2022届高考数学基础总复习提升之突破详解36不等式选讲含解析

专题36不等式选讲

学习目标

【学习目标】

1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

①|a+引W|a|+出；

®\a-b\W|a—c\+|c-b\.

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax+6|Wc；|ax+b\|x-a\+Ix-b\><?.

3.会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特

定函数的最(极)值.

4.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.

二.知识要点

【知识要点】

1.绝对值的概念和几何意义

a(a20),

代数:a|

—a(a<0)

几何意义：Ia|表示数轴上坐标为土a的点/到原点的距离.

-----------------------&----------------e-----------

OA

2.绝对值不等式性质

|a|一|引W|a+b\W|a|+|引.

(1)|a+6|W|a|+|6|,当且仅当ab'O时取等号；

(2)|a—引W|a|+I6|,当且仅当劭W0时取等号.

3.绝对值不等式的解法

原则是转化为不含绝对值的不等式求解.

基本型：a>0,\x\<a<^>~a<x<a；

x'\>a^>x<-a或x>a.

(1)c>0,\ax+b\^c<^-c<ax+b<c,|ax+b\^c<^>ax+b<-c^ax+b>c.

(2)c>Q,|x—a\+x~b\^c,|x—a|+|x—引Wc.

三种解法：图解法（数形结合）、零点分区法（定义）、绝对值的几何意义（数轴）.

4.比较法证明不等式

（1）作差比较法：

知道a>A，a—6>0,水扶今a一伙0,因此要证明a>8,只要证明a—b>0

即可，这种方法称为作差比较法.

（2）作商比较法：

由a>6>0of>l且a>0,b>0,因此当a〉0,6>0时要证明a>6,只要证明q>1即可，这

bb

种方法称为作商比较法.

5.综合法证明不等式

从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命

题成立，即“由因导果”的方法.这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法.

6.分析法证明不等式

证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件

,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理、性质、或已证明的定理

等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证

明方法.

7.反证法证明不等式

先假设要证的命题不成立

,以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到

和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正

确

,从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.

8.放缩法证明不等式

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小

,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.

三.方法总结

1.含绝对值不等式的求解策略

(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是:①由定义

分段讨论(简称零点分区间法)；②利用绝对值不等式的性质(题型法)；③平方法；④数形结

合法等.

(2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围

有关，就必须分类讨论.注意：①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分，

做到不重不漏.

(3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法.

(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|-b|W1a±b|W|a|+|b|,特别注

意等号成立的条件.

2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解,

利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断.

3.综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严

密的推理下推导出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析,

用综合法表述证明推理过程.

4.某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进

行变形，难以运用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系.分析的过程中，综合

条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法.

5.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“唯一”

或者含有其他否定词的命题，适宜用反证法.

6.放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间

结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式

放缩等.

四.高考命题类型及分析

1.绝对值不等式中的存在性问题

例1.1.已知函数f(x)=|x-m卜3,且f(x)20的解集为(-8,-2]U[4,+«»)

(1)求m的值；

(2)若WeR,使得f(x)2t+12-x|成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)m=l；⑵t<-2

【解析】试题分析：（1）根据不等式解集与对应方程根的关系列方程组，解得m的值；（2）先根据绝对值三

角不等式求M•11.卜•21最大值，再解不等式可得实数t的取值范围.

试题解析：（1）不等式卜-m-32°的解集为（-8，m-3]U[3+m.+-）

又•.♦«)=卜-01|-32。的解集为(-8,-2]U[4,+8)

.・.m+3=4,m-3=-2m=1

⑵:TxeR,使得f(x)2t+12-x|成立

.•户xWR,使得|x-l-32t+|2-x|.•户x£R,|x-l-|x-2|2t+3

/-1X<1

g(x)=|x-1|-|x-2|=)2x-31<x<2

令(1x>2

.♦户xWR,|x--|x-212t+3

At+3Sg(x)max=lAt<.2

a

g(x)=2x+-a>0

练习1.已知函数f(x)=|2x-3|+3,x.

（I）解不等式f（x）43x；

(H)记乂={丫仅=«)},N={y|y=g(x)),若MUN,求a的取值范围.

