中考数学一轮复习考点题型归纳与分层训练专题29 圆的有关概念(原卷版)

专题29圆的有关概念【专题目录】技巧1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系技巧2：垂径定理的四种应用技巧技巧3：圆中常见的计算题型【题型】一、圆的周长与面积问题【题型】二、利用垂径定理进行计算【题型】三、垂径定理的实际应用【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等【题型】七、直径所对的圆周角是直角【考纲要求】1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论.【考点总结】一、圆的有关概念及性质（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.（2）圆具有对称性和旋转不变性.（3）不共线的三点确定一个圆.（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.（6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（7）弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.

【考点总结】二、垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.【考点总结】三、与圆有关的角及其性质（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等.

②半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

③圆内接四边形的对角互补.

【考点总结】四、圆周长、弧长计算（1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR.

（2）半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l=SKIPIF1<0.

【考点总结】五、圆、扇形面积计算（1）半径为R的圆面积S=SKIPIF1<0（2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=SKIPIF1<0或S扇=SKIPIF1<0.

【考点总结】六、圆柱、圆锥的有关计算（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高).

（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线).

（3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h.

圆锥的体积=SKIPIF1<0×底面积×高,即V=SKIPIF1<0πR2h.

【考点总结】七、正多边形与圆（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.（3）正多边形的内角和=(n-2)·180°;正多边形的每个内角=

SKIPIF1<0;

正多边形的周长=边长×边数;正多边形的面积=SKIPIF1<0×周长×边心距.【技巧归纳】技巧1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系类型一：弦、弧之间的关系1．如图，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(CD,\s\up8(︵))，则下列结论正确的是()(第1题)A．AB>2CDB．AB＝2CDC．AB<2CDD．以上都不正确2．如图，在⊙O中，弦AD＝BC，求证：eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).(第2题)类型二：圆周角、圆心角之间的关系3．如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.(第3题)类型三：弧、圆周角之间的关系4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．(第4题)类型四：弦、圆心角之间的关系5．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．(第5题)类型五：弦、弧、圆心角之间的关系6．如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是eq\o(AB,\s\up8(︵))的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD.(第6题)技巧2：垂径定理的四种应用技巧类型一：巧用垂径定理求点的坐标1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．(第1题)类型二：巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．(第2题)类型三：巧用垂径定理计算3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2eq\r(3).求：(1)AB的长；(2)⊙O的半径．(第3题)类型四：巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？技巧3：圆中常见的计算题型类型一：有关角度的计算1．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．(第1题)类型二：半径、弦长的计算(第2题)2．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2eq\r(2)cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________．3．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm.求直径AB的长．(第3题)类型三：面积的计算eq\a\vs4\al(技巧1)利用“作差法”求面积4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．(第4题)eq\a\vs4\al(技巧2)利用“等积法”求面积5．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．(第5题)eq\a\vs4\al(技巧3)利用“平移法”求面积6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？(第6题)eq\a\vs4\al(技巧4)利用“割补法”求面积7．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.(1)由AB，BD，eq\o(AD,\s\up8(︵))围成的曲边三角形的面积是______；(2)求证：DE是⊙O的切线；(3)求线段DE的长．(第7题)类型四：实际应用的计算eq\a\vs4\al(应用1)利用垂径定理解决台风问题8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30km/h，受影响区域的半径为200km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320km处．(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．(第8题)eq\a\vs4\al(应用2)利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第9题)eq\a\vs4\al(应用3)利用直线与圆的位置关系解决范围问题10．如图，已知A，B两地相距1km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第10题)【题型讲解】【题型】一、圆的周长与面积问题例1、如图，⊙O的半径为SKIPIF1<0，分别以SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0上的两个四等分点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2、图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（）．A． B． C． D．【题型】二、利用垂径定理进行计算例3、如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（）A．8 B．12 C．16 D．2SKIPIF1<0例4、如图，点SKIPIF1<0在⊙O上，SKIPIF1<0，垂足为E．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型】三、垂径定理的实际应用例5、往直径为SKIPIF1<0的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽SKIPIF1<0，则水的最大深度为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例6、我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深SKIPIF1<0寸，锯道长SKIPIF1<0尺（1尺SKIPIF1<0寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解例7、如图，SKIPIF1<0是⊙O的直径，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在⊙O上，AB=AD，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的度数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例8、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51° B．56° C．68° D．78°【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证例9、如图，SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0上不同于SKIPIF1<0的两点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0所任圆的切线，与SKIPIF1<0的延长线相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0求SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0证明见解析；SKIPIF1<0证明见解析．【提示】SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0为直径，证明SKIPIF1<0结合已知条件可得结论；例10、如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°例11、如图，点SKIPIF1<0在圆上，若弦SKIPIF1<0的长度等于圆半径的SKIPIF1<0倍，则SKIPIF1<0的度数是()．A．22.5° B．30° C．45° D．60°【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等例12、如图，四边形SKIPIF1<0的外接圆为⊙SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例13、如图，点A、B、C、D在⊙O上，SKIPIF1<0，点B是AC的中点，则SKIPIF1<0的度数是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型】七、直径所对的圆周角是直角例14、如图，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上且平分弧SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例15、如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（）A．10° B．14° C．16° D．26°圆的有关概念（达标训练）一、单选题1．如图，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是（

）A．108° B．109° C．110° D．112°2．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．13．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．84．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（）A．3SKIPIF1<0 B．6 C．6SKIPIF1<0 D．6SKIPIF1<05．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若SKIPIF1<0，则∠AOB的度数是（

）A．40° B．50° C．60° D．80°7．如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的弦，SKIPIF1<0为优弧SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0不重合），过点SKIPIF1<0的圆记为圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的圆记为圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的圆记为圆SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．圆SKIPIF1<0可以经过点SKIPIF1<0 B．点SKIPIF1<0可以在圆SKIPIF1<0的内部C．点SKIPIF1<0可以在圆SKIPIF1<0的内部 D．点SKIPIF1<0可以在圆SKIPIF1<0内部9．如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，点C为SKIPIF1<0上的一点，过点C作SKIPIF1<0的切线，交直径SKIPIF1<0的延长线于点D；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是（）A．23° B．44° C．46° D．57°10．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°11．在平面内与点SKIPIF1<0的距离为1cm的点的个数为（

）A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题12．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，已知⊙O的半径为6，则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题13．等腰△ABC中，SKIPIF1<0，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，SKIPIF1<0；（2）如图2，SKIPIF1<014．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若SKIPIF1<0，求⊙O的半径的长．圆的有关概念（提升测评）一、单选题1．如图，AB为SKIPIF1<0的直径，点C，D在SKIPIF1<0上．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为弧AC的中点，AC与BD交于点E，已知∠A＝36°，则∠AED的度数为（

）A．36° B．56° C．63° D．72°3．如图，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（

）A．35° B．40° C．45° D．50°4．如图，AB是SKIPIF1<0的弦，半径SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0，点P在圆周上，则SKIPIF1<0等于（）A．27° B．30° C．32° D．36°5．如图，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，弦SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的半径长为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．106．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．π B．2π C．SKIPIF1<0 D．4π7．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°8．如图，反比例函数的一个分支与SKIPIF1<0有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（

）A．劣弧SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0B．反比例函数的这个分支平分圆的周长C．反比例函数的这个分支平分圆的面积D．反比例函数图象必过圆心SKIPIF1<09．如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的