2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）

绝密★启用前

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标m）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1,0,1,2},B={X\X2<1},则=

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.若z(l+i)=2i,则工

A.-1-iB.-1+iC.|-iD.1+i

3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古

典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其

中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80

位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》

的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.（1+级2）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A.12B.16C.20D.24

5.已知各项均为正数的等比数列｛〃〃｝的前4项为和为15,且。5=3〃3+4〃1,则。3二

A.16B.8C.4D.2

6.已知曲线丁=ae'+xlnx在点（1,ae）处的切线方程为则

A.a=e,b=—TB.a=e,b=lC・a—e\b=\D.a—e1

b=—l

2*3

7.函数y在［-6,6］的图象大致为

2X+2~X

8.如图，点N为正方形ABC。的中心，△EC。为正三角形，平面EC。，平面ABC。，M

是线段的中点，则

A.BM=EN,且直线BM、EN是相交直线

B.BM*EN,且直线8M,EN是相交直线

C.且直线BM、EN是异面直线

D.BM,EN,且直线BM,EN是异面直线

9.执行下边的程序框图，如果输入的£为001,则输出S的值等于

A.2--J-

B-2一二D.2

24-i

22

10.双曲线C：---21=1的右焦点为F,点户在C的一条渐进线上,0为坐标原点，若

42

|PO|=|PF|,则△尸尸。的面积为

372

DR.------C.2aD.372

2

11.设/(X)是定义域为R的偶函数，且在(0,8)单调递减，则

（）3C，

A.flogjl>f(2一5)>/(2：)

4

9c3

B.f（10g3-）>f（2不）>f£）

4

八32I

C./（2/）>/（2f）>/（log3l）

23

D.f（2-3）>f（2W）>/（1噌；）

12,设函数〃X)=sin(ox+g)(0>0),已知在［0,2可有且仅有5个零点，下述

四个结论:

①/(x)在(0,2兀)有且仅有3个极大值点

②/（x）在（0,2兀）有且仅有2个极小值点

③/（x）在（0，R）单调递增

④。的取值范围是［三12•2噌9）

其中所有正确结论的编号是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a,分为单位向量，且a•5=0,若c=2a-非b，则cos<a,c>=.

14.记为为等差数列｛斯｝的前"项和，a2=3a｝,则詈=.

22

15.设耳，工为椭圆C:|^+为=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△加耳屑

为等腰三角形，则M的坐标为.

16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

ABC。-44GA挖去四棱锥。一EFGH后所得几何体，其中。为长方体的中心，E,

F,G,”分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,=4cm,3D打印所用原料密度

为0.9g/cm3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成

A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，

每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出

残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的

估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中人的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值

为代表）.

18.（12分）

A+C

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知asin--------=hsinA.

2

（1）求8；

（2）若△ABC为锐角三角形，且片1,求△ABC面积的取值范围.

19.（12分）

图1是由矩形和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,

NFBC=60。,将其沿AB,8c折起使得BE与8F重合，连结。G,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

20.(12分)

已知函数/(x)=2x3-ax2+h.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)是否存在使得/(x)在区间［0,1］的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出

。功的所有值；若不存在，说明理由.

r21

21.已知曲线C：产二，。为直线产-一上的动点，过力作C的两条切线，切点分别为A,

22

B.

(1)证明：直线过定点：

(2)若以E(0,』)为圆心的圆与直线A8相切，且切点为线段AB的中点，求四边形

2

AOBE的面积.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

如图，在极坐标系Ox中，42,0）,6（"/，C（0苧，0（2,兀），弧AB，BC，

C0所在圆的圆心分别是（1,0）,（1,^）,（1,2,曲线必是弧A8,曲线知2是弧BC，

曲线M是弧C0.

（1）分别写出,M2,似3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1,M2,M3构成，若点P在M上，且|。「|=百，求P的极坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

设x,y,zeR,且x+y+z=l.