69

{x|x>-}0<a<-

【答案】(I)5;(II)8.

【解析】【试题分析】（I）利用含有一个绝对值的不等式的解法,可求得不等式的解集.（U）f（x）

的值域为⑶+8）.利用基本不等式可求得函数g（x）的值域为（-8,一2伍]U[2而,+8）.由于

9

I—0<aW—

MUN,所以2j2a，3,由此得到8.

【试题解析】

6

=x>-

(J)f(x)<3x=；2x-3|43x-3=3-3x<2x-3<3x-35

(JI)M=[3,+8),N=(-8,-2标]U[2标,+8)

9

=*2,2a<3=>0<a<-

8

2.绝对值不等式中的恒成立问题

例2.已知函数f(x)=|x+l|.

(1)解不等式2f(x)<4-卜-2|；

11

|x-3|-f(x)4—+—

(2)已知m+n=2(m>0,n>0),若不等式mn恒成立，求实数a的取值范围.

4

{x|——<x<0]

【答案】(1)3.(2)-3<a<l

【解析】试题分析：(D第(1)问，一般利用零点讨论法解双绝对值的不等式.(2)第(2)

11

问，一般先求左边的最大值忆+1]，再利用柯西不等式求mn的最小值2,再解不等式

|a+l|42.

试题解析：⑴2f(x)<4-|x-2|等价于2|x+l|+|x-2|<4

4

当X22时原不等式转化为2(x+l)+(x.2)<4,即x3,此时空集；

当-l<x<2时原不等式转化为2(x+l)-(x-2)<4,gpx<0,此时

44

X>—---<X<-1

当X4」时原不等式转化为-2(X+1)-(X-2)<4,即3,此时3.

4

{x|--<x<0}

综上可得，原不等式解集为3

(2)|x-a|-f(x)=|x-a|-|x+l|<|a+1|.

1111

+-)(m+n)>一(1+1)2=2

又01+门=2m>0m>0)由柯西不等式，得2mn2,

由题意知|a+l|42,解得-34a41.

练习1.已知f(x)=|2x+3a2].

⑴当a=0时，求不等式f(x)+|x-2|>3的解集;

(2)对于任意实数x,不等式Rx+l|-f(x)<2a成立，求实数a的取值范围.

11

(-8,-TU[1,+8)(-1)

【答案】(1)3；(2)3.

【解析】试题分析：

1

(1)当a=寸，不等式即12x1+lx-2|23,零点分段可得不等式的解集为一8‘一3'*"一

(2)原问题即|2x+”.|2x+”2|<2a恒成立，由绝对值三角不等式可得

|2x+11.|2x+3a21sl2x+1-2x•3"|=13@2.11,原问题转化为11<2a,求解不等式可得实数a的取值

1

(-AI

范围是3.

试题解析：

(1)当a=0时，f(x)+|x・2|=|2x|+|x-2|23,

[x<0f0<x<2(x>2

|-2x+2-xN3得3.(2x+2-x>3^1<x<2.|2x+x-223得x>2,

1

(_8,・_]U[1,+8)

所以除)+惶-2|22的解集为3

(2)对于任意实数x,不等式|2*+1|-«)<22成立，即|2x+l|-|2x+3a?|<2a恒成立，

又因为|2x+1|-|2x+3a。V|2x+l-2x-3a"|=|3a-1|(

要使原不等式恒成立，则只需13a2-l|<2a,

下14

0<a<—2—<aV—

当a<°时，无解；当3时，l-3a<2a,解得33.

3>---2---<3<1

当3时，3a-1<2a,解得3

1

(-1)

所以实数a的取值范围是3.

练习2.设f(x)=|2x-l|+|x+l|.

(I)解不等式耳x)43；

(II)若不等式m|x|4f(x)恒成立，求m的取值范围.

【答案】⑴{MT4X41}.⑵m«3.

【解析】试题分析：(1)根据零点分区间的方法,去掉绝对值,分段解不等式式2)当”。时，可知对于Vm€R

烟

m£—

不等式均成立，当X#。时，等价于冈恒成立，应用绝对值三角不等式求得右侧函数最值即可.

