2022届高考数学高考热身训练及最后一讲（教师版讲稿）

2022届数学高考热身训练及最后一讲（绝密）

（教师版讲稿）2022-6-4

一'填空题主要考点：

1.集合（简易逻辑），2.复数，3.概率，4.统计，5.算法、流程图，6.双

曲线与抛物线，7.立体几何，8三角图像性质9.线性规划，10.不等式，11.向

量，12.直线和圆，13.函数导数，14.数列。填空题的能力题体现在考试说

明中的。级（8个）以及3级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三

角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线

性规划'基本不等式或函数），数列综合，函数综合等.

二、解答题主要考点：

15.三角与向量，16.立体几何，17.应用题，18.解析几何，19.函数,

20.数列

一、填空题：本题共14小题,每小题5分，计70分.不需写解答,请把答案写

在答题纸指定位置上.

1（集合或简易逻辑）

1.全集。={123,4,5},集合A={1,3,4},8={3,5},则或缶门8）=▲.{1,2,4,5}

【评析】（1）审题：“交”、“并”“补”要注意区别；（2）集合的理解及规范表

示，集合思想，集合与充要条件；

1-1.已知集合人={1,。-1},8=12,31,且Ac8制21，则实数a的值为▲.3.

1-2.A={x［（x—1）2<3X+7},贝“ADZ的元素个数为6,变：AnMAnM

2

1-3函数/（尤）=x+办为奇函数充要条件是°=

a+i）（x-i）2-------------

2（复数）

2.已知算数z满足（l+i）z=-l+5i,（i是虚数单位），则其共辄复数三=

▲.2-3z

【评析】(1)复数的相关概念(B级要求)，如：实部、虚部等，(2)复数乘

除法运算，模的运算性质，共根复数概念及简单性质。

2-1.若复数z满足z?+4=0,则z=▲.±2i

2-3.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位)，则z的模为,

z的实部是一1,在复平面内，复数对应的点的坐标为▲.

考查复数运算、模的性质见考前提醒。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等，

z的模为2。

3(概率)

3.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，

则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是▲•工

-------------------6

3-1若以连续掷两次骰子分别得到的点数机、〃作为点P的横、纵坐标，则点

产在直线x+y=5下方的概率为.【说明】点P在直线x+y=5下

方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故其概率

6_

6x66,

3-2在长为12cm的线段相上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段

ACCB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为.

【说明】设线段AC的长为xcm,则线段C3的长为(12-x)cm,那么矩形的面

积为x(12-x)cm?,由x(i2—x)<32,解得x<4或r>8.又0<x<12,所以该矩形面积

小于32cm2的概率为2.

3

3-3在AA8C中，设瑟=(2-仁3)元=(2,4)且|画《4,壮2,则AA8C为直角三角

形的概率为..•.AWC为Rt△的％的值为T,-2,3,而基本事件数为

7,：.p=~.频率

4(统计)

1015202530日期

（第4题图）

4.某鲜花店对一个月的鲜花销售数量（单位：支）进行统计，统计时间是4月1

日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布

直方图.已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1,且第二组

的频数为180,那么该月共销售出的鲜花数（单位：支）为▲.答案：

1200.

4-1将参加夏令营的500名学生编号为001,002,…，500,采用系统抽样的方

法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003,这500甲乙

9895

名学生分住在三个营区，编号从001到200在第一营区，从201

到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区”

nJJ1

被抽中的人数为.

4-2甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图

表示如图所示，则甲、乙两名同学成绩较稳定(方差较小)的

是.【答】乙.

—1—1

【说明】x甲=£98+99+105+115+118)=107,xc=§(95+106+108+

112+114)=107.

s多=|[(98-107)2+(99-107)2+(105-107)2+(115-107)2+(118-107)2]=

66.8,

si=1[(95-107)2+(106-107)2+(108-

-------------开始

107)2+(112—107)2+(114—107)2]=44.即”

乙较稳定.'-4I\yA4-RI

Whilei<5

|B-A-B|

5（流程图）a<-a-k-b

b<—a+2b|A一A-8|

5.如图程序运行的结果是—▲

输出A,B.

EndWhile

结束

PrinthI

（第5题图）

（第5题）

5-1如图是一个算法流程图.若输入A=3,B=5,则输出A,B的值分别为

▲.

6.顶点在原点且以双曲线三-旷2=1的右准线为准线的抛物线方程是▲.

