2022届高考数学考前保分题

2022年高考数学考前保分题

1.如图，在四棱锥P-ABCQ中，底面A8CQ,底面A8C。为正方形，PD=DC.

(1)求直线PB与平面B4C所成角的正弦值；

(2)求二面角A-PC-B的余弦值.

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式可得尸2与平面B4C所成角的

正弦值；

(2)利用向量的夹角公式，二面角A-PC-B的余弦值.

【解答】解：(1)由条件可知。A,DC,DP两两垂直，以。为坐标原点，建立如图所

示的空间直角坐标系，

设DC=l,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

所以丽=(1,1,-1),PA=(1,0,-1),PC=(0,1,-1),

设平面的一个法向量为n=(x,y,z),

(n-PA=0(x-z=0

3.而=o'iy_=(r

令z=l,则x=l,y=l,

所以平面的一个法向量为£=(1,1,1),

TT11

•♦COSV^"PBfTl=>—i—云=K，

V3xV33

直线PB与平面PAC所成角的正弦值为右

(2)PB=(I,1,-1),PC=CO,1,-1),

设平面PCB的一个法向量为蓝=(.a,b,c),

所以令b=l,则c=l,a=0,

3—c=0

平面PCB的一个法向量为zn=(0,1,1),

2_76

所以cos<n，m>~存后=与'

【点评】本题考查线面角、面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于

中档题.

2.如图，直角梯形ABC。，ABVBC,过。作。E_LAB交AB于E点，将三角形AOE沿OE

折起到4QE的位置，使AiELBE.BE=a,BC=2,AE=2.

（1）当a=l且。为8c的中点时，求直线4。与平面AiOE所成角的余弦值;

（2）若8c边上存在点。，使4Q，。。，求实数〃的取值范围.

【分析】由题意证明AiE。，平面BCDE.

（1）当”=1且。为BC的中点时，过。作QGLOE,垂足为G,连接4G,则NQ4G

即为直线MQ与平面A\DE所成角，求解三角形可得直线A\Q与平面A\DE所成角的余

弦值；

（2）由（1）知A1EL平面2COE,则QE为4Q在底面8CQE上的射影，若8c边上存

在点Q,使4。，。。，则。E_L£）Q,即以OE为直径的圆与线段8c有交点，由此可得

满足条件的实数a的取值范围.

【解答】解：如图，

'JDEYAB,：.DE±A\E,

又4E_LBE,且BEnOE=E,；.A1E_L平面BCDE,

而AiEu平面平面4EO_L平面BCDE.

(1)当a=l且。为BC的中点时，过。作QGLDE,垂足为G,

由平面与平面垂直的性质，可得QG_L平面4ED,

连接4G,则/Q4G即为直线4。与平面4OE所成角，

22

VQG=1,EG=1,AiE=2,：.AIG=V5,AXQ=J(V5)+l=V6,

••8$"毋=砸=花=丁’

即直线AiQ与平面4£>E所成角的余弦值为厚；

(2)由(1)知4EJ•平面BCDE,为4Q在底面BCDE上的射影，

若BC边上存在点Q,使A1QLDQ,则QELOQ,

即以OE为直径的圆与线段BC有交点，

当。=1时，以。E为直径的圆与BC相切于8c的中点Q,

则当0<a<l时，线段8c上存在两点Q,使得QE_L。。，

当”>1时，线段BC上不存在点。，使得QELOQ.

综上，若2C边上存在点。，使AiQ，。。，则实数”的取值范围是(0,1|.

【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查三垂线定理的应用，考查空间想象能

力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

3.如图，在四棱锥P-ABC。中，平面以B_L底面ABC。，AD//BC,BC1CD,ZABC^

60°,BC=2AD,△以B是正三角形，E是PC的中点.

(1)求证：OE〃平面PAB-,

(2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.

p

【分析】（1）取BP中点F,连接AF,EF,证明ED〃4F即可得证;

（2）取AB的中点G,利用等体积可求得点8到平面PCC的距离，进而可得所求线面

角的正弦值.

II1

【解答】解：（1）证明：取8尸中点凡连接AF,EF,则EF=*BC,

II1

又由A£>〃8c和BC=2A£),得AD=.BC,

：.AD=EF,

四边形ADEF为平行四边形，

：.ED//AF,

又平面AFu平面以8,

，£)E〃平面PAB；

(2)取A2的中点G,连接PG,CG,DG,

由△抬8是正三角形，得PG_LA8,

由平面布B_L平面ABCC,平面HBC平面A8CD=A8,

，PG_L平面ABC。，

在直角梯形ABC。中/ABC=60°,令A£>=1,则BC=2,由平面几何知识可得，

CD=遮,CG=>/3,AB=PA=PB=2,PG=6,DG=遮，

：.PC=PD=屈,BE=J22_(%2=孚，

设点B到平面PCD的距离为d,cos乙CPD=='，则siMCPD=11-(J123=g,

2xV6xV647'4，4

.01/7/7/73/7

,,S>pcD=2xxv6x—4,

11/-r-13\/7

由Vp-BCD=VB-PCD得一X-X2XV3XV3=-X--d,

3234

4

d7/74-770

，直线BE与平面PCD所成角的正弦值为靛=焉=—.