解析：

(1)当X<-1时，f(x)=-(2X-1)-(x+1)=-3x1,故此情况无解；

11

-1<X<--l<x<-

当2^-,f(x)=-(2x-1)+(x+1)=-x+2<>-1,故2.

11

X>--<x<l

当2时，f(x)=(2x-l)+(x+l)=3x43解得X41,故2

综上所述，满足f(x)43的解集为{x|-14x41}.

(2)当x=°时，可知对于VmeR,不等式均成立;

f(x)f(x)

m<—m<—

当X*。时，由已知可得冈恒成立，冈的最小值

f(x)2x-l|+|x+1：11111

=2--+12(2--)+(1+-)=3X>—

1|X|xXXX当X4-1或2时，等号成立.

•••m<3

综上所述，使得不等式恒成立的m的取值范围为m43.

练习3.已知函数小)=|3X+2|.

(1)解不等式f(x)<4-|x-l|；

111

|x-a|--f(x)<—+-(a>0)

(2)已知m+n=l(m,n>°),若3mn恒成立，求实数a的取值范围.

5110

(--(0,-]

【答案】(1)42；(2)3

【解析】试题分析：(1〉先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先

111

—g(x)=|x-a|-f(x)

根据基本不等式求mn最小值，再利用绝对值三角不等式求3最大值，最后解不等式得实额

a的取值范围.

试题解析：⑴不等式f(x)<4-|x-l|可化为：|3x+2|+|x-l|<40

252

X<---<x<一—

当3时，①式为-3x-2-x+l<4,解得43.

221

—<x<1—<x<—

当3时，①式为3x+2-x+l<4,解得32.

当x>l时，①式为3X+2+X-1<4,无解.

51

综上所述，不等式《)<4-|x-l|的解集为(4'2).

1111nm

-+-=(—+-)(m+n)=2+—+—>4

⑵解：mnmnmn

22

+T=a+

g(x(X■一(X3-

令3

2210

g(X)max=a+-g(x)ma=-+a<40<a<—

3,要使不等式恒成立,只需3，即3

实数a取值范围是‘3.

【方法总结］含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利

用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值

不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方

法的灵活应用，这是命题的新动向.

练习4.［选修4-5：不等式选讲］

设函数f(x)=|x-a|+2x,其中a>0.

(1)当a=2时，求不等式f(x)22x+l的解集；

(2)若xW(-2,+8)时，恒有f(x)>0,求a的取值范围.

【答案】（1）（-jI]U[3,+8）（2）a>2

【解析】试题分析：（1）当a=2时，|x-2|+2x>2x+l,化为|x-2|21,可得x23或x41,从

他）-户x-a,xza

而可得不等式f（x）22x+l的解集；（2）化简1x+a,x<a,因为a>0,.・.x2a时，

3x-a22a>0恒成立，又x<a时，当x>-2时，x+a>-2+a,.•.只需-2+aNO即可，所以a22.

试题解析：（1）当2=2时-，jx-2|+2x>2x+l,

所以|X-2|21,所以X23或X41,

解集为（-8,l]U[3,+8）

f（x）-13x-a,x2a

（2）[x+a,x<a,因为a>0,,xNa时，3x-a22a>0恒成立，

又x<a时，当x>-2时，x+a>-2+a,只需-2+a20即可，

所以a2Z

练习5.选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=Ix-a|+|x-l|.

（1）当a=2时，求不等式f（x）<4的解集;

2

（2）若f（x）Na-2a-l,求a的取值范围.

17

{x|——<x<-}

【答案】⑴22⑵卜1，3]

【解析】试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；

2

⑵若f（x）2a2-2a-l,只需f（x）min=la-l|2a-2a-l即可，将|a-1|看作整体解不等式即

可.

试题解析：

(1)当a=2时，不等式f(x)<4,即|x-2|+|x-l|<4

(x>2jl<x<2|x<1

可得|x-2+x-l<4,或|2-x+x-l<4,或|2-x+l-x<4.

17

--<x<-

解得22.

17

{x|--<x<-}

所以不等式的解集为22.

(2)因为|x•引♦.