（1）求（工一1）2+（丁+1尸+（2+1）2的最小值；

（2）若。-2）2+0；-1）2+（2—〃）22；成立，证明：aW—3或。之一1.

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标m）

参考答案

一、选择题

1.A2.D3.C4.A5.C6.D7.B8.B9.C10.A

11.C12.D

二、填空题

2

13.14.415.(3,715)16.118.8

3

三、解答题

17.解：(1)由已知得0.70=4+0.20+0.15,故4=0.35.

/?=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3x0.05+4x0.10+5X0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

4+C

18.解：（1）由题设及正弦定理得sinAsin------=sin8sinA.

2

A+C

因为sinAwO,所以sin------=sinB.

2

由A+8+C=18()°,可得sin^^=cosO,故cos0=2sin0cos0.

22222

B§]

因为cos—。0,故sin—=一,因此8=60。.

222

（2）由题设及（1）知△ABC的面积S2BC=彳。.

由正弦定理得叫3-sin02。。—C）=旦+，

sinCsinC2tanC2

由于△ABC为锐角三角形，故0。<4<90。，0°<C<90°,由（1）知A+CM20。，所以30。<。<90。,

.；1c11-7-6cG

故不<。<2,从而—<S4ABe<•

，o2

因此，ZiABC面积的取值范围是［络，白）

19.解：（1）由已知得A。BE,CGBE,所以4。CG,故A。，CG确定一个平面，从

而A,C,G,。四点共面.

由已知得AB_LBE,A81BC,占t4B_L平面BCGE.

又因为42U平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE.

（2）作E〃_LBC,垂足为H.因为EHU平面BCGE,平面8CGEJ_平面ABC,所以EaJ_

平面A8c.

由已知I,菱形BCGE的边长为2,ZEBC=60°,可求得BH=1,EH=6.

以H为坐标原点，"C的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,

则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,百)，CG=(1,0,8)，AC=

（2,一1,0）.

设平面ACG。的法向量为〃=(x,y,z),则

CGn=0,[x+V3z=0,

<即<

AC-zi=0,2x—y=0.

所以可取”=(3,6,-y/3).

右

又平面8CGE1的法向量可取为机=(0,1,0)，所以COS〈〃,m〉=—--=—.

|//1|zn|2

因此二面角5-CG-A的大小为30。.

20.解：(1)f\x)=6x2-2ax=2x(3x-d).

令frM=0,得x=0或x=].

若a>0,则当xe(-oo,0)(^什00)时，/'(X)>0；当xe(o,"|)时，f'(x)<0.故

/(x)在(-8,0),+8)单调递增，在((),])单调递减；

若a=0,/(x)在(-00,+00)单调递增；

若兴0,则当xe1-8,1),(0,+8)时，f\x)>0；当xe(],o)时，f'(x)<Q.故

/(x)在1-8,ypo,+00)单调递增，在,0)单调递减.

(2)满足题设条件的4,6存在.

(i)当aWO时,由(1)知,/(x)在[0,1]单调递增，所以/(x)在区间[0,1]的最小

值为/(0)=6,最大值为/(1)=2-。+".此时a,b满足题设条件当且仅当匕=一1,

2—a+b=l,即4=0,h=—\.

(ii)当a23时，由(1)知，/(x)在［0,1］单调递减，所以/(x)在区间［0,1］的最大

值为/(0)=6,最小值为f(X)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当

1—a+b——\,b-\,即a=4,b-\.

(iii)当0<S<3时，由(1)知，/(X)在［0,1］的最小值为=一券■+〃，最大值

为b或2-。+8.

若-----\-b=—\,b=\,则a=3蚯，与0<〃<3矛盾.

27

若—2-+b=—1,2—a+b-1,则a=36或a=-36或a=0,与0<“<3矛盾.

27

综上，当且仅当a=0,/?=—1或a=4,b=l时，/(X)在［0,1］的最小值为-1,最大值

为1.

21.解：(1)设Z)［，-g),A(X1,yJ,则x；=2y.

1

由于y，=X,所以切线ZM的斜率为王，故-2.=再.