~2~

【点评】本题考查线面平行的判定以及线面角正弦值的计算，考查等体积法的运用，考

查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.

4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(l,

-2).

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线/：y=-x+巾与抛物线C交于4,8两点，在抛物线C上是否存在点Q,

使得直线QA,Q8分别于y轴交于M,N两点，且|QM=QN，若存在，求点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由题意利用待定系数法，求得抛物线的方程.

(2)由题意利用韦达定理，根据KQM+KQN—O,求得点。的坐标，可得结论.

【解答】解：(1)..•平面直角坐标系X。)，中，抛物线C的顶点是原点，

以x轴为对称轴，且经过点P(1,-2),

故可设抛物线的方程为夕=2〃小

把点尸的坐标代入，可得4=2〃，求得p=2,

故抛物线的方程为V=4x.

⑵如图：由/二轨，，可得y2+4y_4,”=o,

(y=—x+mJ

VA=16+16/w>0,*.tn>-\,且w=-4〃z,yi+y2=-4.

设抛物线C上存在点Q(刘，川)，使得直线QA,分别于y轴交于M,N两点,

且|QM=IQM，

则y（）2=4xo,KQM+KQN=Q.

为一如+、2-久=4+4=4（）巾2）+8%

KQM+KQN—KQA+KQB=/+/=0,

巧一而犯一久o-y2+y0-Oi+y0）（323o）

.5=呼=2.

【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和抛物线的位置关系的应用，属于中

档题.

5.已知抛物线G；y2=4x,圆C2：(x-3)2+y2=4,尸是抛物线的焦点，过点尸的直

线与抛物线。交于A、B两点、,与圆C2交于点。，点O是线段4B的中点.

(I)求抛物线的准线方程；

(II)求△OAB的面积.

【分析】(I)由抛物线的标准方程结合准线方程的定义，求解即可；

(II)设直线/的方程，与抛物线方程联立，得到伟大定理，由中点坐标公式求出。的

坐标，代入圆的方程求出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式以及点到直

线的距离公式，由三角形的面积求解即可.

【解答】解：(I)因为抛物线Q：y2=4%,

所以抛物线的准线方程为x=-1；

(II)设直线I的方程为x=my+\,

联立直线与抛物线的方程，即『2黑；+1，可得尸-4加)-4=0,

设A(xi,yi),B(x2,y2),

所以yi+y2=4"z,

故+%2=+丫2)+2=47n2+2,

所以D(2相2+1,2M,

将。点坐标带入圆方程可得（ZH2-1）W=l,解得〃?=±1,

根据抛物线的对称性，不妨设，"=1,

联立方程组「2=1，可得/-6X+1=0,

ky=4%

则Xl+X2=6,

所以H3|=W+%2+2=8,

又点O到直线AB的距离为d°TB=/，

故SA04B=±|AB|-d=2V^

【点评】本题考查了抛物线的标准方程的应用，准线方程的理解与应用，直线与抛物线

位置关系的应用，中点坐标公式以及弦长公式的运用，点到直线的距离公式的运用，考

查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

%2y2

6.已知椭圆C：而■+记=l（a>b>0）过点（2,-1）,离心率为三，抛物线尸=-i6x

的准线/交x轴于点A,过点A作直线交椭圆C于M,N.

（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；

（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；

（3）设P,。是直线/上关于x轴对称的两点，问：直线于QN的交点是否在一条

定直线上？请说明你的理由.

【分析】（1）利用点在椭圆以及离心率公式，列出方程求出。，人的值，得到椭圆的标准

方程，求出椭圆的准线方程，即可得到点A的坐标；

（2）N（jro,和），由中点坐标公式求出点M的坐标，分别代入椭圆方程，求出N,M的

坐标，即可得到直线MN的方程；

（3）设点尸，。的坐标，设直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，表示出

直线PM,QN的方程，求出直线交点的横坐标，结合韦达定理化简，即可得到答案.

x2y2.V3

【解答】解：（1）因为椭圆C：/+瓦=l（a>b>0）过点（2,-1）,离心率为；

则有二+—=1/e=-="—，且a2=b2+c2,

a2b2a2

解得$=8,b2=2,

x2y2

故椭圆C的方程为二~+一=1,