当且仅当1X•项x•1)M0时，，冈取得最小值13・11.

又因为对任意的“仅)"2.2a•1恒成立，所以忖,11之1•2r1,

即(a-1尸-|a-1|•2§0,故|3-1|《2,解得-ismS3.

所以③的取值范围为卜IS.

3.均值不等式中的范围问题

例3.(1)解不等式卜+2|+|x+3|42；

222

(2)已知实数X,y,Z满足X+y+Z=1,求xy+yz+zx的取值范围.

LZ2]上]

【答案】(DI22J&)[2]

【解析】试题分析：(1)分段讨论去绝对值解不等式即可；

(2)由x2+y222xy,y2+z2>2yz,z2+x2>2zx,三式相加得：x2+y2+z2>xy+yz+zx,因为

222.

x+y+z1

2xy+yz+zx>----------=--

(x+y+z)20,所以22,即可得解.

试题解析：

(1)由M+2|+|X+3|42

(x<-3|-3<x<-2(x>-2

可化为1-2X-5&2或11<2或|2x+542,

73

--<x-

解得2--2,

73-

所以，不等式的解集为I2,2.

2222

(2)因为x2+y?22xy,y+z>2yztz+x>2zx,

222

三式相加得：x+y+Z>xy+yz+zx,

*

x=y=z=±—

即乂丫+丫2+2*41,(当且仅当3时，取J”)

又因为(x+y+z)&o

222

x+y+zd1(x+y+z=0

xy+yz+zx>----------=--{222

所以22,(当且仅当|x+y+z=1时，取j”,有无数组解)

1

-一,1

故xy+yz+zx的取值范围为L2

练习1.已知函数f(x)=x|x-l|,XGR

(1)求不等式《)<6的解集.

(2)记f(x)在【0向上最大值为g(a)<2,若g(a)<2,求正实数a的取值范围.

【答案】(1)-J)；(2)(0,2)

【解析】试题分析：(1)第一问，先对x分类讨论，得到一个分段函数，再解不等式.(2)

第二问，分类讨论得到两个解集，再求它们的并集，从而得到正实数a的取值范围.

试题解析：

f(x)--1)，为21

(1)由题意知，-[x(l-x),x<l,

①当X21时，令f(x)<6,解得14x<3.

②当x<l时，令的<6,解得x<l.

综上所述xC(-8,3).

(2)①当X21时，令的<2,解得14x<2.

②当04x<l时，令f(x)<2,解得O4X<1.

故x€[0,2)时，f(x)<2,故正实数a的取值范围为(0,2).

【方法总结]本题的难点，在于思维的逻辑和灵活性，如果直接研究小)在【°冏上最大值为

g(a)<2,就要对a分类讨论，比较复杂.本题先令《)<2,再求它们的并集就简单多了.所

以我们在平时的学习中，要多思考，多总结，提高解题的灵活性.

练习2.已知函数f(x)=m-|x-l|,mGR

(1)当m=-l时，求不等式f(x)2-3的解集；

(2)若3+2)+f(x-2)>。的解集为[-2,4],求m的值.

【答案】⑴xe[-l,3]；⑵[2,4]

【解析】试题分析：⑴当时，f(x)=-l-|x-l>3,.-.Ix-llsa,-2SX-1S2.从而可得结果；(2)

由x=4及x=-2时，求出参数m=3,再验证不等式*x+2)+f(x•2)2°的解集为[-2用即可.

试题解析：⑴•.♦便=-1小-12-3,;.国-1|42,.•.xe[-l,3].

。的解集为[-

⑵vm-|x+l|+m-|x-3|>2,4],

2x-2zx>3

|x+1|+|x-3|=4,-1<x<3

，|x+l+1x-3|<2m,而(2-2x,x<-l,

...当x=4时，8-2=2m,m=3,x=-2时，2+4=2m，m=3,经检验f(x+2)+f(x-2)20的解集为

12川.

4.绝对值不等式的证明问题

例4.已知函数f(x)=|x+2|+|2x+a|,aeR

(1)当a=l,解不等式f(x)*2；

1

f(x)>|a-2|-|a|

(2)求证：2.