【评析】圆锥曲线基本量及几何意义；注意两种有心圆锥曲线的标准方程及标

准方程的统一形式；抛物线的标准方程。如：天津高考题：抛物线y=ad的

准线方程为无=L，则实数a的值为▲；

4

【说明】注意漏解和增解，提醒学生认真审题。长轴(实轴)长为2a,而不

是。等都是易错点，准线和渐近线的区别。

渐近线、准线错题

7(立体几何)7.给出下列命题：

(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；

(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平

面；

(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平

面；

(4)若两个平面垂直，那么垂直于它们交线的直线一定垂直于其中一个平面.

则其中所有真命题的序号是▲.

7-1.底面边长为2,侧棱与底面成60。的正四棱锥的侧面积为▲.4叔

7-2设a,b为不重合的两条直线，a4为不重合的两个平面，给出下列命题：

(1)若aua,。a,a,6是异面直线，那么。〃a;(2)若a〃a且/?〃a,则a〃6；

(3)若共面，那么a//b;(4)若a_La,b\\13,且a||A,则a〃夕.

正确命题的序号

7-3如图，三棱柱ABC-ABC的所有棱长均等于1，且

幺43=幺AC=6(),则该三棱柱的体积是▲.

变：1、该三棱柱的全面积是.

2、若A，A,8,C是球面上四点，则球的表面积(第11题)

为_________

8(三角)

8.已知/(x)=3sin(2x-E),若存在ce(O,二)，使/(x+a)=-/(a-x)对一切实数％怛成

62

立，贝卜=▲,工

2

变式：f(x+a)--f(x-a)>/(x+a)=/(a-x)呢？周期、轴对称，(?€(0,乃)呢？

PM-PN=O,贝！］。=4.

8-3计算卡tanlCT+4夜cos80。的值等于

【角星析】V6tan10°+472cos80°=^2(^tanl00+4sinl0°)=^^sinlO+2sin20

vOo1U

V§sinl00+2sin(30°—10°)

)=也

=Rcos10°

8-4.将函数/(尤)=2sin[2x+q的图像向右平移仪e>0)个单位，再将图像上每一

点横坐标缩短到原来的;倍,所得图像关于直线对称,则。的最小值

为▲.

8-5已知△ABC中，3（CA+CB）AB=4AB2,则%5=______________.

id.rijD

8.（双曲线与抛物线）

8.在平面直角坐标系xOy中，已知点A为双曲线/-丁=4的左顶点，点B和

点C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△A3C的面积为

▲—.【答案】126

【评析】考查双曲线的方程及几何性质.双曲线与抛物线的标准方程与几何性

质虽然是A级要求，

但考查频率较高，复习时要梳理好知识点，要在解题中注重形与数的相互转化.

圆锥曲线基本量及几何意义；注意两种有心圆锥曲线的标准方程及标准方程的

统一形式；抛物线的标准方程。如：天津高考题：抛物线y=/的准线方程为

x=-,则实数a的值为▲；

4

注意漏解和增解，提醒学生认真审题。长轴（实轴）长为2a,而不是a等都

是易错点，准线和渐近线的区别。渐近线、准线错题

9.（函数性质）

9.已知定义在集合A上的函数f（x）=log2（x-l）+log2（2x+l）,其值域为（3,1],贝l」A=

▲•（1，f]

【评析】考查对数函数相关的定义域和值域.函数复习中要进一步加强概念的

理解，就定义域和值域问题的研究，既要关注由定义域确定值域，也要关注

由值域研究定义域.

9-1设a,AeR,若函数/（X）=F：2X+3,为偶函数，则他的值为

▲—•【答案】-6

【评析】考查函数的奇偶性，分段函数，三次函数等.复习中要能多角度认识

函数单调性、奇偶性，

特别注意借助函数图象加深对函数性质的理解.

9-2定义在R上的函数人X)满足咒X)+危+5)=16,当％£(—1,

则函数危)在［0,2014］上的零点个数是.604

【说明】由/(x)+/(x+5)=16,可知/(x—5)+/(%)=16,则/(x+5)-f(x-5)=0,所

以/W是以10为周期的周期函数.在一个周期(-1,9］上，函数/(x)=Y—2,在

xe(-1,4］区间内有3个零点，在xe(4,9］区间内无零点，故/(x)在一个周期上仅

有3个零点，由于区间(3,2013］中包含201个周期，又xe［0,3］时也存在一个零

点x=2,故/(x)在［0,2013］上的零点个数为3x201+1=6(M

9-3已知函数=,若/(/(-2))>//)，则k的取值范围

(x-1)2x>0

是•(log(9,4)

2

10(不等式)若x>0,v>0.则至耳的最小值为▲.近

10-1.(1)不等式(x-2)Jx-l20的解集是▲.［2,+oo)u{l}

(2)(Ixl-1)0-2)>0的解集为▲.(―1,1)U(2,+8)

(3)设偶函数/(x)在(0,+oo)上为增函数，且/(2)=1,则不等式*/(x)-1］<0的

解集为▲.

