新教材数学人教A版学案4-3-2对数的运算

4．3.2对数的运算必备知识·探新知基础知识知识点1对数的运算性质条件a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0性质loga(MN)＝logaM＋logaNlogaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．知识点2换底公式若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝eq\f(logcb,logca)．思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝eq\f(m,n)logNM吗？提示：(1)logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna).(2)logNnMm＝eq\f(lgMm,lgNn)＝eq\f(mlgM,nlgN)＝eq\f(m,n)·eq\f(lgM,lgN)＝eq\f(m,n)logNM.基础自测1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是(A)①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaeq\f(x,y)＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0 B．1C．2 D．3[解析]由对数运算法则知，均不正确．故选A．2．log62＋log63等于(A)A．1 B．2C．5 D．6[解析]log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：log25·log32·log59＝2．[解析]原式＝eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝2.4．求下列各式的值：(1)log3(27×92)；(2)lg5＋lg2；(3)ln3＋lneq\f(1,3)；(4)log35－log315.[解析](1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.(3)ln3＋lneq\f(1,3)＝ln(3×eq\f(1,3))＝ln1＝0.(4)log35－log315＝log3eq\f(5,15)＝log3eq\f(1,3)＝log33－1＝－1.关键能力·攻重难题型探究题型一对数的运算性质的应用例1用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(xeq\r(y))；(3)logaeq\r(3,\f(x,yz2)).[解析](1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.(2)loga(xeq\r(y))＝logax＋logaeq\r(y)＝logax＋eq\f(1,2)logay.(3)logaeq\r(3,\f(x,yz2))＝eq\f(1,3)logaeq\f(x,yz2)＝eq\f(1,3)[logax－loga(yz2)]＝eq\f(1,3)(logax－logay－2logaz)．[归纳提升]对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【对点练习】❶用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)logaeq\f(\r(x),yz).[解析](1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.(2)logaeq\f(\r(x),yz)＝logaeq\r(x)－loga(yz)＝logaxeq\s\up6(\f(1,2))－(logay＋logaz)＝eq\f(1,2)logax－logay－logaz.题型二利用对数的运算性质化简、求值例2(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27)；(3)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8.[分析]熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析](1)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(（1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)）lg3,（4－3）lg3)＝eq\f(11,5).(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.[归纳提升]利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．【对点练习】❷计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.[解析](1)法一：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝log(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.题型三换底公式的应用例3(1)计算log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)；(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．[分析](1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．[解析](1)原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(（－2lg5）·（－3lg2）·（－2lg3）,lg2·lg3·lg5)＝－12.(2)由题意，得eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg8,lg4)·eq\f(lgm,lg8)＝eq\f(lgm,lg3)＝eq\f(1,2)，∴lgm＝eq\f(1,2)lg3，即lgm＝lg3eq\s\up6(\f(1,2))，∴m＝eq\r(3).[归纳提升]关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝eq\f(1,logba)；logaan＝n，logambn＝eq\f(n,m)logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【对点练习】❸计算下列各式的值：(1)log89·log2732；(2)log927；(3)log2eq\f(1,125)·log3eq\f(1,32)·log5eq\f(1,3).[解析](1)log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(lg32,lg23)·eq\f(lg25,lg33)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(10,9).(2)log927＝eq\f(log327,log39)＝eq\f(log333,log332)＝eq\f(3log33,2log33)＝eq\f(3,2).(3)log2eq\f(1,125)·log3eq\f(1,32)·log5eq\f(1,3)＝log25－3·log32－5·log53－1＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15·eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(lg3,lg5)＝－15.误区警示忽视真数大于零致误例4解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.[错解]原方程变形为log2(x＋1)－eq\f(1,2)log2(x＋4)＝1，∴log2(x＋1)－log2eq\r(x＋4)＝1，∴log2eq\f(x＋1,\r(x＋4))＝log22，∴eq\f(x＋1,\r(x＋4))＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，故原方程的解为x＝－3或x＝5.[错因分析]解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解]∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4eq\f(（x＋1）2,x＋4)＝1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x＋4>0，,\f(（x＋1）2,x＋4)＝4，))解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.[方法点拨]在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力例5(1)设3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值；(2)已知log23＝a，3b＝7，求log1256.[分析](1)欲求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值，已知3x＝36，4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22，56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝eq\f(m,n)logab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．[解析](1)由已知分别求出x和y，∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝eq\f(log3636,log363)＝eq\f(1,log363)，y＝eq\f(log3636,log364)＝eq\f(1,log364)，∴eq\f(1,x)＝log363，eq\f(1,y)＝log364，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log1256＝log2a＋223＋ab＝eq\f(3＋ab,a＋2).解法二：因为log23＝a，所以log32＝eq\f(1,a).又3b＝7，所以log37＝b.从而log1256＝eq\f(log356,log312)＝eq\f(log37＋log38,log33＋log34)＝eq\f(log37＋3log32,1＋2log32)＝eq\f(b＋3·\f(1,a),1＋2·\f(1,a))＝eq\f(ab＋3,a＋2).[归纳提升]1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．课堂检测·固双基1．2log510＋log50.25的值为(C)A．0