整理得2历-2y+1=0.

设3(马,%)，同理可得2%-2必+1=0.

故直线A8的方程为2fx-2y+l=0.

所以直线A3过定点(02).

2

(2)由(1)得直线AB的方程为丁=比+，

1

y=tx+—

由1,2,可得%2_2a_1=0.

kyX

于是X+W=2，，XyX2=-l,x+%=，(％+%2)+l=2『+1，

|AB|=Jl+1,__2〔=Jl+/XJ(X]+工2)2_4±%2=2(/+1).

设4,4分别为点。，E到直线AB的距离，则4=炉「，d2=^^.

Vr+1

因此，四边形AD8E的面积S=g|A8|(4+d2)=(/+3)/n.

设M为线段A3的中点，则加(而+£|.

由于丽7_LAB,而EA/=(t,”一2),与向量(1,1)平行，所以£+(“一2.=0.

解得f=0或/=±1.

当f=0时，5=3；当1=±1时，S=40.

因此，四边形ADBE的面积为3或472.

22.解：(1)由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为Q=2COS。，

/7=2sin夕，/?=-2cos0.

所以得的极坐标方程为夕=2cos(0W”£j,%的极坐标方程为

p=2sin^||，AT,的极坐标方程为0=—2cos0(至46＜兀].

(2)设P(p,6),由题设及⑴知

若0W64工，则2COS6=G，解得。='；

46

若二至，则2sin6=百，解得。=工或。=0；

4433

若空4。4兀，则—2COSO=J5,解得。=亚.

23.解：(1)由于[(x—l)+(y+l)+(z+l)]2

=(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2+2[(x-l)(y+l)+(y+l)(z+l)+(z+l)(x-l)]

<3](x-1)?+(y+l)2+(z+l)2],

故由已知得(x—l)2+(y+l)2+(Z+l)2Ng,

当且仅当42,)=-:,z=-1时等号成立.

3-33

4

所以(x—1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为§.

(2)由于

[(x-2)+(y-l)+(z-a)]2

=(x—2>+(y—Ip+(z—+2[(x-2)(y-l)+(y-l)(z-«)+(z-a)(x-2)]

<3[(x-2)2+(y-l)2+(z-«)2],

故由已知(x-2)2+(y—+(z-4A2Q,

4—1—Q

当且仅当X=f,ciy=Y，Z=2—a，—2时等号成立.

3^33

因此(x-2)2+(y-1)2+(Z-。)2的最小值为(2+fl)-.

由题设知出主生之1，解得aW—3或a2—1.

33

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2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标m）

答案解析版

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

L已知集合人={-1,0,1,2},B={X|X2<1},则ACB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1.1}D.

（0,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出集合B再求出交集.

【详解】由题意得，B={x|-l<x<l},则Ac3={-l,0,l}.故选A.

【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.

2.若z（l+i）=2i,则z=（）

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数运算法则求解即可.

2i2i(l-i)

【详解】z1+i.故选D.

1+i(l+i)(l-i)

【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养.采取运算法则法，利用方程思想

解题.

3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小

说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读

过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过

《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与

该校学生总数比值的估计值为()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.

【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之

比为70700=0.7.故选C.

【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转

化与化归思想解题.

4.(1+2P)(1+x)4的展开式中R的系数为

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数.

【详解】由题意得始的系数为。；+2。：=4+8=12,故选人.

【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.

5.已知各项均为正数的等比数列｛%｝的前4项和为15,且%=3%+4q,则为=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用方程思想列出关于q的方程组，求出q,q,再利用通项公式即可求得为的值.

、,,a.+a.q+a.q~+a.q~=15,

【详解】设正数的等比数列｛分｝的公比为q,则《'.，

a、q=2>axq"+4<7,

a.—\,

解得"'2’，=4,故选C.

【点睛】应用等比数列前〃项和公式解题时，要注意公比是否等于1,防止出错.