10-2已知函数/(%)=4+2%—1|,若tzVOV—1,且共4)=/(份，贝ij的

取值范围是.

【评析】(1)画示意图的意识、习惯(解答题也是如此)！

(2)不等式的解法——利用实数相关性质等价转化；或“以形助数”，尤其注

意一元二次不等式的求解

11(充要条件)

11.设实数a>l,b>\,贝是"Ina—ln6>a-6”成立的▲条件.【答

案】充要

(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必

要”中之一填空)

【评析】考查充要条件的概念及函数的单调性.转化的途径有二：一是变形为

通过斜率研究；一是变形为lna-a>lnb-b,通过构造函数/(x)=lnx-x单调性研

究.补讲充要条件证明方法。

12(平面向量)

12.在中，3=45°,M,N分别为边AC,AB的中点，且两.而=2国.通，

则爵+等的值为▲•【答案】2点

【评析】本题主要考查三角形和平面向量数量积等知识与运算，考查运用所学

知识分析问题与解决

问题的能力.

方法一：设丽=c,BC=a.丽•/=2西•福可化为

■^(a2—c2)=2(a.c—寺/),即+c。)=2a,c,

22

由3=45。可得,|(|fl|+|c|)=V2|al-|c|,

即占1=2夜，所以镖+普=2忘.

acBCBA

方法二：建立如图所示的平面直角坐标'.

A(^~c,^-c)9C(a,O),M

M吗c*,4c),N吟c,*c)._

BTC*

由丽7./=2标.丽，可得

3(c、2-<z2)=2(^c2-^-ac)=c2->/2ac,

化简得/+。2=2/四，即H=2也，所以第+普=20.

acBCBA

13(基本不等式)

13.已知实数％,y,Z满足x+y+z=O,x2+y2+z2=\,则z的最大值是▲.

思路一：(基本不等式)借助等量关系求变量，容易想到利用基本不等式，

这也是解决此类问题的常用方法.由，得仁丁•+/)由巨匕中

x2+y2+z2=\［\-z2=x2+y2V22

得V+y2z鱼身，所以1一隈片，解得故z的最大值是逅.

2233

思路二：(判别式法)从方程角度，该题是解的存在性问题，据此可得

y=-(x+z),x2+j2+z2=1Wx2+(x+z)2+z2-1=0,化简得2x?+2zr+2z?-1=0,因

为此方程有根，所以除4i-酩z-DNO,得z2“，故z的最大值是远.

33

(1V

13-1.已知函数/⑴〜5)X<Q,若/(7(-2))>/出，则左的取值范围

(x-1)2x>0

是•(log,9,4)

2

13-2已知函数/(x)是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x>0,都

有/V(x)-lnx］=l+e,若则川尸•e.

【说明】"r)-lnx必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1+e,

与单调函数矛盾.所以可设/(x)-lnx=c.贝!J/(x)=lnx+c.将C代入，得/(c)=l+e,

即lnc+c=l+e.

y=lnx+x是单调增函数，当C=e时，lnc+c=l+e成立，/(x)=lnx+e.则

")=e.

13-4定义在R上的函数段)满足五%)十危+5)=16,当X£(—1,4］时，段)三x2—2，,

则函数段)在［0,2014］上的零点个数是.604

【说明】由/(x)+/(x+5)=16,可知f(x-5)+/(x)=16,则/(x+5)—/(x—5)=0,所

以/(x)是以10为周期的周期函数.在一个周期(-1,9］上，函数2,在

xe(-1,4］区间内有3个零点，在xe(4,9］区间内无零点，故/⑶在一个周期上仅

有3个零点，由于区间(3,2013］中包含201个周期，又xe［0,3］时也存在一个零

点x=2,故/(x)在［0,2013］上的零点个数为3x201+1=604.

14.设各项均为正整数的无穷等差数列｛斯｝,满足的4=2014,且存在正整数2,

使0,小4,M成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为▲.