、1

{x|x4-1或X2-}

【答案】(1)3.(2)见解析.

【解析】试题分析：

(1)当a=l,不等式即f(x)=|x+2|+|2x+l|N2,零点分段可得不等式的解集为

1

{x|xs-1或X>--}

3

aaaa

f(x)=|x+2|+|x+-|+|x+-|>|2--|+|x+-|

(2)由题意结合绝对值不等式的性质可得：2222

all

2|2--|=|(a-2)--a|>|a-2|--|a|

222

试题解析:

(1)当a=l,f(x)=|x+2|+|2x+1|>2

11

-2<x<--x>--

(x<-222

(-3x-3?2或-x+1>2或+3>2

1

X>--

0x4-2或-2<x<-1或3

1

x>--

0x4-1或3,

{x|x<-1或x>--]

所以不等式的解集为3.

aaaaaa

=lx+21+|x+-|+lx+-I2|2--|+|x+-|>|2--|=|--2|

(2)f(x)=|x+2+2x+a|222222

111

=|(a-2)--a|>|a-2|-|-a|=|a-2|--|a|

222

练习1.选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)=|x+1-冈的最大值为m.

(1)求m的值；

a2.b2

(2)若正实数a,b满足a+b=m,求b+1a+1的最小直

1

【答案】(D必=1(2)3

【解析】试题分析：(1)零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得

到函数最值；(2)将要求的式子两边乘以(6+1)+(a+1),再利用均值不等式求解即可.

解析：

'-1.;t^一L

<2i+l,-

(I)人乃=|%+1|一国=11・

由人力的单调性可知，当X>1时，应x)有最大值1.

所以冽=1.

(H)由(I)可知，a+b=lf

J_______________&

6Ti+sVi=~3(m+a+i)[(ft+1)+3+1)]

2J(a+D/什D

=~3[=+枕+什14-a+1]

1]UD/(师

枕+2、/什IHI)

=~3(a+5y

1

=~3.

1

当且仅当a=b=9.时取等号.

J61

即行i+71的最小值为不

练习2.已知函数欢)=Rx-l+|2x+1|.

(1)求函数小)的最小值m；

1112

-+-=4+

(2)若正实数a，g茜足ab,求证：ab.

【答案】(1)2；(2)见解析.

【解析】试题分析：(1)由绝对值三角不等式即可得最值；

⑵由la2b2/1211abi即可证得.

试题解析:

11

--<x4—

(1)由-1|+&+112|(2*-1)-(2*+1)|=2当且仅当2--2时，等式成立.

住+4.(1+)2，+号2£+A>2

222

(2)'ab/'2/[abj则a?b,当且仅当b=2a时取，等号成立.

练习3.已知函数〃力=卜+1|+归—2]的最小值为a

(D求实数〃的值；

⑵若x,y,zeR+，且—I----1---=a,求证：x+3y+5z>3.

x3y5z

【答案】(Da=3(2)见解析

【解析】试题分析：(1)利用绝对值的三角不等式，即可求解函数的最小值，从而得到实数4

的值；

(2)由(1)知」+'-+2=3,且工,乂2€7?+,利用柯西不等式作出证明即可.

x3y5z

试题解析：

⑴因为k+l|+|x—2月(》+1)-(*-2)|=3,当且仅当(％+1)(%—2)40,

即一1WxK2时取等号,所以/(x)的最小值为3,于是a=3

(2)由(1)知工+」-+」=3,且%乂2€7?+,由柯西不等式得

x3y5z

*+3y+5z)

x+3y+5z=—+—+—

3y5z,

回去

练习4.已知。>0,b>0,且4+〃2=2.

⑴若*+\印》一1卜,—“恒成立，求X的取值范围;

(2)证明：^+0^+/?5)-4-

99

【答案】(1){x|--<x<-}；(2)见解析.

22

【解析】试题分析：(1)由

可得：耳2%-1卜区-1|，对x分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结

果：（2）由柯西不等式，可得

(5\12(5\2|2

a2+b2\>^a2+b2^=4.

\7\7

X,X>1

试题解析：（1）设）=疝-1卜|工-1|={3%-2,；4%<1,

由°2+户=2>得gg2+b，)=i.

