排列组合基础讲义

排列、组合讲义指导教师：吴玉常知识梳理按照一定的顺序所有排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n·(n－1)(n－2)·…·3·2·1n！111要点探究►探究点1排列数、组合数的计算【思路】根据组合数公式，解方程求出m.

【点评】在求组合数中的未知数时要注意必须使组合数公式本身有意义，同时在计算时要注意合理选用组合数的两个计算公式，简化计算．下面一道题是有关排列数的问题，在考查排列数公式的应用时，一定要注意到排列数是一些连续正整数的乘积，在解题时注意到这个特点进行约分，可简化计算．【思路】根据排列数公式，通过解方程解决．►探究点2排列问题【思路】按特殊元素(位置)进行合理分类，再由排列数和计数原理可分别求得．【点评】带有限制条件的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制的问题，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类题通常从三种途径考虑：①以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素；②以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置；③先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列．【思路】按特殊元素(的位置)进行分类，再由排列数和计数原理可分别求得．►探究点3组合问题【思路】解组合应用题时一般从特殊元素入手，先选出特殊元素，再选其他元素．

【点评】解决“含与不含”问题常用优先法来求解，“至多至少”问题，常采用直接分类法或间接排除法来求解．在选取元素时一定要做到“不重不漏”．【思路】只要从7人中先选3人安排在周六，再从余下的4人中选出3人安排在周日即可．►探究点4排列、结合的综合应用

【点评】排列中有一类一些元素必须相邻、一些元素必须不相邻，这两个问题都有固定的解决方法：在一个排列中某几个元素必须相邻，采用的是把这几个元素作为一个整体元素看待，即把这几个元素“捆绑”起来，使其在和其他元素排列时是一个元素，这样排列后这几个元素就相邻在一起了；在一个排列中某几个元素不能相邻，必须隔开，这时先排列其余元素，这样这些元素与元素之间就出现了空隙，只要在这些不同的空隙中排列需要不相邻的元素即可，这两个问题可以简称为“相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法”．排列组合在实际问题中的另一个重要应用就是数字问题，在解决时一定要注意“0”这个特殊元素．规律总结排列组合常见题型及解题策略2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2

种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．复习巩固1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.优限法:优先安排受限制元素(特殊元素和特殊位置优先策略)例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？对应练习题2.在7名运动员中选出4名组成接力队,参加4×100米接力赛,那么甲,乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?二.捆绑法:相邻元素策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.1.4对孪生兄弟排成一排,每对孪生兄弟不能分开,共有多少种排法?对应练习题2.5人排成一行,其中甲,乙之间至少有1人的排法数是多少?3.有8本互不相同的书,数学3本,外语2本,其他书3本,将它们排成一行放在书架上,其中数学书放在一起,外语书放在一起,有多少种放法?

三.插空法:不相邻问题策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有

种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种

不同的方法

由分步计数原理,节目的不同顺序共有

种相相独独独1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）

30练习题2.5个不同的红球和2个不同的白球排成一排,要求两端是红球,白球两端都是红球的排法有多少?四.定序问题空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

种方法，其余的三个位置甲乙丙共有

种坐法，则共有

种方法

1（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7练习题10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有

种分法.7把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）422.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）练习题六.环排问题线排策略例6.5人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有____

种排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！练习题

8人围圆桌开会,其中正、副组长各1人，记录员1人；（1）若正、副组长相临而坐，有多少种坐法？（2）若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排