【解析】本题主要考等差数列与等比数列是两个最基本的数列.求解时应注意

基本量的方法，注意目标意识的应用，注意减元意识的渗透.无穷整数数

歹!J,意味着公差d非负.

解:易知d=。,成立.

当d〉0时，%4=q+534=2014nq=2014—53d

4=。54+(%-54=2014+(4-54M

2

a54=%4=(2014-534乂2014+(攵-54M=53(38-引[2014+(攵-54M=2014x2014

(38-d12014+(&-54d)]=38x2014

-(k-54)d2=0n(A—54M=38(左一107)

Ad—54d=38d—38x107=(4—38次=54—38x107

54d—38x10754(d—38)+54x38—38x10738x5338x53

=54+54+GN*又

d—38—d—38J-3838—d

q=2014-534=53(38-d)〉0n38-d>038—4=1,2,19

...0<38—d<38

d>Q.•4=37,36,19

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过

程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

在中，角A,B,。所对的边分别为mb,c,tanc=迎生嗯.

cosA4-cosB

(1)求c；

(2)若△ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.

解：⑴因为tanC=sinA+sin8即sinC_sin4+sin8

cosA+cosBcosCcosA+cosB

J所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,

即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,

得sin(C-A)=sin(B-C).................................4

分

所以C-A=8-C,或C-A=T-(B-C)(不成立).

即2C=A+B,得C4...............................................7

分

⑵法一：由C=].=1+a,B=]-a,0<A,B<冬,知段<a<与.

因a=2RsinA=sinA,b=2RsinB=sinB,

9分

故a+b=(sinA+sinB)=sin传+a)+sin传-a)=x/3COS2

--<a<—9-<cosa<1?—<a+b<y/3...............................................14

3322

分

法—a+0=sinA+sinB=sinA+sin(T-A)=]sinA+三cosA=Gsin(A+令...11分

.2.7171.7T57C1./A亢、<3仄.....1AZk

0MvA<—,—<AH—<—，一<sin(>4H—)<1,—<〃+/?<\J314刀

3666262

法三：c=2RsinC=*,.,.；=/+从"=(a+6)2",由基本不等式得a+bwG(当

且仅当a=A时取等号)，又由两边之和大于第三边得4+6>走，.•.3

22

变式：(1)AABC为锐角三角形呢？(2)求〃+尸的取值范围，(4)若

cos(B+马=二求sinA的值.(4)求三角形面积最大值。

63

（2）由C=^,^A=^+a,B=^-a,0<A,B<冬,知-界a若.

因a=2RsinA=sinA,b=2/?sin8=sin8,

故/+〃=sin?A+sin?B=…产+1-cos2g

=1-^cos（冬+2a）+cos（专-2a）=1+^-cos2a-

由-.vac。,知一孕<2a<冬，一｝<cos2aW1,故曰</+从W,

JJJJ4*•乙

15.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC，8c=4,AC=2.M为BC的中点,

N为AC上一点，且MN〃平面两5,MN=&.p

求证：（1）直线四〃平面刖；/款

（2）平面他CJ_平面PMV./1I\

证明：（1）因为MV〃平面如?，AflVu平面MC,/,%[!\

//\

平面PABn平面ABC^AB,-------M-----"c

所以MN〃AB.................3分（第15题）

因为MVu平面加V,AB<z平面痴V,

所以他〃平面PMV.........................................6

分

（2）因为M为8C的中点，MN//AB,

所以N为AC的中点................................8

分

因为8C=4,AC^2,所以A/C=2,NC=1,

由于MN=Q,所以MN2+NC2=MC2,

所以WAC...........................................10

分

因为抬=PC,AN=CN,所以PNJ.AC,

又MN,PNu平面PMN,MNCPN=N,

所以AC，平面

PMN................................12分

因为ACu平面他C,

所以平面ABC，平面

PMN...........................................................................................14分

17.（本小题满分14分）

根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p

2

与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=17（日产品废

A-60,I0WxW20,xeN*

540

品率=-X1OO%）-已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一

件废品则亏损1千元.（该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额）

（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；

（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

【评析】：对应用题（1）反复读题，提取有效信息！（2）注意所引进变量的取

值范围（如：是正实数、还是正自然数）、各个量的单位、近似运算的要示；

（3）转化为数学模型后，对数学模型处理的规范性要求不可忽视（如用导数

方法求最值，借助列表，说明单调性等都是必须的过程）；（4）作答不可少，

不给扣分的机会

17.（1）由题意可知，

24x-2x2

1WxW9,xwN*,

15-x

y=2x(1一p)-px=<4分

5.d

.铲一两10WxW20,xeN".