6.已知曲线yuae"+xlnx在点（1,四）处的切线方程为y=2x+b,则（）

A.a=e,b=_lB,a=e,b=lC.a=e~',b=\D.

a=e~\b=-1

【答案】D

【解析】

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得从

【详解】详解：y1=ae'+\nx+\,

k=y'\x=｝-ae+\=2

r.a=e~'

将（1,1）代入y=2x+b得2+6=l,b=-1,故选D.

【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计

算错误.求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求.

2x3

7.函数y=在［-6,6］的图像大致为

2X+2-X

【答案】B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/'(4)的近似值即可得出结果.

【详解】设y=/(x)=-2X-，则/(-x)=2(刃_=――=-/(%)，所以/(x)是

2r+2-x2~X+2X2X+2-X

2X43

奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C.又/(4)=2：一；7>°，排除选项D；

2x63

/,(6)=4-^«7.排除选项A,故选B.

J26+2-6

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值,最后做出选择.本

题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

8.如图，点N为正方形ABCD的中心，AECZ)为正三角形，平面ECD1平面是

线段瓦)的中点，则()

u*确云

A.BM=EN,且直线是相交直线

B.BMHEN,且直线8M,硒是相交直线

C.BM=EN,且直线的W,EN是异面直线

D.BM手EN,且直线BM,硒是异面直线

【答案】B

【解析】

【分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.

【详解】,:由DE，N为BD中点M为DE中点，二BM，EN共面相交，选项C,D

为错.作EOLC。于O,连接QV,过M作于/.

连B/7,平面CDE1平面ABCD.

EO，CD,EOu平面CDE,;.EO上平面ABCD,MF1平面ABCE,

:.似WFB与AEON均为直角三角形.

设正方形边长2,易知EO=g,ON=1EN=2,

MF=—,BF=J22+-=-BM=J-+—=V7.

2\42V44

:.BM于EN,故选B.

E

【点睛】本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系.

9.执行如图所示的程序框图，如果输入的£为。01,则输出S的值等于（）

B.2—去

C2-±D.

【答案】D

【解析】

分析】

根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.

【详解】x=l.S=0,S=O+1,x='<0.01?不成立

2

S=o+1+-,x=L<0.01?不成立

24

5=0+1+-++4-,x=L=0.0078125<0.01?成立

226128

输出S=1+

【点睛】循环运算，何时满足精确度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易

错点.

10.双曲线C：--一匕=1的右焦点为尸，点P在C的一条渐近线上，。为坐标原点，若

42

附=附，则△PF。的面积为

A3近D372「X]

A.-------B.-------C.—D.3V2

42x2

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素

养.采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.

【详解】由a=2,A=0,c=Ja?+/=y/6,■

|PO|T"I，."P=等，

b

又P在。的一条渐近线上，不妨设为在y=±x上，

a

・•・S.o=；|。斗|力|=gx小曰=乎，故选A.

【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的

方式解出三角形的高，便可求三角形面积.

11.设/（九）是定义域为R的偶函数，且在（0,+力）单调递减，则（）

B.《logs

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知函数为偶函数，把,转化为同一个单调区间上，再

比较大小.

【详解】/（X）是R的偶函数，.../（Iog3：）=/（log34）.

0-

...log,4>l=2>2^又/（%）在（0,+8）单调递减，/（log34）</f2^<f2《］,

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的

能力.

12.设函数/（X）=sin（«x+|）（CO>0）,己知/（%）在［0,2句有且仅有5个零点，下

述四个结论：

①/（X）在（0,2兀）有且仅有3个极大值点

②/（X）在（0,2兀）有且仅有2个极小值点

③f(x)在(0,考)单调递增

1?29

④0的取值范围是，三)

其中所有正确结论的编号是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】

本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度

高，考查数形结合思想.

71

【详解】•./(x)=sin+-(w>0),在[0,2句有且仅有5个零点.0<X<2K,

1yryr1729

—<WX~-2TCW+--,—<W<――,④正确.如图%,尤3为极大值点为3个，①正

。。UJJL

确；极小值点为2个或3个..•.②不正确.