所以：之疝―1Hx—i|.

99

当工之1时，x<-,得

22

19131

当一<xvl时，3%-2<—,解得—，故一<x<l；

2262

1QQQ1

当X<一时，—X<一,解得X—>故—<x<一;

22222

99

综上，—-.

22

+/+眩+《

ab

=(a2+h2)2+-+--2«V

ab

>(a2+b2y+2,——-2a2/?2=(a2+Z?2)­=4.

另解：

由柯西不等式，可得

(11、、「(]Y(15\2(5\212

I—+-|(«5+Z>5)=—j=+—j=a2+b2>(a2+b2)=4

练习4.已知函数/(x)=|2x—l|+|x+l|

(1)解不等式〃x)W3；

a

⑵记函数g(x)=〃x)+k+l|的值域为M,若rwM,证明:t2+\>-+3t.

【答案】(1){x|-l<x<l}(2)见解析

【解析】试题分析：(1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可;

(2)求出M,根据m的范围以及不等式的性质证明结论即可.

试题解析：

-3x,x-1,

(1)依题意，得/(x)={2—x,l<x<；,

3x,x>—,

2

i,/\XW—1,e,-1<X<—，一,

于是得/(x)<3={_或{2或{2

-3x'3,2-X<3,3X<3,

解得一IWXWI,

即不等式/(x)«3的解集为{x|-

(2)g(x)=/(x)+|x4-l|=|2x—1|+|2J;+2|>|2X-1—2X—2|-3，

当且仅当(2x—D(2x+2)W0时，取等号，

M=[3,+oo),

原不等式等价于*一3r+1一3，

t

t3-3t2+/-3_(，一3乂产+1)

—9

t£Mlft—320,厂+1>0,

.(f(入1)〉0

t

3

・•・产0+12—+3九

t

5.均值不等式的灵活运用

例5.已知函数f“)=2|x-aHx+2].

(1)当日二%寸，求不等式可刈2°的解集；

11

—+—=-t

(2)当a=2时，函数%)的最小值为t,m4n(m>0,n>0),求m+n的最小值.

9

【答案】⑴(-8,0]U[4,+8)⑵16

【解析】试题分析：(D当a=l时，不等式降价于2|x-l]Z|x+2|,两边平方即可求得解集；(2)对,分

类讨论，去掉绝对值符号得函数附)的解析式，可得函数f冈的最小值为3再结合基本不等式即可求出m+n的

最小值一

试题解析：⑴当a=l时，不等式为2|X-1|-|X+2|20O2|X-1|2|X+2|

两边平方得蚀-D22(x+2产，解得x24或x40

f(x)>。的解集为(-8,0]U[4,+8)

/6-x,x<-2,

f(x)=2|x-2|-|x+2|=2-3x,-2<x<2

⑵当a=2时，(x-6,x>2,可得t=-4,

11

—+——4

/.m4n(m>0zn>0)

1/I1\1/5nm\1/5\933

m+n=-(m+n)—+一=-(-+—+一>-|-+1=—n=—m=-

.・.4\m4n/4\4m4n/4\4/16,当且仅当m=2n,即16,8时

取等号.

练习1.已知〃>0,/?>(),c>0,函数,f(九)=c+|。一元|+,+公

(1)当。=6=。=1时，求不等式〃x)>3的解集;

(2)当/(X)的最小值为3时，求Q+8+C的值，并求'的最小值.

abc

【答案】(1){%|xvT或%>1}(2)3

【解析】试题分析：(1)当a=b=c=l时，不等式〃x)>3即|x+l|+|x-1|+1>3,化为：

|x+l|+|x-l|>2.对x与±1的大小关系分类讨论即可得出.

(2)f^=c+\a—^+\x+t^>\a-x+x+l^+c=\a+l^+c=a+b+c=3.可得

J_+J_+l.=J.(a+/7+c)[l.+J_+J_],再利用均值不等式的性质即可得出.

abc3vbc)

试题解析：

(1)/(X)=|x-l|+|x4-l|4-l

x<-\—-1<X<1—x>1

/.｛或｛或｛,

l-2x>33>32x+l>3

解得｛x|xV—1或X>1｝.