24x-2x2十0

(2)考虑函数/(x)=

5x3

-x--,10/W20,

.3180

9。

当1WxW9时,r(x)=2-令f'(x)=0,得x=15-3石.

(15F)2

当l《x<15-3/时，f'(x)>0,函数在口,15-38上单调增

当15-3石9时,/'(x)<0,函数〃力在(15-3/,9］上单调减.

当15-3君<xW9时，/1(x)<0,函数/(x)在(15-3石,9］上单调减.

所以当x=15-3石时，)(X)取得极大值，也是最大值,

又x是整数，/⑻*，/⑼=9,所以当.8时，/(x)有最大值……10

分

当10WxW20时，/'(x)=--—=100-X<0,所以函数/(x)在［10,20］上单调减,

36060

所以当.1。时，〃X)取得极大值竽，也是最大值.

由于岑〉?，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大.

答：当该车间的日产量为10件时，日禾I」润最大，最大日禾I」润是皿千元.……

9

14分

18.(本小题满分16分)

o2/q

在平面直角坐标系中，已知椭圆，+方=1的离心率为竽，两

个顶点分别为A1(—2,0),A2(2,0).过点0(1,0)的直线交椭圆于M,N两点,

直线AXM与NA2的交点为G.

(1)求实数。，。的值;

(2)当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点尸】，尸2使得△户1•和

△尸2“N的面积为5,求S的取值范围;

(3)求证：点G在一条定直线上.

(第18题图)

18.解析：（1）由题设可知a=

2............1分

因为e=半，即:=坐，所以

又因为62=。2—。2=4—3=1,所以h—

1•...........2分

（2）由题设可知，椭圆的方程为，+9=1,直线MN的方程为y=%—1.

设M（%i，yD，N3，＞2），联立方程组J4+'I消去y可得5/一8%=0,

〔尸%一1

8

解得尤1=0,%2=亍

QQ

将％1=0,%2=区，代入直线的方程，解得M=-1,竺=亍

________________Q

所以MN—，（—产+⑴一丝产=5

小..........4分

设与直线MN平行的直线m方程为y=%+一

联立方程组Ia+'=l,消去y可得5^+8忒+4B—4=0,

Iy—x~\-X

若直线机与椭圆只有一个交点，则满足△=64万-20（4万-4）=0,解得％

=±巾........6分

当直线m为y=L小时，直线/与根之间的距离为后=

地

小,

当直线m为y=%+小时，直线/与根之间的距离为.」T—血=

嫄

4........8分

也

设点C到MN的距离为d,要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，

则需满足&vd〈d2,即厄」vdv曲」.

r14rLLrr4小一4

因1为S=1d•MN=三小d,所以一弓一<S<

44+4八

八餐一•.......10分

(3)方法一设直线AtM的方程为y=Z](%+2),直线A2N的方程为y=%2(%

-2).

联立方程组14+’1,消去y得(1+4岛2濡+]6由2%+]6防2—4=0,

ly=%i(%+2)

解得点M的坐标为(言富，-TZ7T7).

1I4/Cj1I4/C1

同理,可解得点N的坐标为(岸,

—4^2

1+4心2)12分

4kl-422

1+4由21+4茯

由M,D,N三点共线，有2,化简得伏2—33(4%的

2—幽2~8Z:2-2

1+4212T1+必22T

+1)=0.

由题设可知由与k2同号，所以％2

3鬲.14分

忆器黑，解得交点G的坐标为低筌,道).

联立方程组

...,,_..2(俗+22)2(%1+321)

将k?=3k\代入点G的横坐标'倚XG=/=尔

所以点G恒在定直线％=4

上..........16分

方法二显然，直线MN的斜率为0时不合题意.

设直线MN的方程为x^my+1.

令m=0,解得M(l,孚)，N(l,一坐)或M(l,—)»N(l,)•

当M(l,)»Ml，一当时，直线AM的方程为y=票;+坐，直线4N

的方程为旷=jx-5.

y=£x+害

联立方程组J,解得交点G的坐标为（4,73）；

〔》一213

当M（l,一坐），N（l,坐）时，由对称性可知交点G的坐标为（4,一小）.

若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为％=

4........12分

下面证明对于任意的实数m,直线A.M与直线A2N的交点G均在直线x

=4上.