7八1.7.1冗WW77TT兀29

当0〈龙v一时，一<wx+—<---1—,当w=—时,

105/10510

W7T7T294207r497r71

---1-=----F---=---<-—・

1051001001002

二③正确，故选D.

【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a,〜为单位向量，且a•/>=(),若C=2d-小b,贝！Jcos<a,e>=.

2

【答案】y.

【解析】

【分析】

根据|c|2结合向量夹角公式求出|c|,进一步求出结果.

【详解】因为c=2a—\[5b，a-6=0,

所以4.d=一,b=2,

|c|2=4|“|2_48.6+5g|2=9,所以|可=3,

ac_22

所以cos<a,c>-

|a|-|c|1x33-

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素

养.使用转化思想得出答案.

14.记S,为等差数列｛%｝的前〃项和，qWO,%=3q,则、*=.

【答案】4.

【解析】

【分析】

根据已知求出q和d的关系，再结合等差数列前〃项和公式求得结果.

【详解】因〃2=3%,所以q+d=3q,即2%=d,

S10x97

所以¥=史竺占=野=4・

$554+5x4〃25%

12

【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转

化思想得出答案.

15.设耳，F,为椭圆。:土+21=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若AMg

3620

为等腰三角形，则M的坐标为.

【答案】（3,后）

【解析】

【分析】

根据椭圆定义分别求出|岫|、|蜗设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.

【详解】由已知可得/=36,/=36,."2=片_/=16,."=4，

.•」阿|=|耳闻=2c=8.

\MFl\+\MF2\=2a=U,\MF2\=4.

设点M的坐标为（外）,%乂/>0,%>0）,则S4MFR=：MKI•%=4y0,

22

又S&Mg=1X4X78-2=4715,.-.4%=4>/15,解得%=后，

.看।（后）=4解得%=3（%=-3舍去），

"3620

\时的坐标为（3,、语）.

【点睛】本题考查桶圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很

好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

ABCD-AB|G"挖去四棱锥。一跳6〃后所得的几何体，其中O为长方体的中心，

£,尸,G,"分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4=4cm,3。打印所用原料密度

为0.9g/c加3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

【答案】118.8

【解析】

【分析】

根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型

的质量.

【详解】由题意得，四棱锥O-EFGH的底面积为4x6—4xgx2x3=12cm2,其高为点O

到底面BBC。的距离为3cm,则此四棱锥的体积为X=gxl2x3=12cm2.又长方体

ABCD-ABC"的体积为14=4x6x6=14W,所以该模型体积为

V=%—乂=144-12=132cm2,其质量为0.9x132=118.8g.

【点睛】此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中

信息联系儿何体的体积和质量关系，从而利用公式求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（一）必考题：共60分。

17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成

AB两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，5组小鼠给服乙离子溶液.每只

小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小

鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记。为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计

值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中么6的值：

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）.

【答案】（1）62=0.35,力=0.10；（2）4.05,6.

【解析】

【分析】

⑴由P(O=Q70可解得和｝的值；(2)根据公式求平均数.

【详解】⑴由题得£7+0.20+0.15=0.70,解得a=0.35,由

0.05+)+0.15=l—P(C)=1—0.70,解得人=0.10.

(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙离子残留百分比的平均值为

0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.

A-i-C

18.AA3C的内角4民。的对边分别为a,"c,已知asin--^bsinA.

2

（1）求8;

(2)若AABC为锐角三角形，且c=l,求AABC面积的取值范围.

【答案】(1)B=W；Q)也,

J8

【解析】

分析】

(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角

解得3=(.(2)根据三角形面积公式S,8c=5。。sin3,又根据正弦定理和方得到SABC

TT

关于。的函数，由于VABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于,来计算C的定义

域，最后求解SMC(C)的值域.