(2)f=c+\a-j^+\x+k\>\a-x+x-\-k\+c=\a+k\+c=a+h-\-c=?)

Ill17./I1111(ba\(ca\(ch\

-+-+-=-(«+/?+(?)—+-+-=-3+—+—+—+—+-+-,

abc3\ahc)3|_b)\acyyhc)

>-(3+2+2+2)=3.

当且仅当a=b=c=l时取得最小值3.

练习2.已知x,y,z均为实数.

(1)求证：1+2/22/+X2；

⑵若x+2y+3z=6,求k+y?+z?的最小值.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】【试题分析】(1)利用分组分解法将原不等式变形为

(x-l)2(2x2+2A：+l)i(x-l)22(x+g)+：20从而得证.(2)因为

6=x+2y+3z<yjx2+y2+z2-Vl+4+9,所以f+/+z?>y.

【试题解析】

证明：(1)法一：(1+2广)一(2丁+丁)

=2X3(X-1)-(X+1)(X-1)

=(X-1)(2J?—x—1)

=(x—l)^2x3-2x+x-l^

=(x-1)-(2*2+2x+1)

=(1)

所以1+2八2》3+%2.

法二：(1+2X4)-(2X3+X2)

=（X-1）2-X2+（X2-1）2>0,

所以1+2%4»2密+炉.

（2）证明：因为6=x+2y+3zK，？X7”.石币（由柯西不等式得）

所以，+/+/之史，

7

当且仅当％=5即x===2时，V+J+za有最小值曳.

237777

练习3.已知正实数a，b£函数f(x)=|x+a|」x+b|.

⑴若a=l，b=3,解关于x的不等式f(x)+x+1<0；

(2)求证：f(l)f(c"16abc.

【答案】（1）（-4,-2）；（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）可利用绝对值的性质冈<aQ-a<x<a去掉绝对值符号，然后解不等式组;

(2)利用基本不等式有a+1223>0,b+122^>0,a+c22\£>0,b+c22qk>0,相乘可

证.

试题解析：

(1)原不等式等价于。+l)(x+3)|<-x-l

<=>x+1<(x+l)(x+3)<-x-1

X2+5X+4<0-4<X<-1

E2o{/q\

x+3x+2>0、(-2或)()-1

=xW(-4,・2)

(2)•〃，b,c为正数，所以有

a+1>26>0

b+l>2Jb>0

a+c>2^'ac>0

b+c>2^bc>0,二f(l)f(c)=(a+l)(b+l)(a+c)(b+c)>-2^b-2Jac,2版=16abc

【方法总结】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用

绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不

等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法

的灵活应用，这是命题的新动向.

6.任意存在问题综合

例6.已知函数加)=|2x-l|+|x+l|,g(x)=|x-a|+|x+a|

(1)解不等式f(x”9；

(2)若"I'，3x2eR,使g"i)=f(X2),求实数a的取值范围.

/31

I---U一,+8

【答案】(1)卜3,3］；(2)\44、

【解析】试题分析：(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不

等式组的解集，再取并集，即得所求；(2)"XI'R,3X2£R,使等价于函数g(x)的

值域是函数的值域的子集，根据绝对值不等式的性质等价于fumin'g(X)min,解不等式即

可求出实数a的取值范围.

试题解析：(1)・・•函数f(x)=|2x-l|+|x+l|,且f(x)49

11

-1<x<-x>-

(x<-12,2

/J-2x+l-x-l<9,ng(-2x+l+x+l<9,或匕x-1+x+1<9

-3<x<3

不等式f（x）49的解集为[-3,3]

Q）由⑴知"心.；•

•,g(x)-|x-a|+|x+a|

.,.8(x)2|(x-a)-(x+a)|-2|a|

、，解得31

f/x\§Ox21al2t;aE(-8,--U+8

由题意知")师卜明2\4

的取值范围为

【方法总结工含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利

用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值

不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方

法的灵活应用，这是命题的新动向.

7.不等式证明综合

例7.已知x,y,z均为实数.

（1）求证:1+2X4>2X3+X2；

(2)若x