设M(jq,y),N(%2，＞2)，G(4,yo).

Vi-0y0即产黑

由点Ai，M,G三点共线，有

x\+24+2’

再由点,N,G三点共线，有肥=晨，即产鼻.

6y2y2

所以①

‘%i+2X2-2,

将xi—my\+1,x2—my2+1代入①式，化简得2冲42—3。1+m)=

0.②14分

联立方程组（1+"=1,消去％得（加+4旷+2冲—3=0,

1%=冲+1

-2m

从而有、1+竺=m2+4，""m2+4*

将其代入②式,有2,扁一3.薪驾=°成立.

所以，当初为任意实数时，直线4M与直线&N的交点G均在直线％=4

上...........16分

18.【评析】对解析几何题，要力求多拿分！

第（1）问：注意提醒学生分清椭圆的类型，焦点在y轴上，以及椭圆中的基

本量的关系。若是轨迹问题；也可以直接借助几何直观说明其轨迹。

第（2）问：可以从特殊到一般的思路，类比的思想，用」换上的技巧可以减

k

少计算量。利用各个条件，构造方程或方程组，构造方程时，注意几何直观的

应用，如求切斜率，可以用待定系数法，也可以借助切线段、半径所在的直角

三角形直接求出倾角的正切值。

第（3）问：函数值域的求法，转化与换元的思路，解析几何近两年考的比较

多的是定点、定值问题，这种求范围的文题，值得大家注意。

19.（本小题满分16分）

已知。，人是不相等的正数，在。，b之间分别插入加个正数0,。2,…，

即和正数"，口，…,

bm,使a,a\,做,…，am,8是等差数列，a,b\,bz,•••,hm,b是等比

数列.

（1）若m=5,管=1，求£的值；

（2）若。=M（2£N*,222）,如果存在〃（〃£N*,6W.W加）使得%一5=①，

求A的最小值及此时m的值；

（3）求证：n<m）.

19.解：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为夕，

r।,b-a6b

=

贝^~6-'q=\a

a~\~b

。3—Cl+3d2，byaq

...........................................................2分

因为富=1，所以2a—5y[ab+2。=0,解得,=4或

1

4分

4,

A—1tA一1

(2)因为/UZ=Q+(m+l)d,所以d=，从而得a〃=a+\~raxn

m+l6Zm+1

]n

因为/kz=axg〃7+i,所以（y=Am+L从而得

n

(2—1)(几—5)

因为a〃-5=b〃.所以鬲X〃=QX2"/+1.

m+1

鹿

因为。＞。，所以1+—=

m+1

m-v1

（*）..............................6分

因为九m,〃金N*,所以1+-二%J」为有理数.

要使（*）成立，则义后T必须为有理数.

因为nW/71,所以〃＜加+1.

n

若2=2,则义肝T为无理数，不满足条件.

同理，2=3不满足条

件.8分

-^―且且2n

当丸=4时，4根+1=2m+1.要使2机+1为有理数，则座7必须为整数.

加十1

又因为n<m,所以仅有2n=m-\-\满足条件.

35-5)

所以1+—工1=2，从而解得〃=15,机=29.

m+1

综上，丸最小值为4,此时m为

29............................................................10分

(3)证法一：设c”>0,S”为数列｛金｝的前〃项的和.

先证：若｛金｝为递增数列，贝IJ｛小｝为递增数列.

证明：当〃£N*时，

因为“尸5—>5”+曰=哼1S〃，所以学〈黑，即数歹吟｝为递

增数列.

同理可证，若｛金｝为递减数列，则｛号｝为递减数

歹U............................................................12分

①当Qa时，q>L当〃£N*,后加时，落吟.

qq(q""一])aq(<y"-1)

q—\1即吟〃1+1产,时一a

即

m+1n

b-a

因为。b〃=aqn,d=

m+1

bn—a

所以-,即a+〃d>h〃，an>bn.

②当。Vq时，OVgVl,当〃£N*,时，.<~.

/m+1n

aq(qm+i-])aq0—1)

q—\<7—1

即

因为OVqVl,所以的二丁>四尸.以下同①.

11n

综上，an>儿("£N*,nW

tn)............................................................16分

证法二：设等差数列。，0,。2,…，即，6的公差为d,等比数列。，",

。2，…，bm，分的公比为4,

b=2a(2>0,2W1).

]

A—1

得=

由题意,d—m+\a，QClXlTlH_19

A—1几

所以ci=ci~\~nd=