2022-2023学年天津市和平区双菱中学九年级（下）开学数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年天津市和平区双菱中学九年级（下）开学数学试卷一、单选题（每小题3分，共36分）1．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线 C．赵爽弦图 D．科克曲线2．（3分）不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠05．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（）A．2 B．6 C．﹣2 D．06．（3分）如图，已知OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P，若BC＝8，AP＝2，则⊙O的半径长为（）A．5 B．6 C．10 D．7．（3分）一次聚会，每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（）A．x（x+1）＝56 B．x（x﹣1）＝56 C．2x（x+1）＝56 D．x（x﹣1）＝56×28．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45° B．50° C．60° D．75°9．（3分）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60° B．72° C．75° D．90°10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（﹣，） D．（﹣，2）11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC＝（）A．80° B．85° C．90° D．95°12．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．14．（3分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．则两位老师恰好都选择“微信”支付的概率为．15．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10cm，CD切⊙O于点E，交PA、PB于点C、D，则△PCD的周长是．16．（3分）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝4，则弦AB的长为．17．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+3在x＝a或x＝b（a≠b）时，函数值相等，则当x＝a+b时，函数值为．18．（3分）如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG＝FA．三、解答题（共66分）19．（8分）解下列方程（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．（3）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．20．（8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．（1）求AP的长；（2）若弦AB＝8，求OP的长．21．（10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为件．（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？22．（10分）如图，为求出河对岸两棵树A，B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12m到达D点，测得∠CDB＝90°．取CD的中点E，测得∠AEC＝56°，∠BED＝67°，求河对岸两树间的距离．参考数据：，，，．23．（10分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交圆O于点A，C，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求线段BM的长．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得到△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图①，若α＝90°，求AA′的长；（2）如图②，若α＝60°，求点O′的坐标；（3）如图③，P为AB上一点，且PA：PB＝2：1，连接PO′、PA′，在△ABO绕点B逆时针旋转一周的过程中，求△PO′A′面积的最大值和最小值（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，点D是第一象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D作DE⊥AC于点E．①若DE＝CE，求D点坐标；②过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点F，连接DC、DA，当△DEF的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点P，使S△PAC＝S△ACD，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

2022-2023学年天津市和平区双菱中学九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题3分，共36分）1．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线 C．赵爽弦图 D．科克曲线【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．（3分）不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：由于共有8个球，其中红球有5个，则从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，故选：D．3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；故选：C．4．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4•k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．5．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（）A．2 B．6 C．﹣2 D．0【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4＝（x﹣）2﹣+4，∴该函数的顶点坐标为（，﹣+4），∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，∴＝0或﹣+4＝0，解得m＝2或m1＝﹣2，m2＝6，故选：D．6．（3分）如图，已知OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P，若BC＝8，AP＝2，则⊙O的半径长为（）A．5 B．6 C．10 D．【解答】解：如图，连接OB，设OB＝OA＝x．∵OA⊥BC，∴PB＝PC＝BC＝4，在Rt△OPB中，OB2＝OP2+PB2，∴x2＝（x﹣2）2+42，∴x＝5，∴⊙O的半径为5．故选：A．7．（3分）一次聚会，每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（）A．x（x+1）＝56 B．x（x﹣1）＝56 C．2x（x+1）＝56 D．x（x﹣1）＝56×2【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，由题意得，x（x﹣1）＝56．故选：B．8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45° B．50° C．60° D．75°【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故选：C．9．（3分）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60° B．72° C．75° D．90°【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，所以360°÷5＝72°，所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为72°．故选：B．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（﹣，） D．