃2=1,得犬2)=/(1)次1),即/(1)=4.

•.加>0("—+),

；W)=2.

取〃i=l,“2=2,得-3)=23.

(2)由<1)=21,/(2)=4=22,式3)=23,

猜想人〃)=2".

证明：①当〃=1时11)=2成立；

②假设〃=%时，加t)=24成立.

.&+1)=般川)=2{2=2口

这就是说当〃=A+1时，猜想也成立.

由①②知猜想正确，即犬〃)=2".

「方法归纳」

利用数学归纳法解决探索型不等式的思路

观察——归纳——猜想——证明.即先通过观察部分项的特点.进行归纳，判断并猜想

出一般结论，然后用数学归纳法进行证明.

学以致用le

3.在数列｛斯｝,｛儿｝中，ai=2,"=4,且a,„bn,an+i成等差数列，b,„an+\,b,,+\

成等比数列(〃eN+).

(1)求。2，a3,04及厉,b3,b4,由此猜测｛斯｝,｛d｝的通项公式，并证明你的结论;

(2)证明：!,+-H----1-1，<-j5.

a\-rb\+历an-rbn12

解析：(1)由条件得24=斯+斯+i,—+|=8瓦+1,

由此可得42=6,岳=9,6/3=12,/?3=16,4/4=20,d=25.

2

猜测an=n(n+1),bn=(n+1).

用数学归纳法证明：

①当n=\时，由上可得结论成立.

②假设当〃=左时，结论成立，

即以=4攵+1),加=(左+1)2,那么当〃=攵+1时，

以'+1=2勿一以=2(k+1)2—3t+1)=(攵+1)(&+2),

bk+、=^'=(k+2)\

Uk

所以当n=k+\时，结论也成立.

由①②，可知斯=〃(〃+1),历?=(九+1)2对一切正整数都成立.

(2)证明：=7<-j5.

a\~vb\o12

时，由⑴知〃〃+/?”=(〃+1)(2〃+1)>2(〃+1)机

故舟;+★+…+房春3壶+壶+…+信司

=+-5

62V2^+7Hn-

综上，原不等式成立.

［规范解答］练现他•得满分

用数学归纳法证明探索性问题

［典例］(本题满分12分)若不等式看+圭+击+…十一吟对一切正整数〃都

成立，求正整数4的最大值，并证明你的结论.

【解析】取"=1时，|,|-］+i+2+3X1+1=24,令正〉丞，而“GN+,所以a的最大

值为25............................................................................

3分

用数学归纳法证明：工+义+工+…+<^7焉.

n+1n+2n+33n+124

①当n=l时，已证结论正确..........................................5分

②假设当n=k(k2l且MN+)时，

1,1,1,,125<八

k+\+k+2+k+3~^h3^+l>24)...................................677

则当n=k+\时'有仇+i)+i+伏+］)+2+…+3A+l+3A+2+3A+3+3(A+l)+l

3k+2+3k+4~3(k+\)_

分

因为7+2+3Z+4=9F：i8k；8>3(A+l)'所以3&+2+3A+4-3(A+1)>°'所以

伙+1)+1+也+1)+2+…+3伙+1)+1>24'即"="+1时'结论也成

立.....................10分

由①②可知，对一切〃eN+,^--T7+-j77+-3~7H----卜蜷,故

n+1n+2n+33丁〃十二124a的最大值

为25........................................................................12分

［规律探究］(1)探索性问题的关键是通过具体情形进行分析归纳，总结出符合题