八斗「44-C

[详解】(1)根据题意asin-^―=bsinA由正弦定理得sinAsin—=sinBsinA,因

A+C

为0<A<%,故sinA>0,消去sinA得sin-----=sin

2

八+rA+cA^-C

0<B，0<—丁因为故=一=8或者一^+3=万，而根据题意

A+「AA-C

A+B+C=%，故——-+B=兀不成立,所以——-=B,又因为A+B+C=%,代入得

22

7T

38=兀，所以3=].

TT7/

(2)因为VABC是锐角三角形，又由前问3=x，-<A,C<-,A+B+C=乃得到

2万cic12

A+C=；〃，故二vCv^又应用正弦定理一—,由三角形面积公式有

362sinAsinC25

i11•>♦Hsin(------C)

1.\a1sinA<33

Sc=—ac-sinBD=­c2—sinB=-c2--------sin3=----------------------

ARCr22c2sinC4sinC

sin-cosC-cos-sinC6°o2A▽中

3邛剑》c…争小g泉又因

4

冗c冗痂有3nG

—<c<—c37t

，故—=-cot—I-----<SARr-cot—+

62882886吟7ABC<J

故SABC的取值范围是

【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以

用余弦定理求解），最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道

很好的考题.

19.图1是由矩形A£>EB,RtA4BC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,8E=B尸=2,

ZFBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结。G,如图2.

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面A8CJ_平面3CGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-Z的大小.

【答案】（1）见详解：（2）30.

【解析】

【分析】

⑴因为折纸和粘合不改变矩形ABED，RJABC和菱形8尸GC内部的夹角，所以

ADUBE,M//CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为是平面

BCGE垂线，所以易证.（2）在图中找到B-CG-A对应的平面角，再求此平面角即可.于是

考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.

【详解】⑴证：AD//BE,M//CG,又因为E和尸粘在一起.

---ADUCG，A,C,G,D四点共面.

又，ABYBE,ABA-BC.

」.AB，平面BCGE,「ABu平面ABC,」.平面ABC,平面BCGE,得证.

(2)过B作延长线于H,连结AH,因为AB,平面BCGE,所以ABLGC

而又BHLGC，故GC1平面所以A"_LGC.又因为BH_LGC所以是二

面角B-CG-A的平面角，而在△//C中ZB//C=9(),又因为NF3C=60故

ZBCH=60,所以B〃=BCsin60=&

f八，AB1cc

而在ABH中ZABH=90.NBHA=arctan——==arctan-y=-=30,即二面角

uri

8—CG—A的度数为30.

【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是

不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几

何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。

20.已知函数/(%)=2x3-ax2+b.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在a,6，使得/(无)在区间［0,1］最小值为-1且最大值为1?若存在，求出的

所有值；若不存在，说明理由.

a=0/a=4

【答案】⑴见详解；(2)<，或

b=-l

【解析】

【分析】

(1)先求/(X)的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数

单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,b的值.

【详解】⑴对/(%)=一©2+b求导得r(x)=6x2-2ax=6x(x—；).所以有

当a<0时，(一国,三)区间上单调递增，(*0)区间上单调递减，(0,长。)区间上单调递增；

当a=0时，（­,+8）区间上单调递增;

当。>0时，（-8,0）区间上单调递增，（0,攵区间上单调递减，0,+0。）区间上单调递增.

（2）若/（x）在区间［0,1］有最大值1和最小值-1,所以

若”0,（―8,与）区间上单调递增，g,0）区间上单调递减，（0,+»）区间上单调递增；

此时在区间［0,1］上单调递增,所以/（O）=-1,/XD=1代入解得力=-1,4=0,与"0矛

盾，所以a<0不成立.

若4=0,（T。,+8）区间上单调递增；在区间［0,1］.所以/（0）=-1,〃1）=1代入解得

Q=0

b=-l

若0<。<2,（—8,0）区间上单调递增，（0,三）区间上单调递减，（1,+8）区间上单调递增.

即/*）在区间（o,$单调递减，在区间q,1）单调递增，所以区间［oj］上最小值为/（1）

而f（o）=b,f