（﹣，2）【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．∵B（﹣2，0），C（﹣1，0），B′（1，0），A′（2，﹣3）∴OB＝2，OC＝OB′＝1，OF＝2，A′F＝3，∴BC＝1，CB′＝2，CF＝3，∵△ABC∽△A′B′C，∴＝＝，∴AE＝，∵∠ACE＝∠A′CF，∠AEC＝∠A′FC＝90°，∴△AEC∽△A′FC，∴＝＝，∴EC＝，∴OE＝EC+OC＝，∴A（﹣，），故选：C．11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC＝（）A．80° B．85° C．90° D．95°【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，∴∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝85°．故选：B．12．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），∴y＝0时，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故①正确；若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；又∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，∴0＜＜，∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），∴0＜≤，解得1＜m≤，故④正确；故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是2．【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．故答案为：2．14．（3分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．则两位老师恰好都选择“微信”支付的概率为．【解答】解：把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，∴两位老师恰好都选择“微信”支付的概率为，故答案为：．15．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10cm，CD切⊙O于点E，交PA、PB于点C、D，则△PCD的周长是20cm．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝10，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝10+10＝20（cm），即△PCD的周长为20（cm），故答案为：20cm．16．（3分）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝4，则弦AB的长为2．【解答】解：作直径AE，连接BE，如图，∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝4，∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，AB＝＝＝2．故答案为2．17．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+3在x＝a或x＝b（a≠b）时，函数值相等，则当x＝a+b时，函数值为3．【解答】解：∵当x＝a或x＝b（a≠b）时，二次函数y＝x2﹣4x+3的函数值相等，∴以a、b为横坐标的点关于直线对称，则，∴a+b＝4，∵x＝a+b，∴x＝4，当x＝4时，y＝42﹣4×4+3＝3，故答案为：3．18．（3分）如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG＝FA．【解答】解：（1）如图，点P，线段BD即为所求作．（2）如图，点P，线段FG即为所求作．三、解答题（共66分）19．（8分）解下列方程（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．（3）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，∴，解得：，；（2）解：（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1），∴（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x+3﹣5）＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2；（3）证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0，整理得：x2﹣5x+6﹣m2＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣m2）＝1+4m2＞0，即无论m取何值时方程总有两个不相等的实数根．20．（8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．（1）求AP的长；（2）若弦AB＝8，求OP的长．【解答】解：（1）∵PG平分∠EPF，∴∠EPG＝∠FPG，∵OA∥PE，∴∠POA＝∠FPG，∴∠POA＝∠APO，∴PA＝OA，∵⊙O的半径为5，∴AP＝5；（2）过O作OH⊥AB，∵OH⊥AB，AB＝8，∴AH＝BH＝4，PH＝PA+AH＝9，在Rt△AOH中：，在Rt△POH中：．21．（10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为100件．（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？【解答】解：（1）由题意可得，当销售单价为90元时，销售量为：（件），故答案为：100；（2）设售价为x元，由题意可，，解得：x1＝70，x2＝90，∵使顾客获得更多的实惠，∴x＝70，答：销售单价应定为70元；22．（10分）如图，为求出河对岸两棵树A，B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12m到达D点，测得∠CDB＝90°．取CD的中点E，测得∠AEC＝56°，∠BED＝67°，求河对岸两树间的距离．参考数据：，，，．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BD于点F，∵E为CD中点，CD＝12m，∴CE＝DE＝6m．在Rt△ACE中，∵，∴AC＝CE•tan56°＝6×＝9（m），在Rt△BDE中，，BD＝DE•tan67°＝6×＝14（m），∵AF⊥BD，∴AC＝DF＝9m，AF＝CD＝12m，∴BF＝BD﹣DF＝14﹣9＝5m．在Rt△AFB中，AF＝12m，BF＝5m，∴AB＝＝＝13（m），∴两树间距离为13米．23．（10分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交圆O于点A，C，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求线段BM的长．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即OD⊥BD，∵OD过O，∴直线BD是⊙O的切线；（2）解：设OD＝OC＝r，在Rt△BDO中，sin30°＝＝，解得：r＝1，即OD＝1，OB＝1+1＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝＝，连接DM，∵DE是⊙O的直径，∴∠DME＝90°，即∠DMB＝∠BDE＝90°，∵∠DBM＝∠DBE，∴△BMD∽△BDE，∴＝，∴＝，解得：BM＝，24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得到△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图①，若α＝90°，求AA′的长；（2）如图②，若α＝60°，求点O′的坐标；（3）如图③，P为AB上一点，且PA：PB＝2：1，连接PO′、PA′，在△ABO绕点B逆时针旋转一周的过程中，求△PO′A′面积的最大值和最小值（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图①中，∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，，由旋转的性质可知，BO＝BO′＝6，A′O′＝OA＝8∠OBO′＝90°，延长A′O′交x轴于点E，则∠BO′E＝90°，又∠BOE＝90°∴四边形BOEO′是矩形，又BO＝BO′，∴四边形BOEO′是正方形，∴OE＝O′E＝BO＝6，∴A′E＝AO′+O′E＝8+6＝14，∴A′（6，14），∴；（2）如图②中，过点O′作O′H⊥OB于点H．在Rt△O′BH中，BH＝O′B⋅cos60＝3，，∴OH